1、3.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1设 f(x)ax 3bx 2cxd(a0)，则 f(x)为增函数的一个充分条件是 ( )Ab 24ac0 Bb0，c 0Cb0，c 0 Db 23ac0答案 C2函数 f(x)2x 2lnx 的单调递增区间是( )A(0， ) B(0， )12 24C( ，) D( ，0)及(0 ， )12 12 12答案 C解析 函数 f(x)的定义域为(0，) ，f(x)4x ，令 f( x)0，得 x ，1x 12函数 f(x)在 上单调递增(12， )3(2009广东文，8)函数 f(x)(x3)e x的单调递增区间是( )A(，2) B(0,3)C(1,4)
2、 D(2 ，)答案 D解析 考查导数的简单应用f(x)(x3)e x(x3)(e x)(x2)e x，令 f(x )0，解得 x2，故选 D.4函数 yxsinxcosx，x( ，) 的单调增区间是( )A. 和( ， 2) (0，2)B. 和( 2，0) (0，2)C. 和( ， 2) (2，)D. 和( 2，0) (2，)答案 A解析 yx cosx，当0，当 0，y x cosx0，y x cosx0.25函数 f(x)ax 3x 在 R 上为减函数，则( )Aa0 Ba0，函数 f(x)x 3ax 在1，) 上是单调减函数，则 a 的最大值为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 f
3、(x) 3x 2a0，a3x 2.a3.7设 f(x)在(a，b)内可导，则 f( x)0 得，x 1 或 x0解析 y4x 2a，若 y x3ax 有三个单调区间，则方程4x 2a0 应有43两个不等实根，故 a0.三、解答题15讨论函数 f(x) (1x1，b0)的单调性bxx2 1解析 f(x) (10，(x 21) 20，当 b0 时，f (x)0，函数 f(x)在(1,1) 上单调递增16已知曲线 yx 33x 26 x10，点 P(x，y)在该曲线上移动，在 P 点处的切线设为 l.(1)求证：此函数在 R 上单调递增；(2)求 l 的斜率的范围解析 (1)证明：y3x 26x 6
4、3( x22x1) 33(x 1) 230 恒成立，此函数在 R 上递增(2)解：由(1)知 f(x)3(x 1)233，l 的斜率的范围是 k3.17已知向量 a(x 2，x1)，b(1 x ，t)，若函数 f(x)ab 在区间(1,1) 上是增函数，求 t 的取值范围解析 f(x) a bx 2(1x)t (x1) x 3x 2txtf(x)3x 22x t函数 f(x)在(1,1)上是增函数f(x )0 对 x( 1,1)恒成立3x 22xt0 在(1,1)上恒成立即 t3x 22x 在(1,1)上恒成立令 g(x)3x 2 2，x(1,1)g(x)( ，5)13故要使 t3x 2 2x
5、 在区间( 1,1)上恒成立，只需 t5即：所求 t 的取值范围为：t518设函数 f(x)(ax 2bx)e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线 exy 0 相切于点A，且点 A 的横坐标为 1.(1)求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间，并指出在每个区间上的增减性解析 (1)f(x )(2axb)e x(ax 2bx)e xax 2 (2ab)x be x，由于 f(x)的图象与直线 exy0 相切于点 A，点 A 的横坐标为 1，则 A(1，e)，所以Error! 即Error!，解得 a1，b2.(2)由 a1，b2 得 f(x)( x22x) ex，定义域为(，)f(x)(x 22)e x(x )(x )ex，2 2令 f(x )0，解得 x .2 2令 f(x )0，解得 x .2 2故函数 f(x)在区间(， )和( ，) 上分别单调递增，在区间( ， )上单2 2 2 2调递减
