1、2-2-3 向量数乘运算及其几何意义命题方向 1 向量的数乘运算1.若 3m2na，m3n b，其中 a、b 是已知向量，求 m、n.分析 把已知条件看作向量 m、n 的方程，联立方程组求得 m、n.解析 把已知中的两等式看做关于 m、n 的方程，联立方程组Error!解得Error!2.若向量 a3i4j，b5i4j，则( ab) 3(a b)(2ba)_.13 23答案 16i j323解析 ( ab)3(a b)(2 ba)13 23 ab3a2b2ba13 ab113 (3i4j)(5 i4j)11311i j5i4j44316i j.323命题方向 2 向量共线定理的应用1.已知两个
2、非零向量 e1、e 2不共线，若 2e 13e 2， 6e 123e 2， 4e 18e 2.求证：AB BC CD A、B、D 三点共线证明 B AD AB C CD 2e 13e 26e 123e 24e 18e 212e 118e 26(2e 13e 2)6A ，B .来源:gkstk.ComAD AB 又AD 和 AB 有公共点 A，A、B、D 三点共线2.已知向量 e1、e 2是两个共线向量，若 ae 1e 2，b2e 12e 2，求证：ab.证明 若 e1e 20，则 ab0，所以 a 与 b 共线，即 ab；来源:学优高考网若 e1、e 2 中至少有一个不为零向量，不妨设 e10
3、，则 e2 e1(R) ，且 a(1)e1，b2(1 )e1，所以 ae 1，be 1.因为 e10，所以 ab.综上可知，a b.命题方向 3 向量在平面几何中的探究应用1.平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由解析 已知在ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 AF 与 BD 的交点，求证：E 为 BD的一个三等分点证明：如图，设实数 、 满足 ， .AE AF BE BD ，AE AB BE AB BD .AF AB BD ，BD AD AB ，AF AD DF AD 12DC AD 12AB ( ) ( )AD
4、12AB AB AD AB () (1 ) .来源:学优高考网 gkstkAD 12 AB 与 不共线，AB AD Error!，Error! .BE BD 23BD E 为 BD(靠近 D)的一个三等分点同理可证，C 与 AB 中点的连线和 BD 的交点也为 BD(靠近 B)的一个三等分点综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线2.如图，O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ，0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( )OA (AB |AB |AC |AC |)A外心 B内心来源:学优高考网 gkstkC重心 D
5、垂心答案 B解析 易知 .AP (AB |AB |AC |AC |)因为 与 是单位向量，AB |AB |AC |AC |所以点 P 在BAC 的角平分线上，所以点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心.命题方向 4 共线向量与三点共线问题1.设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 ab， 2a8b， 3(ab)，求证：A、B、D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 kab 与 akb 共线解析 证明：(1) ab， 2a8b，AB BC 3(ab)CD 2a8b3(ab)BD BC CD 2a8b3a3b5(ab)5 .AB 、 共线，AB BD 又它们有公共点 B，A、
6、B、D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab(a k b)即 kabakb，(k)a( k1) b，a、b 是不共线的两个非零向量，kk10，k 21 0.k 1.2.已知向量 a5b， 2a8b， 3( ab)，AB BC CD (1)求证：A、B、D 三点共线；(2)求证： x y (其中 xy1)CA CB CD 分析 (1)利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系b a”，通过向量关系证出 “三点共线”的结论(2)用 ， 表示出 ，对照等式两端得出 x、y 的关系AB BC CA 解析 (1) 2a8b3(ab)BD BC CD a5b， a5b， ，ABBD，AB AB BD 又 、 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线AB BD (2) CA CB BA BC AB 2a8ba5ba13b，x y x(2a8b) 3y (ab)来源:gkstk.ComCB CD (2x 3y)a(8x 3y)b.Error!，所以Error! x y ，其中 xy1.CA CB CD
