1、一、知识点记要4、函数的奇偶性:(1)奇函数: fxf(2)偶函数: ()xf注意:函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性由于任意 和 均要在定义域内,故奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称所以x我们在判定函数的奇偶性时,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称若奇函数的定义域中有零,则其函数图象必过原点,即 .(0)f函数的单调性是对区间而言,它是“局部”性质;而函数的奇偶性是对整个定义域而言的,它是“整体”性质偶函数在对称区间上的单调性相反,奇函数在对称区间上的单调性相同。(3)证明和判断函数奇偶性的方法步骤:利用定义判断函数奇偶性的一般步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原
2、点对称; 确定 ;()fxf与 的 关 系作出相应结论:若 ;()()0,()fffxf或 则 是 偶 函 数若 (xx或 则 是 奇 函 数(4)奇偶函数图象的性质特点:偶函数的图象关于 轴对称;奇函数的图象关于原点对y称(5)函数 为奇函数可推得:()fxa(6)函数 为偶函数可推得:(7)两个函数的定义域的交集非空,则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数,奇函数与奇函数的成绩是偶函数,偶函数与偶函数的乘积是偶函数。5、函数的图象及其变换(1)函数的轴对称:定理 1:如果函数 满足 ,则函数 的图象关于yfxfaxfbyfx直线 对称.2abx推论 1:如果函数 满足 ,则函数 的图象关于直yf
3、xfaxfyfx线 对称.xa推论 2:如果函数 满足 ,则函数 的图象关于直线yfxffxyfx(y 轴)对称.特别地,推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的0x简化.(2)函数的点对称:【实验班】定理 2:如果函数 满足 ,则函数 的图象关yfx2faxfbyfx于点 对称.,ab推论 3:如果函数 满足 ,则函数 的图象关yfx0faxfyfx于点 对称.,0a推论 4:如果函数 满足 ,则函数 的图象关于原点yfx0ffxyfx对称.特别地,推论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化.0,二、针对练习:(重点练习函数的图象)1已知 是定义 上的奇函数,且
4、 在 上是减函数下列关系fx,fx0,式中正确的是 ( ) 5ff 43ff 2 82如果奇函数 在区间3,7 上是增函数且最小值为 5,那么 在区间fx fx上是 ( )7,3增函数且最小值为 增函数且最大值为5 5减函数且最小值为 减函数且最大值为3下列函数中,在区间(0, 2)上为增函数的是 ( )A B C D1yxyx24yx2yx4对于定义域是 R 的任意奇函数 有 ( )fA B0fxf0fxfC D5求函数 的最大值,最小值21yxx6将长度为 l 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为_7函数 的单调性是_0fxkb8函数 是偶函数,而且在 上是减函数,判断 在 上是增fx0,fx,0函数还是减函数,并加以证明9如果二次函数 在区间 上是增函数,求 的215fxax1,22f取值范围10求函数 的最大值23yx11已知函数 判断 在区间(0,1 和 1,+)上的单调性,说明1fxfx理由13作出函数 的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间21yx