1、1.4 角平分线一、选择题1如图 1101 所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别在D,C 的位置，若 EFB=65，则AED 等于 （ ）A70 B65 C50D252如图 1102 所示在 ABC 中，AC=BC ，C=90，AD 平分CAB交 BC 于点D，DE AB 于点 E若 AB=6 cm，则 DEB 的周长为 （ ）A12 cm B8 cm C6 cm D4 cm3如图 1103 所示，D，E 分别是ABc 的边 ACBc 上的点，若ADBEDBEDC，则C 的度数为 （ ）A15 B20 C25 D304如图 1104 所示，OP 平分AOB，PA OA ，P
2、BOB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是 （ ）APA=PB BPO 平分APBC OA=OB DAB 垂直平分 OP二、填空与解答题5补全“求作AOB 的平分线”的作法：在 OA 和 OB 上分别截取OD，OE 使 OD =OE；分别以 D，E 为圆心，以 为半径画弧，两弧在AOB 内交于点 C；连接 OC则 OC 即为AOB 的平分线6如图 1105 所示，D，E，F 分别是,ABC 的三边上的点，CE=BF，DCE 和DBF 的面积相等求证 AD 平分BAC7如图 1106 所示，AD 为 ABC 的角平分线，DEAC 于点E，DF AB 于点 F，EF 交 AD 于点 M，求证
3、 AM EF8如图 1107 所示，,在 EAABC 中，B=90 ，AB=7，BC=24，AC=25ABC 内是否有一点 P 到各边的距离相等？ ?如 果有，请作出这 一点 ，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没有，请说明理由（简要说明作图过程即可）9某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是 3000 m根据这些资料，考古队员很快找到了这座古城的遗址请你运用学过的知识在图 l108 上找到古城的遗址（比例尺为 1：100000）10学完了“角平分线”这节内容，爱动脑筋的小明发现了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在如
4、图 1109 所示的 RtAABC 的斜边AB 上取点 E，使 BE=BC，然后作 DEAB 交 AC 于点 D，那BD 就是ABC 的平分线你认为他的作法有道理吗？说说你的看法11现有一块三角形的空地，其三边的长分别为 20 m，30m ，40 m，现要把它分成面积为 2：3：4 的三部分，分别种植不同的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由12如图 1110（1）所示，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为公共边的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图 1 一 110（2）所示，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD，CE 分别是
5、BAC，BCA 的平分线，AD ，CE 相交于点 F，请你写出 FE与 FD 之间的数量关系；（不要求写证明）（2 ）如图 1-110（3）所示，在 AABC 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由参考答案1C 提示：折痕 EF 恰为DED的角平分线， DEF= D EF又ADBC，DEF=EFB= 65DED=652=130AED =180一DED=50提示：易知DE=DC，AE=AC=BC，BEDEBD=BDDCBE BCBE=ACBE=AEBE=AB=6 cm 3D 提示：易证C=DBE=DBA，DEC
6、= DEB=A=904D 提示：证明OAPOBP， 可得答案5.大于 DE 长126证明：如图 1 一 l11 所示，过点 D 作 DHAB 于 H，DGAC 于 G，因为SDCE =SDBF ,所以 CDG=BF DH，又 CE=BF，所以 DG=DH，所以点 D 在BAC 的平分线上，即 AD 平分BAC7证明：因为 AD 平分BAC，DEAC，DFAB，所以 DF=DE在 Rt ADF 和 RtADE 中， 所以 RtADFRtAD（HL ）所 AF=AE在AMF 和AME 中， 所以AMF AME（），所以AMF=AME 又因为AMF AME=180，所以AMF= AME=90，即 A
7、MEF8解：有，如图 1 一 112 所示，作BAC，ACB 的平分线，它们的交点 P 即为符合要求的点理由：作PDAB ，PEBC，PFAC，垂足分别为 D，E，F ，因为 AP 是BAC 的平分线，所以 PD=PF又 CP 是ACB 的平分线，所以 PE=PF，所以 PD=PE=PF连接 PB，设 PD=PE=PF=x ，由题意 SAPB S AC S P B = S ，即 7x 24x 25x= 247，解这个方 程，得1212x=3即这个距离为 39解：作两条河岸夹角的平分线，再以古塔所在的位置为圆心，以 3 cm 长为半径画弧，弧线与角平分线的交点即为所求 图略10解：小明的作法是有
8、道理的根据他的画法我们可以用 HL 证明 RtBCDRtBED，得CBD=EBD11解：如图 1 一 113 所示，AC=20，BC=30 ，AB=40，作出该三角形空地 ABC 的三条角平分线的交点 P，连接 PA，PB ，PC，则 SACP ： SBCP ：S ABP 2：3：4理由：作PDAB ，PFAC，PEBC，垂足分别为 D，F ，E，由角平分线的性质定理，可知 PD=PE=PF，S ACP ： SBCP ：S ABP =（ PFAC）：12（ PEBC）：（ PDAB）=AC ：BC ：AB=2：3:4 121212解：在 OM，ON 上分别取 OA， OB，使 OA=OB，再在
9、 OP 上任取一点D，连接 AD，AD=AD，DF=DE，AF=AE，FAM=EAM，AM=AM，BD，则OAD 与OBD 全等，如图 l 一 114（1）所示（1）FE 与 FD 之间的数量关系为 FE=FD （2）（1）中的结论 FE=FD 仍然成立证法 1：如图 1114（2）所示，在AC 上截取 AG=AE，连接 FG，则AEFAGF，所以AFE=AFG，FE=FG由B=60 ，AD，CE 分别是BAC ，BCA 的平分线，可得2360，所以AFE=AFG=CFD=23=60，所以CFG=180606060，所以CFG=CFD 由3=4 及 FC为公共边，可得CFGCFD ，所以 FG=FD，所以 FE=FD证法 2：如图1114（3）所示，过点 F 分别作 FGAB 于点 G，FHBC 于点 H，FI AC于点 I因为B=60，且 AD，CE 分别是BAC，BCA 的平分线， 所以2 十3=60，EFA=23=60，所以GEF=601由角平分线的性质可得 FG=FI=FH又因为 HDF= B 1，所以 GEF= HDF因此由 EGF= DHF， GEF= HDF， FG=FH 可证AEGF DHF， 所以 FE=FD
