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类型初中数学竞赛辅导通用资料21:比较大小.doc

  • 上传人:weiwoduzun
  • 文档编号:4538295
  • 上传时间:2019-01-02
  • 格式:DOC
  • 页数:4
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    初中数学竞赛辅导通用资料21:比较大小.doc
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    1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料(21)比较大小甲内容提要1 比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用求差法。根据不等式的性质:当 ab0 时,a b; 当 ab0 时,a=b; 当 ab0 时 ab。2 通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的个数决定其符号。3 需要讨论的可借助数轴,按零点分区。4 实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到它。即若 a 是实数,则 a20,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式) 。诸如(ab) 20, a 2+10, a 2+a+1=(a+ 1)2+ 430a 20,

    2、 (a 2+a+2)0 当 ab 时,(a b) 20乙例题例 1 试比较 a3 与 a 的大小 解:a 3a=a(a+1)(a 1) a3a=0,即 a3=a 以1,0,1 三个零点把全体实数分为 4 个区间,由负因数的个数决定其符号: 当 a1 时,a+1 0,a 0,a10(3 个负因数)a 3a0 即 a3a 当1a0 时 a 0,a 1 0(2 个负因数) a 3a0 即 a3a当 0a1 时, a 10(1 个负因数) a 3a0 即 a3a当 a1 时,没有负因数, a 3a 0 即 a3a综上所述当 a=0,1,1 时, a3=a当 a1 或 0a 1 时,a 3 a当1a0

    3、或 a1 时,a 3 a。 (试总结符号规律)例 2 什么数比它的倒数大?解:设这个数为 x,则当并且只当 x 0 时,x 比它的倒数大,x 1 )1(21 0 1以三个零点1,0,1 把实数分为 4 个区间,由例 1 可知当 x1 或1x0 时,x 比它的倒数大。例 3 己知步行的速度是骑车速度的一半,自行车速度是汽车速度的一半,甲、乙两人同时从 A 去 B,甲乘汽车到中点,后一半用歩行,乙全程骑自行车,问誰先到达?解:设从 A 到 B 有 x 千米,步行速度每小时 y 千米,那么甲、乙走完全程所用时间分别是 t 甲 y8524, t 乙 x4学优中考网 t 甲 t 乙 yx8345 x0,

    4、y0 t 甲 t 乙 0答:乙先到达 B 地例 4 己知 abc ,求证:a 2+b2+c2ab+bc+ca证明:a 2+b2+c2ab+bc+ca 12(a 2+b2+c2ab+bc+ca) (2a 2+2b2+2c22ab+2bc+2ca) (a-b ) 2+(b-c)2+(c-a)2abc, (a-b) 20,(b-c) 20,(c-a) 20a 2+b2+c2ab+bc+ca又证:ab,(a-b) 20 a 2+b22ab(1)同理 b2+c22bc(2) c2+a22ca(3)(1)+(2)+( 3)得 2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca 即 a2+b2+c2ab+bc+c

    5、a例 5 比较 3(1a 2+a4)与(1+a+a 2)2 的大小解:3(1a 2+a4)(1+a+a 2)23(1a+a 2) 2-2a-2a2-2a3(1+a+a 2)22(1+a+a 2)26a(1a+a 2)=2(1a+a 2)( 1a+a 2-3a)=2(1a+a 2)(1-a)21a+a 2( 4)a0, (1-a) 20当 a=1 时,3(1a 2+a4)(1+a+a 2)2当 a1 时,3(1a 2+a4) (1+a+a2)2 例 6 解方程 x 解:以0.5,和 2 两个零点分为 3 个区间当 x0,bbcd0 且 a b=cd, 试比较 a+c 与 b+d 的大小6 己知 aay+bx7 己知 aaz+bx+cy ax+by+czaz+bx+cy(提示:可应用第 6 题的结论 )8 己知 a0 (abc) 21 a 2-b2-c2-110.水池装有编号为的 5 条水-管,其中有的是进水管,有的是出水管,同时开放其中的两条水管,注满水池所用的时间列表如下开放的水管号 时间(小时) 2 15 6 3 10问单独开放哪条水管能最快注満水池?答:丙练习 21 参考答案:1. b06. (ax+by)-(ay+bx)=7. 运用上一题的结论8. 只有成立,都可以 a=2,b=-3 作为反例9. 只有成立 10.(4)学优中考网 学%优 中- 考。 ,网

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