1、 等腰三角形一、选择题1. （2011 贵州毕节，13，3 分）如图，已知 ABAC ，A ，AB 的中垂线 MD 交 AC 于点 D、36交 AB 于点 M。下列结论：BD 是ABC 的平分线；BCD 是等腰三角形；ABCBCD；AMDBCD，正确的有( )个A4 B3 C2 D1(第 13 题)【答案】B2. （2011 广东深圳，12,3 分）如图 4, ABC 与DEF 均为等边三角形, O 为 BC、 EF 的中点，则AD:BE 的值为( )A. :1 3B. :1 2C. 5:3 D. 不确定【答案】A3. （ 2011 内蒙古呼和浩特市，7,3 分） 如 果 等 腰 三 角 形
2、两 边 长 是 6cm和 3cm， 那 么 它 的 周 长 是 （ ）A. 9cm B. 12cm C. 15cm或 12cm D. 15cm【 答 案 】 D4. （2011 福建莆田，7，4 分）等腰三角形的两条边长分别为 3、6，那么它的周长为（ ）A.15 B.12 C.12 或 15 D.不能确定【答案】A5. （2011 黑龙江绥化，20，3 分）如图在 RtABC 中，AB=CB，BOAC，把ABC 折叠，使 AB 落在 AC上，点 B 与 AC 上的点 E 重合，展开后，折痕 AD 交 BO 于点 E，连结 DE、EF.下列结论： ADB=2 tan图中有 4 对全等三角形 将
3、DEF 沿 E 折叠，则点 D 不一定落在 AC 上 BD=BF ，上述结论中正确的个数是（ ）AOFDFES四 边 形A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个【答案】C/ 1526. （2011 吉林长春， 8,3 分）如图，直线 ，点 在直线 上，以点 为圆心，适当长为半径画1l2A1lA弧，分别交直线 、 于 、 两点，连结 、 若 ，则 的大小为1l2BCBC541（A） （B） （C） （D） 3654773【答案】（C）7. （2011 年铜仁地区，7，4 分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）.等腰三角形两底角相等B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线
4、互相重合C.等腰三角形是中心对称图形D.等腰三角形是轴对称图形【答案】C8. （2011 内蒙古赤峰，8，3 分）如图，在ABC 中，AB=20， AC=12，点 P 从点 B 出发以每秒3的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ 是等腰三角形时，运动的时间是 （ ）A 2.5 B3 秒 C3.5 秒 D4 秒 QCBP A【答案】D9. （2011 吉林长春，8，3 分）如图，直线 ，点 在直线 上，以点 为圆心，适当长为半径画1l2A1lA弧，分别交直线 、 于 、 两点，连结 、 若 ，则
5、的大小为1l2BBC541（A） （B） （C） （D） 3654773来源:学优中考网【答案】（C ）11. （2010 乌鲁木齐，10，4 分)如图，等边三角形 的边长为 3，点 为 边上一点，且ABCPBC，点 为 边上一点若 ，则 的长为1BPDA60APDA. B. C. D.123【答案】B12. 13. （2011 青海西宁，10，3 分）如图 6，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且ADB +EDC=120 ，BD =3，CE=2，则ABC 的边长为A9 B12 C16 D18【答案】A二、填空题1. （2011 福建泉州，12，4 分）如图，在
6、ABC 中，AB=AC，B=4 0，则A= ./ 154【答案】100；2. （2011 河南，8，3 分）如图，在ABC 中，AB=AC ，CD 平分 ACB， A=36，则BDC 的度数为 .【答案】723. （2011 辽宁大连，15,3 分）如图 4，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB 的长为 6cm，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后得到 AB C，则图中阴影部分面积等于_cm 2图 4CBCBA【答案】6 34. （2011 山东莱芜，15，4 分）如图，已知在ABC 中，AB=BC,B= ,AB 的垂直平分线交 AC 于点 D.若 AC=6cm，则 AD=_cm. 01
7、2图图15图图图DCBA【答案】25. （2011 江西，14,3 分）如图，在 ABC 中，A B=AC，A=80，E ,F,P 分别是 AB,AC,BC 边上一点，且 BE=BP，CP=CF，则EPF= 度.【答案】506. （2011 吉林长春，12,3 分）如图，在ABC 中，B=30，ED 垂直平分 BC，ED=3，则 CE 的长为_【答案】67. （2011 内蒙古包头，19，3 分）如图 4，ABD 与AEC 都是等边三角形，ABAC，下列结论中：BE=DC；BOD=60 ； BOD COE.正确结论的序号是 .图 4【答案】8. （ 2011 吉林长春， 12，3 分）如图，在
