1、第三章 3.2 简单的三角恒等变换 编号 047【学习目标】1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆） 。3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【学习重点】三角函数式的化简、求值 和证明【基础知识】复习：Cos(+)= Cos(-)=sin(+)= sin(-)=tan(+)= tan(-)=sin2= tan2=cos2=【例题讲解】例 1、 试以 表示 cos222in,cos,tan点评：以上结果还可以表示为：1cossin2co1costan2并称之为半角公式（不要求记忆） ，符号由 角的象限决定
2、.降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例 2 求证：（） ；1sincosinsi2（） co2点评：在例证明 中用到了换元思想， （）式是积化和差的形式， （）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例 求函数 的周期，最大值和最小值sin3cosyx例 4：已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 60 度的扇形，C 是扇形弧上的一动点，ABCD 是扇形的内接矩形，且 A
3、B 在半径 OP 上，记 ,求当 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大，并求出OP这个最大值？【达标检测】1已知 cos（ + ）cos（ ）= ，则 cos2 sin 2 的值为（ ）31A B C D32 322在 ABC 中，若 sinAsinB=cos2 ，则 ABC 是（ ）A等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形3sin +sin = （cos cos ） ，且 （0，） ， （0，） ，则 等于（ ）3A B C D233324已知 sin（ + ）sin（ ）= m，则 cos2 cos 2 等于（ ）A m B m C4 m D4 m二、填空题5sin20co
4、s70+sin10sin50=_6已知 = ，且 cos +cos = ，则 cos（ + ）等于_3231三、解答题7已知 f（ x）= + ， x（0，） （1）将 f（ x）表示成 cosx 的多项式；21sin5（2）求 f（ x）的最小值8已知 ABC 的 三个内角 A、 B、 C 满足： A+C=2B， ，求 cos 的值BCcos21cos2CA9已知 sinA+sin3A+sin5A=a，cos A+cos3A+cos5A=b，求证：（2cos2 A+1） 2=a2+b210求证：cos 2x+cos2（ x+ ）2cos xcos cos（ x+ ）= sin2 【问题与收获
5、】参考答案例 1 解析：我们可以通过二倍角 和 来做此题 （二倍角公2cos12cosin式中以代 2， 代）解：因为 ，可以得到 ；2cos1in2ssin因为 ，可以得到 1coc两式相除可以得到 22sistanco例 2： 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系.证明：（）因为 和 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着sinsin手； sinsicosisisincosin两式相加得 ；2n即 ；1sicsisi（）由（）得 ；设 ，2sinco,那么 ,2把 的值代入式中得 ,sinsics2例、 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的
6、值.解： ，13sin3cos2incos2in3yxxx所以，所求的周期 ，最大值为，最小值为 T【达标检测】一、选择题：1C 2 B 3 D 4 B二、填空题：5 6197三、解答题7 解 ： （ 1） f（ x） = =cos2x+cosx=2cos2x+cosx 13cos2sin3co2sin5xxx（2） f（ x）=2（cos x+ ） 2 ，且1cos x1，4189当 cosx= 时， f（ x）取得最小值 418 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力解：由题设条件知 B=60， A+C=120， =2 ，60cos =2 CA1将上式化简
7、为 cosA+cosC=2 cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos cos = cos（ A+C）+cos（ A C） ，2将 cos =cos60= ，cos（ A+C）=cos120= 代入上式得CA2121cos = cos（ A C） ，2将 cos（ A C） =2cos2（ ） 1 代 入 上 式 并 整 理 得 4 cos2（ ） CA+2cos 3 =0，CA2即2cos 2 cos +3=02CA2 cos +30，2cos =02cos = CA9证明：由已知得，bAa3cos23cosinin .)1s(i，两式平方相加得（2cos2 A+1） 2=a2+b210证明：左边= （1+cos2 x）+ 1+cos（2 x+2 ） 2cos xcos cos（ x+ ）1=1+ cos2 x+cos（2 x+2 ） 2cos xcos cos（ x+ ）21=1+cos（2 x+ ）cos cos cos（2 x+ ）+cos =1+cos（2 x+ ）cos cos cos（2 x+ ）cos 2=1cos 2 =sin2=右边，原不等式成立
