1、21 数列的概念与简单表示法学习目标：1.理解数列的概念，了解数列的分类；2.理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式） ；3.能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。4.了解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；知识要点：1按照一定的顺序排列着的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 。数列中的每一项都与它的 有关，排在第一位的数称为这个数列的 （也叫 ） ，排在第二位的数称为这个数列的 ，排在第 位的数称为这个数n列的 。数列的一般形式可写成： ，简记为 。2项数有限的数列叫做有 ，项数无限的数列叫做 。3从第 2 项起
2、，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 ；各项相等的数列叫做 ；从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 。4数列可以看成以 （或 ）为定义域的函数 ，()naf当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列 。5.如果数列 的 与 之间的关系可以用 来表示，那么na这个公式叫做这个数列的 。如三角形数列的通项公式 ；正方形数列的通项公式 。6在数列 na中， 11,2()na，由 1a可计算出 23,a，像这样给出数列的方法叫做 ，其中 n称为 。递推公式也是数列的一种表示方法。7.数列的表示方法： ， ， ，
3、。典型例题：【例 1】下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）0，1，2，3，。 （2）82,93,105,119,129,130,132.（3）3,3,3,3，。 （4）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.（5）-1,1，-1,1，。 （6）1,1.4,1.41,1.414，；和2,1.5,1.42,1.415，。【例 2】写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：（1） ； （2） 。1,234,0（3） ； （4）,5712,4（5） （6）1,3 7,7（7） （8） ， ， ， ， ， 9
4、7,6 54103651【例 3】谢宾斯基三角形中，着色的三角形个数构成一个数列的前 4 项，写出这个数列的一个通项公式，并画出图像。【例 4】 （1）根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第 个图中有_个n点.【例 5】设数列 满足： ，写出这个数列的前 5 项。na)1(,1nan【例 6】已知数列 na， 1， 12nna( *N)，写出这个数列的前 4 项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式。【例 7】已知数列 的通项公式为 ，求证数列 为递增数列。na21nana当堂检测：1在数列 ，中， 的值是 。 ,235,81,45xx2. 已知数列 的通项公式为 ，那么 是这
5、个数列的第 na2log(3)na2log3项。3设数列 ，则 是这个数列的第 项. ,52,1 254.在数列 na中， nna， 12,a，则 6的值是_.5.已知数列 的首项 1，且满足 1n，则此数列的第三项是_.6.用火柴棒按下图的方法搭三角形,则所搭 6 个三角形时所用火柴棒数是 . 7. 已知数列 满足下列各式时，分别写出它的前 5 项na ， ，写出它的前 5 项。112 )1()2nan8. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 5 项分别是下列各数： 1， ， ， ， ；35719 ， ， ， ， ；2324152 1， ， ， ， ；49.观察下列数列的特点，用适当数字填
6、空，并写出一个通项公式： ， ，9， ，25， ，49； 1， ， ，2， ， ， .5710. 已知数列 的通项公式 ，且 ，求 。nandac243a10a例 6分析：利用数列的递推公式逐项求值，并根据前 4 项的特点，寻找规律，猜想数列的通项公式，再给予验证。解： 1a， 23， 15a， 47，猜想 12na。证明：假设 n，则 12n，而 112nn例 7. ， ，所以数列 为递增数列120na1nana例 8. ， ， 所以当 时，数列 为递增数列，所以当 时，34n3n 4n数列 为递减数列，而 为数列 的最大项。a34816ana练习1. 2.三 3. 第七项 4. 递增 5.
7、 6. 3 7.4 21 98. 9. 1,3nkZn103 解：令 20,5t，则22545natt，所以当 t，即 n时， n达到最小值；当 1t，即 n时， na达到最大值。11由题意知 解得32,4,dc,42.cd ， 。1na107a12 （1）设 ，得 ， 是数列的第 项；2.98n.987（2） ， ，221 2(1)10()()n na 1na数列 是递增数列，n当 时， 有最小值 ，1a12又 ，所以 ，数列 是有界数列。n,nna132134a，得 253，消去 ，得 25(1)523或 21或 314 （1）由 ，得 ， ，(2)naf12na10nna21n 的定义域 ， ， ，fx|0x0nan 21na（2） ，21n ，1220()na1na数列 为递增数列。n