8、ABC 中，B=30，ED 垂直平分 BC，ED=3，则 CE 的长为_【答案】69. （2011 张家界，15，3 分）如图，ABC 中，AB=AC，点 D 为 BC 的中点，BAD=20，则C= .【答案】701011.12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题1. (2011 广东河源，21，本题 满分 9 分)BACDEOACDB/ 156如图 9,已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB 上的动点（P 不与 A，B 重合），分别以 AP、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正APC 和正PBD （1）当APC 与PBD 的面积之和取最小值时， AP= ；（直接写结果）_（
9、2）连结 AD、BC ，相交于点 Q，设AQC=，那么 的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由；（3）如图 10，若点 P 固定，将PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180），此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）【答案】（1） ；（2） 的大小不会随点 P 的移动而变化，3a理由：APC 是等边三角形，PA=PC, APC=60 0,BDP 是等边三角形， PB=PD, BPD=60 0, APC=BPD,APD= CPB, APDCPB, PAD=PCB, QAP+ QAC+ACP=120 0,QCP+QAC+ ACP=120 0, AQC=18
10、0 0-1200 =600;(3) 此时 的大小不会发生改变，始终等于 600.2. （2011 湖北随州，18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长第 18 题图BAEDF C【答案】连结 BD，证BEDCFD 和AED BFD，求得 EF=53. （2011 湖北襄阳，21，6 分）如图 6，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，连接 AD，AE. ABAC；ADAE；BD CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题： ；
11、 ； .（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.ED CB A图 6【答案】（1） ； ； . 3 分（2）（略） 6 分4. (2011 四川达州，20，6 分) 如图，ABC 的边 BC 在直线 上，ACBC，且 AC=BC，DEF 的边mFE 也在直线 上，边 DF 与边 AC 重合，且 DF=EFm（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出 AB 与 AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将DEF 沿直线 向左平移到图（2）的位置时，DE 交 AC 于点 G，连结 AE，BG猜想BCG与ACE 能
12、否通过旋转重合？请证明你的猜想【答案】解:（6 分）(1)AB=AE, ABAE (2) 将 BCG 绕点 C 顺时针旋转 90后能与ACE 重合（或将ACE 绕点 C 逆时针旋转 90后能与BCG 重合），理由如下： ACBC，DFEF，B 、F 、C、E 共线，ACB=ACE=DFE=90又AC=BC，DF=EF，DFE=D=45，在CEG 中，ACE=90，CGE=DEF=90 ，CG=CE， 在BCG 和ACE 中 CEGABBCGACE（SAS） / 158将BCG 绕点 C 顺时针旋转 90后能与ACE 重合（或将 ACE 绕点 C 逆时针旋转 90后能与BCG 重合）5. （20
13、11 湖北省随州市，18，8 分）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边的中点，过 D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F。若 AE=4，FC=3，求 EF 长。【答案】解：连接 BD.三角形 ABC 是等腰直角三角形， D 为 AC 边的中点。BD=DC, ABD=C=45，BDAC。BDF+FDC=90。又 DEDFBDF+BDE=90。FDC=BDE.BEDCFDBE=FC=3,BF=BC-FC=AB-BE=AE=4EF=56. （2011 吉林长春，20,5 分）在正方形网格图、图中各画一个等腰三角形要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点，其余
