1、求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一 观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2） （3）,1764,093,521 ,521,（4） （5）2，3，2，3，（6）1，0，-1，0，1，0，-1 ，0，,3,（1） （2） （3） （4） .10na;na;2na1)(nan观察各项的特点，关键是找出各项与项数 n 的关系。 二、定义法例 2： 已知数列a n是公差为 d 的等
2、差数列，数列b n是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2，且 a1 = f (d1)，a 3 = f (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2) 2，a 3 = f (d+1)= d 2，a 3a 1=d2(d2) 2=2d，d=2，a n=a1+(n1)d = 2(n1) ；又 b1= f (q+1)= q2，b 3 =f (q1)=( q2) 2， =q2，由 qR，且 q1，得 q=2，b n=bqn1 =4(2) n113)b当已
3、知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、 叠加法（回忆等差数列通项公式的由来）例 3：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 ,12nan ,3125,74 ,12nan各式相加得 )12(53n )(52Nnan一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜采用此方fa )(2(1nff法求解。例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an a1n1， an解：由 得21n 2则 123n1 )()()()(a 所以数列 的通项公式为1)n(2)1( 1)(2 an2na评注：本题解题的关键是把递推关系式
4、 转化为 ，进而求出1n2a1n 12an1，即得数列 的通项公式。232n1n )()a()a()a( 例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。31n1， n解：由 得132an1n 132ann则 122 a)()()()( 所以3)1n(33(2 312n112n 1n3232nn 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出2anan1，即得数列 的通项公式。1232n1n )()a()a()a( n例 6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 3n1，解： 两边除以 ，得 ，则 ，3an1n1 1nn12a1nn132a3故 )a()3a()()(3 12n22n1
5、1nn )1()3()2()( 22n 1)313(3n 22nn 因此 ，则n1nn3)1(a 2ann评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出132a1n 1nn13a3+ ，即得数列 的通项公式，最后再求数列)3a()3a()3a( n22n11n a)(12 n的通项公式。n四、叠乘法（回忆等比数列通项公式的由来）例 7：在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式。a11nana解：由(n+1) =n 得 ，nn= = 所以1an2341na432 n1一般地，对于型如 = (n) 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜采用此方法。fa)(2)(ff例 8 已知
6、数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 3a5)(21n1n， an解：因为 ，所以 ，则 ，则3a5)(2a1， 0n15)( 1232n1n aaa325)1(21n)n(2 n 3)(1 所以数列 的通项公式为an !na2)1(n评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出n1na5)(2ann15)(2，即得数列 的通项公式。1232n1aa n五、公式法若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式nSnan求解。211Sann 例 9：已知下列两数列 的前 n 项和 sn 的公式，求 的通项公式。an（1） 。 （2）3n 12解： （1） 1= = =3naS
7、)()()(3232此时， 。 =3 为所求数列的通项公式。2na2（2） ，当 时01s1)1()( nnn由于 不适合于此等式 。 1a)2(20n注意要先分 n=1 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。2六、 构造数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。类型： 21nnapqa1（ 为等差、等比）()ff例 10.在数列 中， ， ， ，求 。n12nnna31解析：在 两边减去 ，得naa32 1 )(112na 是以 为首项，以 为公比的等比数列，n112 ，由累加法得 =)(n na 1
8、2211 )()()( ann = = = = 2)31(n3)(n1)(3)3(41n1)3(47n例 11. 已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。na21nna1na解： 令1 )(nb则辅助数列 是公比为 2 的等比数列 即 bqnq2)1(1na例 12：（07 全国卷理 21）设数列 的首项 （1）求 的通项公式；n13(0)342nn， ， ， ， ， ， 解：（1）由 整理得 13234nna， ， ， ， ， 11()2nna又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得10n1 11()2na解题思路：注：类型： （ 为等差、等比）21nnapqa1nnpaq1()nnpa
9、ffn（1）一般地，对递推关系式 an+1=pan+q (p、q 为常数且，p0，p1) 可等价地改写成则 成等比数列，实际上，这里的 是特征方程 x=px+q 的根。)(qnn pq1(2) f(n)为等比数列，如 f(n)= qn (q 为常数) ，两边同除以 qn，得 ，令 bn= ，可转化为1nnaqabn+1=pbn+q 的形式。 (3)f(n)= q (q 为常数)，可转化为 an+1+k=p(an+k)，得 a n+k 是以 a1+k 为首项，p 为公比的等比数列。(4) f(n)为等差数列例 13. 已知数列a n中，a 1= ， a n+1= an+（ ） n+1，求 an的
10、通项公式。65321解：a n+1= an+（ ） n+1 乘以 2n+1 得 2 n+1an+1= (2nan)+1 令 bn=2nan 则 b n+1= bn+131 32易得 b n= 即 2 nan= a n=)(41)(4132以上主要构造新的等比数列，下面例题构造新的等差数列，注意已知条件的结构特殊性。例 14. 已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式。na11nN解： ， 设 ，则1n 11nanab111nb故 是以 为首项，1 为公差的等差数列 nba )( nban1例 15.（07 天津卷理）在数列 中， ，其中 n 11122nnn N， 0（）求数列 的通项
11、公式；n解：由 ， ，11(2)()aN0可得 ，nnna所以 为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故 ，所以数列 的通项公式为2n 21nnana(1)na这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。以下解法不常用九、归纳、猜想如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。例 17.（2002 年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中*),0(NnxAn01x)0(2a3A21点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，4A32n12（1） 写出 与 之间的关系式（ ） 。nx21,3（
