1、学优中考网 第三十讲 从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的构造法的基本形式是以已知条件为“原料” ，以所求结论为“方向” ，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1构造方程；2构造函数；3构造图形；4对于存在性问题，构造实例；5对于错误的命题，构造反例；6构造等价命题等【例题求解】【例 1】 设 、 、 、 都为
2、实数， ，满足 ，1a21b221a )()( 2121baba求证： )()( 2ba思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试仔细观察已知等式特点， 、 可看作方程 的两根，则 ，1a2 1)(21bx )(1)(221axbx通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻来源:学优中考网 xyzkw注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、 “抽屉”等 【例 2】 求代
3、数式 的最小值1342xx思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值，于是问题转化为：在 222222 )30()()0()(134 xx x轴上求一点 C(1，0)，使它到两点 A(一 1，1)和 B(2，3) 的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出 C 点坐标这样，通过构造图形而使问题获解来源:学优中考网【例 3】 已知 、 为整数，方程 的两根都大于 且小于 0，求 和 的bc052cbx1bc值思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出 、 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令 ，从讨论cbxy25抛物线与 轴交点在 与
4、 0 之间所满足的约束条件入手 x1【例 4】 如图，在矩形 ABCD 中，AD= ，AB= ，问：能否在 Ab 边上找一点 E，使 Eab点与 C、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的 E 点有几个?若不能找到，请说明理由思路点拨 假设在 AB 边上存在点 E，使 RtADE RtBECRt ECD，又设 AE= ，x则 ，即 ，于是将问题转化为关于 的一元二次方程是否有实根，在一定BEAaxbx条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题【例 5】 试证：世界上任何 6 个人，总有 3 人彼此认识或者彼此不认识思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点” ，把 2
5、 个人之间的关系看作染成颜色的线段比如 2 个人彼此认识就把连接 2 个人的对应点的线段染成红色；2 个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有 3 个人彼此认识就是存在一个 3 边都是红色的三角形，否则就是存在一个 3 边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：已知有 6 个点，任何 3 点不共线，每 2 点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：(1)几何问题代数化；来源:xyzkw.Com(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数，借用函
6、数图象探讨方程的解利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明学优中考网 特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明” 学历训练来源:xyzkw.Com1若关于 的方程 的所有根都是比 1 小的正实数，则实数 的取值x012)1(mx m范围是 2已知 、 、 、 是四个不同
7、的有理数，且 ， ，那么abcd )(dac1)(dbc的值是 )(c3代数式 的最小值为 9)12(42xx4A、B、C 、 D、E、F 六个足球队单循环赛，已知 A、B、C 、D 、E 五个队已经分别比赛 了 5、4、3、2、1 场，则还未与 B 队比赛的球队是 5若实数 、 满足 ，且 ，则 的取值范围是 ab122ba2batt6设实数分别 、 分别满足 ， ，并且 ，求st 09s019t 1st的值 ts7已知实数 、 、 满足 ，求证： abc0)(cba )(4)(2cbacb8写出 10 个不同的自然数，使得它们中的每个是这 10 个数和的一个约数，并说明写出的10 个自然数
8、符合题设条件的理由9求所有的实数 ，使得 xxx110若是不全为零且绝对值都小于 106 的整数求证： 来源:学优中考网 xyzkw21032cba11已知关于 的方程 有四个不同的实根，求 的取值范围xkx132k12设 0，求证 10zy， 1)()()(xzy13从自然数 l，2，3，354 中任取 178 个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177 14已知 、 、 、 、 是满足 ， 的实数，试abcde8edcba 1622edcba确定 的最大值e15如图，已知一等腰梯形，其底为 和 ，高为 h(1)在梯形的对称轴上求作点 P，使从点 P 看两腰的视角为直角；(2)求点 P 到两底边的距离；(3)在什么条件下可作出 P 点 ? 参考答案学优中考网 学优中考网 学+优中*考，网
