1、2.1 整式1用字母表示数(1)用字母表示数的意义用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来用字母表示数为叙述和研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，是数学发展史上的一大进步用字母表示数可以简明地表达数学运算律用字母简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律等用字母表示数可以简明地表达公式、法则用字母表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小 4.如果用字母 a 表示第一个数，则第二个数为a4.用字母表
2、示数可以简洁、准确地表达一些数学概念如用 a 与 b 表示互为相反数的两个数，则 ab0；若 ab0，则 a 与 b 互为相反数(2)用字母表示数应注意的问题字母的确定性：在同一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示；如长方形的长和宽要分别用 a，b 两个字母表示，面积用 S 表示，则有 Sab.字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义；并且符合实际字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的任何一个数字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系字母的抽象性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示
3、的式子(3)用字母表示数的书写规定含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写成“”或省略不写字母与字母相乘时“”省略，按字母表顺序书写，如 mn 写成 mn；相同字母写成幂的形式，如 aa 写成 a2，(ab)( ab) 写成(ab) 2.数字与字母相乘时省略“” ，但数字要写在字母的前面，数字是带分数要化成假分数；如4n 写成 4n,1 a 要写成 a.12 32数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“” ，仍用“” 含有字母的式子中如果出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线如 st 写成 ， x2 一般写成 或 x.st x2 12式子后面有单位时，单位名称写在最
4、后，若是和差形式的式子，要在单位前把式子括起来如 t 升高 2 后是(t2) ，不能写成 t2 .【例 11】 列式子表示下列关系：全校学生总数是 x，其中女生占总数的 48%，则女生人数是 _，男生人数是_；一辆长途汽车从杨柳村出发，3 小时后到达相距 s 千米的溪河镇，这辆长途汽车的平均速度是_；产量由 m 千克增长 10%，就达到了_千克；若三角形一边长为 a，并且这边上的高为 h，则这个三角形的面积为_；有这样一组数字：3,6,9,12，则第 n 个数可表示为_解析：列式子，可以将这个字母看作一个具体数，只不过它不具体三角形面积等于二分之一底乘以高；关键在于找到序号 1,2,3，n 与
5、数字之间的关系，此题成 3 倍关系答案：48%x (148%)x 千米/ 时s3(110%) m ah 3n12【例 12】 式子 2ab 表示的实际意义是_解析：同一个式子在不同问题中意义不同，因此本题答案不唯一，只要将 a，b 赋予实际意义即可答案：工人甲每小时加工 a 个零件，工人乙每小时加工 b 个零件，甲加工两小时，乙加工 1小时共加工(2ab)个零件；笔记本每本 a 元，钢笔每支 b 元，两本笔记本、一支钢笔共(2ab)元；.2单项式(1)定义：数或字母的积构成的式子，叫做单项式单独的一个数或一个字母也是单项式(2)理解：除单独的一个数以外，所有的单项式都可以分为两部分，一部分是数
6、字因数，另一部分是字母因数(可以含有乘方运算 )，如：n 可以看作 1n， 可以看作 ab 等3ab5 35解技巧 判断单项式 判断是否是单项式主要抓住两点：不能含有加减运算；单项式中可以含有分母，但分母中一定不含有字母【例 2】 判断下列各式哪些是单项式(1) ；(2)abc；(3) b2；(4) 5ab2；(5)y；(6) x2y；(7) 5；(8) .x 12 25 1x分析：由单项式概念可知(2)(7)都是，(1) 字母 x 与 1 之间是和的运算，(8) 中字母在分母上解：(2)(3)(4)(5)(6)(7)是单项式，(1)和(8) 不是3单项式的系数与次数(1)系数：单项式中的数字
7、因数叫做这个单项式的系数注意点：当单项式的系数是 1 或1 时， “1”通常省略不写；圆周率 是常数；当单项式的系数是带分数时，必须写成假分数；单项式的系数应包括它前面的符号(2)次数：在一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数注意点：来源:gkstk.Com单项式的次数是所有字母的指数的和，且仅指字母的指数来源:gkstk.Com注意：单项式 52x3y2的次数是 5 次的，5 2是系数，5 2的指数 2 不是字母的 指数，所以不算当字母因数是单个的字母时，指数是 1 而不是 0，切不可弄错如 5ab2 中 a 的指数是 1，单项式次数是 3 不是 2.【例 3】 判断下列各式是