12、2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。a1,ana（3） 略解析：（1） 是线段 的中点， n32nA)3(21xn（2） ，x012= ，2123xaax)(12= ，334x43猜想 ，下面用数学归纳法证明*)()2(1Nnan当 n=1 时， 显然成立；01假设 n=k 时命题成立，即 *)()21(Nkak则 n=k+1 时， =kk xxa121 kkax21)(21= k)()( 当 n=k+1 时命题也成立， 命题对任意 都成立。*Nn例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 98a)32()1(8a1n1 ， an解：由 及 ，得22n1)3()(8
13、92212 )()(a254984982534)3()1(a2381049)32()(a34由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2n)(a（1）当 n=1 时， ，所以等式成立。98)1(21（2）假设当 n=k 时等式成立，即 ，则当 时，2k)1(a1kn22k1)3()1(8a22222222)3k()1(1k)k(8)()()(3k11k )()()(22)()(3由此可知，当 n=k+1 时等式也成立。根据（1） （2）可知，等式对任何 *Nn评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。例 18：在数列
14、 中， ，则 的表达式为 。na1,2211ann分析：因为 ，所以得： ，,1n 5,4,32a猜想： 。十、倒数法数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出 0),(1nnaf ,1na.,nna再 求 得对于数列 ， 是常数且 ）1(0nnpaqrhrh、 、 、 ） 1nnAaBCD*1,(,mnNABCD0,ABC其特征方程为 ，变形为 AxBCD2()0xx若有二异根 ，则可令 （其中 是待定常数） ，代入 的值可求得 值。,1nnacc12,ac这样数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是这样可求得na1 n若有二重根 ，则可令 （其中 是待定常数） ，代入 的值可求得 值
15、。1nnca12,ac这样数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，于是这样可求得1na n例 19设数列 满足 求n,21),N(31nan .na解：原条件变形为 两边同乘以 得 .3a ,1n13na 112,)23nnnna（ .例 20 已知数列 满足 ，求数列 的通项n11,()2nanan解：其特征方程为 ，化简得 ，解得 ，令2x0x12,x11nnac由 得 ，可得 ，1,a453c数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ，n1a 13nna3()1na例 21 已知数列 满足 ，求数列 的通项n *112,()46nnaNnn解：其特征方程为 ，即 ，解得 ，令246x0x
16、12x12nnca由 得 ，求得 ，1,a231c数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，2n125a13(1)552nna13506a十一、求对数法（a n+1=panr 型）数列 满足 ，求n2113,aa（2005 年江西高考题）已知数列a n各项为正数，且满足 a1=1，a n+1= )4(2na（1） 求证：a nan+12；（ 2）求a n的通项公式例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。51371an解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得7a32a5n1n， 0ann， 5n1a32lglg5l1n设 )yx(y)(xn11将式代入 式，得 ，两边消去 并整
17、理，得11 )yxna(lg5y)n(2lg3al5nalg5，则2gn)3(lg，故y5lxl42lg163x代入 式，得11 l)n(lalg1n42l634(l5n12由 及 式，042lg63lg7l1galg1 12得 ，042l63n4ll 则 ，542lg163n4lgal)(n1 所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列，则lll 42lg163l7g，因此nn 5)421637(lg42163g4alg 42lg63n4lg5)2l163g4l7(al 1nn 1n5)ll7( l(5)23g(llg 4n164114n，则1n4164)23lg )237lg37()
18、23lg( 41516n5514n564 nn 。55na评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5n1na32a，从而可知数列 是等比)4lg643lga(l542lg163)n(4lgal n1n 42lg163n4lgal数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。216aln n利用迭代法求通项公式例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 5a12)n(31， an解：因为 ，所以2)1(3n1nn1)(23naa2)1n(1n )1n(2)3n(211n )1n(2)3n(3 )(2)1n(!3)()(n)(aa 又 ，所以数列 的通项公式为
19、 。51an 2)1n(1n!35a评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式 两边取常用对数得n2)1(3na，即 ，再由累乘法可推知n1nlg2)(3algnn1)(al，从而2)1n(1n!31232n11 5lglgalll 2)1n(!3n15a已知函数 （ ） 44()(1)xf0x在数列 中， ， （ ） ，求数列 的通项公式na121nnafNna解： ，444411()()()1nnnnna 从而有 ，1llaa由此及 知：30数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，ln1aln4故有 （ ） 。1143l4l3nnnnnaaN十二、利用换元法求通项公
20、式例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1a)241a(16nnn ， an解：令 ，则n241b)b24故 ，代入 得)(a11 )a241a(16annnb)(246)b(24n即 13因为 ，故0ann0a2411nn则 ，即 ，b21 3b1可化为 ，)(23nn所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此b 23143a2411 21，则 +3，即 ，得 。2nnn)(3n)(b 3)(an 31)2(4ann评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，从而可知数anb b1列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。bn3n an三角代换类型已知数列a n中，a 1=2，a n= ，求 an的通项公式1解：令 a1=tan ，则 a2= =tanta4t4a n=tan tn4)(ac九、利用不动点法求通项公式例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 4a142n1n， an解：令 ，得 ，则 是函数 的两个不动点。因为x4210x2 3x21， 1x42)(f