8、否是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数和次数x1； ； r2； a2b.2y 32分析：不是单项式，是和、商，不是数字与字母的积，是，其中 ， 是单项式中32的数字因数，是系数解：不是，因为原式中出现了加法运算；不是，因为原式是 2 与 y 的商；是，它的系数是 ，次数是 2；是，它的系数是 ，次数是 3.324.多项式(1)定义：几个单项式的和叫做多项式来源:学优高考网 gkstk(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；名称：一个多项式含有几项，就叫几项式，如：多项式 3n42n 21 有 3n4，2n 2，1 三项，称作三项式注
9、意：多项式中的每一项都带有符号，不论移动还是将来运算都要带着符号；(3)次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数多项式的所有项中，哪项的次数最高，这项的次数就是(代表了) 整个多项式的次数要知道多项式的次数，前提是必须了解每一项的次数；当一个多项式中的各项的次数都相同(不存在哪一项的次数最高)，或次数最高的项有多个时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数如多项式 a22abb 2 的次数是 2.在多项式中，一个项的次数是几，就称它为几次项如：多项式 3n42n 21 中 3n4 称为四次项，2n 2 称为二次项，1 为常数项来源:学优高考网谈重点 多项式的系数和次数 系数：多项式是由单项
10、式构成的，因此对于多项式中的每一项，都有次数和系数(常数项除外 )，但多项式没有系数概念； 次数：对于多项式，多项式中的项，单项式都有次数，它们之间既有区别也有联系；方法：合为多项式，分为单项式，判断一个多项式的项的构成，一般类比数的运算：看作省略括号和加号的形式去判断，只看作是性质符号，不看作运算符号【例 41】 指出下列多项式的项和次数：(1)3x13x 2；(2)4x 32x 2y 2.分析：注意两点：构成多项式的每一个单项式就是多项式的项，注意要带着符号；次数最高那项的次数就是这个多项式的次数解：(1)有 3x，1，3x 2 三项，其中3x 2 这项的次数是 2 次的，最高，所以这个多
11、项式的次数是 2.(2)有 4x3，2x，2y 2 三项，其中 4x3 的次数最高，是 3 次，所以这个多项式的次数是 3.【例 42】 指出下列多项式是几次几项式，并分别指出其中的二次项(1)x32x 25x1；(2)x 32x 2y23y 2.分析：多项式中由几项构成就称为几项式，次数是几就是几次式；二次项是指构成多项式的项中，次数为 2 的单项式，并且有几个写几个解：(1)x 32x 25x 1 有 x3，2x 2，5x，1 四项，且次数是 3，所以是三次四项式；二次项是2x 2.(2)x32x 2y23y 2 是四次三项式；二次项是 3y2.几次几项式中的数字要大写，不能用阿拉伯数字哦
12、！5整式(1)定义：单项式与多项式统称整式(2)理解：整式包括单项式和多项式两类，类似于整数和分数统称为有理数一样是整式不一定是单项式(多项式 )，但是单项式或多项式一定是整式【例 5】 下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x25，1，x 23x 2， ，x 2 ， .5x 1x 1 xy3分析：根据概念：1， 是单项式，x 25，x 23x2 是多项式，单项式和多项式都是整xy3式，因 ，x 2 中含有数字(字母)除以字母，所以不是单项式也不是多项式，也就不是整式5x 1x 1解：单项式有：1， ；xy3多项式有：x 25，x 23x 2 ；整式有：1， ，x 25，x 23x
13、2.xy36单项式系数情况汇总单项式中的系数一般包括下面几种情况：(1)省略系数情况：当系数是 1 或1 时，省略了系数 1 或 1，但不能说没系数如：ab 的系数是 1，ab 的系数是1.(2)分数系数：当写作 xy3 形式时，比较容易确定，当写作 这种形式时，它的实质是73 2xy5 xy，应注意区别25(3)用科学记数法表示的系数：如：310 5a2b，它的系数是 3105，其中指数 5 不是单项式中的次数来源:学优高考网 gkstk(4) 作系数：因为 是一个常数，所以 是系数，不是字母；(5)整数或小数系数(或百分数 )：一般较好辨认，其中的数字部分就是系数【例 61】 指出下列单项
14、式的系数(1)4x；(2) ；(3)3.210 3x2y；(4) ；(5)4.3x 2y；(6)3a 2bc；(7) xy2；(8)m2n3 5ab3820%a ；(9)2 103a；(10)2R 2.解：系数分别是：(1)4；(2) ；(3) 3.210 3；(4) ；(5)4.3；(6)3；(7)1 ；(8)13 5820%； (9)2103；(10)2.【例 62】 下列说法正确的是( ) A5y1 是单项式B单项式 的系数是 22ab3C单项式 的系数是2ab3 23D单项式 4xy2 是二次单项式答案：C【例 63】 写出一个系数为 ，关于 x，y 的四次单项式72解：答案不唯一，只
15、要符合要求即可，如： xy3， x2y2，.72 727.多项式应用方法归类多项式的应用和单项式的应用一样，重点在于概念的把握，它的应用主要分为两类，一是基础应用：考查多项式的识别，或在已知一个多项式的前提下，认定多项式的次数、项、是几次几项式、认定各项系数、次数等；二是变化应用，根据要求写出符合条件的多项式，或已知多项式具备某些特征，通过具备的特征，判断多项式中未知数的系数，未知的指数应具备的特点，从而通过列式求未知数的值，这些题目，一般具有灵活性特点，要综合分析判断，很多时候具有开放性解技巧 列多项式 紧紧抓住定义和要求，写出符合题意的式子，或根据题意列出关系式，从而判断字母的取值情况【例
16、 71】 多项式3xy 5x3y2x 2y35 是_次_项式，最高次项的系数是_，二次项是_，常数项是_解析：多项式中次数最高项的次数就代表了多项式的次数，有几项就是几项式，在所有项中次数最高的是 5 次，有 4 项，所以是五次四项式，最高次项是2x 2y3，所以系数就是2，次数是 2的项是3xy,5 是常数项答案：五 四 2 3xy 5【例 72】 写出一个多项式，使它的项数是 3，次数是 4.分析：根据定义，写出符合要求的式子，字母不限，也可以有两个或三个 4 次项解：答案不唯一，如：2x 43x 21,3x 2y24xy1，.【例 73】 已知 n 是自然数，多项式 yn1 3x 32x
17、 是三次三项式，那么 n 可以是哪些数？分析：已知多项式是三次三项式，由题目可知，y n1 项的次数不能超过 3，即 n1 的值不能超过 3，n 又是自然数，所以 n0 或 1 或 2.解：n 可以是 0,1,2.8多项式的排列当多项式的项较多时，为了容易识别，我们一般将多项式按某一字母的次数由高到低或由低到高进行排列，由低到高排列叫做升幂排列，由高到低排列叫做降幂排列；(1)根据加法交换律交换项的位置，所以排列后的多项式的值不变，注意：在排列过程中交换加数(即项 )的位置时一定要连同项的符号一起交换；(2)不论升幂排列还是降幂排列都是按其中某一个字母的次数的高低排列，而不是按项的次数的高低，
18、当只有一个字母时，因字母的次数就是项的次数，所以按次数排列和按字母次数排列一样【例 81】 将下列各式按 x 的升幂排列(1)x34x72x 4；(2)6x42xy 33x 3y4x 2y25y 4.分析：按 x 的升幂排列就是按 x 的次数从低到高排列，不用考虑 y 的次数，(2) 题 5y4 项中不含x，所以这项中的 x 的次数最低解：(1)74xx 32x 4；(2)5y42xy 34x 2y23x 3y6x 4.【例 82】 将多项式x 3xy 22yx 23y 3 按 y 的降幂排列正确的是( )A3y 3xy 22yx 2x 3Bx 32yx 2xy 23y 3C3y 3 xy22
19、yx 2x 3D3y 3x 3xy 22yx 2解析：是按字母 y 的指数从高到低排列，并且在排列过程中一定要带着项的符号移动项的位置，A 符号错，B 按 x 的降幂排列，D 顺序错乱，只有 C 符合要求答案：C9.顺水、逆水行驶问题轮船在河流中行驶，由于水流本身的速度，实际速度要受到水流速度的影响，因此轮船在水流中的行驶就分三种情况：顺水行驶、逆水行驶、静水行驶，因此速度也就有四种速度：静水速度(v静 )、逆水速度(v 逆 )、顺水速度( v 顺 )，水流速度(v 水 )，并且四个速度之间存在着内在的联系：v 顺 v 静 v 水 ；v 逆 v 静 v 水 ；v 水 v 顺 v 静 v 静 v
20、 逆 (v 顺 v 逆 )12【例 91】 飞机无风时的飞行速度为 a 千米/时，风速为 20 千米/时(1)飞机顺风飞行的速度是_千米/时；飞机逆风飞行的速度是 _千米/ 时；(2)飞机顺风飞行 4 小时的行程是_千米；飞机逆风飞行 3 小时的行程是_千米答案：(1)( a20) (a20) (2)4( a20) 3(a20)【例 92】 已知某轮船顺水航行的速度是 40 千米/ 时，逆水航行的速度是 36 千米/时，你能求出水流速度吗？若不能，请说明理由，若能，是多少？分析：由 v 水 (v 顺 v 逆 )可知，水流速度(顺水速度逆水速度)2(4036)22( 千米/12时)，所以能求出水
21、流速度解：能，水流速度(4036)22( 千米/ 时) 10.用单项式、多项式概念的判定作用求未知数的值数学中的概念是通过事物的特征下的定义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值如：由单项式2x 4 可知它的系数是2，次数是 4，反过来若知道ax m的系数是2、次数是 4，就可以知道a2，m 4，从而求出 a2，多项式的运用也是如此【例 101】 如果5xy m1 为 4 次单项式，则 m_.解析：因为5xy m
22、1 是 4 次单项式，所以 x，y 的指数和应是 4，x 的指数是 1，y 的指数就是3，所以 m13，所以 m4.答案：4【例 102】 已知多项式 5xmy2(m2)xy3x，如果它的次数为 4 次，则 m 应为多少？如果多项式只有两项，则 m 为多少？分析：次数最高项的次数是多项式的次数，在已知的多项式中只有 5xmy2 次数能成为多项式的次数，所以 m2 应该等于 4，因此，m 2 时，多项式的次数就是 4 次；如果多项式是二项式，只有( m2) xy 这项不存在才可以，所以这项的系数只能是 0，即( m2)0，因此当 m2 时，这项的系数是 0，所以 m2.解：如果多项式的次数为 4 次，则 m 应是 2；如果多项式只有两项，则 m 也是 2.