14、顶点从格点、中选取，并且所画的两个三角形不全等 B HGCD FEA B HGCD FEA图 图 【答案】以下答案仅供参考 BCD E FHGABCD E FHGA BCD E FHGA BCD E FHGA7. （2011 吉林长春，24,6 分）探究如图，在 的形外分别作等腰直角ABF 和等腰直角 ADE,AB AB,连结 AC、EF在图中找一个与FAE 全等的三角形，并加以证明（分）90应用以 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连结 EF、GH 、IJ、KL，ABCD若 的面积为 5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 _（分）【答案】24. FAECDA证明：在 中，AB=CD
15、 BAD+ADC=180ABCD等腰直角ABF 和等腰直角ADE 中，AF=AB,AE=ADFAB=EAD=90FAE+BAD=180FAE=ADC,FAECDA（SAS）四个三角形的面积和为： 154028. （2011 江苏徐州，27,8 分）如图，在ABC 中，AB=AC,BC=acm ，B=30 ，动点 P 以1cms 的速度从点 B 出发，沿折线 BAC 运动到点 C 时停止运动.设点 P 出发 x s 时，PBC 的面积为 y .已知 y 与 x 的函数图象如图所示.请根据图中的信息，解答下列问题：2cm（1）试判断DOE 的形状，并说明理由；（2）当 a 为何值时，DOE 与AB
16、C 相似？图 图来源:学优中考网 xYzkw（第 27 题）【答案】（1）DOE 为等腰三角形 .理由：当点 P 在线段 AB 上时，过点 P 作 PDBC 于点 D,则 PB=x cm，因为B=30，所以 PD= PB= x.，12所以 y 与 x 的函数关系为 y= a（ x）= ax；14过点 D 作 DF OE 于 F,/ 1510所以 OE=x=AB= .1a23=acos B当点 P 在线段 AC 上时，过点 P 作 PEBC 于点 E,则 PC=2ABx= cm，1a1232xa-x=a-cos因为 AB=AC所以C=B=30，所以 PE= PC= ( )，123a-x所以 y
17、与 x 的函数关系为 y= a ( )= ；123-x21ax64令 =0 得 x= .213a64即 OE=又因为 OE=. 3a所以 OE=FE因为 DFOE所以 DF 是线段 OE 的垂直平分线所以 DE=DO即DOE 为等腰三角形 .（2）要使DOE 与ABC 相似，需要满足DOF= B=30.因为 tanDOF= DFO又因为 y= ax14所以 3a=所以 a= 43即当 a= ，DOE 与ABC 相似9. （2011 辽宁沈阳，19，10 分）如图，在ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 边上一点，B=30，DAB=45。（1）求DAC 的度数；（2）求证：DC= ABABAD
18、 C第 19 题图【答案】（1）AB=ACB=C=30CBACB=180BAC=180 3030=120DAB=45DAC=BA C DAB=12045=75（2）DAB=45ADC=BDAB=75DAC=ADCDC=ACDC= AB10（2011 山东济南，28，9 分）如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 重合）分别以AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE ，CA = CD，CB = CE，ACD 与BCE都是锐角且ACD =BCE ，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点P，连接 PC（1）求证：ACE
19、DCB；（2）请你判断AMC 与DMP 的形状有何关系并说明理由；（3）求证：APC =BPC【答案】（1）证明：ACD 和BCE 都是等腰三角形，AC = DC，BC = EC来源:学优中考网 xYzKwPNM EDC BA第 28 题图/ 1512ACD = BCE， ACE = DCB在ACE 和 DCB 中，ACE DCB（SAS）（ 2） AMC DMP理由如下：由（1）知ACEDCB ， CAE = CDB又 AMC = PMD， AMC DMP（3）证明：在 DB 上截取 DF=AP，连接 CF，由（1）知 ACE DCB， CAE = CDB又CA = CD， DF=AP，AC
20、P DCF， APC= DFC， CP=CFBPC =D FC，APC =BPC F BA CD EM NP第 28 题图11. （2011 湖北鄂州，18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长第 18 题图BAEDF C【答案】连结 BD，证BEDCFD 和AED BFD，求得 EF=512. （2011 云南玉溪， 22， 11 分）将两个等边ABC 和 DEF （DEAB）如图所示摆放，点 D是 BC 上一点（除 B、C 外），把DEF 绕顶点 D 顺时
21、针方向旋转一定的角度，使得边 DE、DF 与ABC 的边（边 BC 除外）分别相交于点 M、N.（1）BMD 和CDN 相等吗？（2）画出使BMD 和CDN 相等得所有情况的图形；（3）在（2）题中任选一种图形说明BMD 和CDN 相等的理由. （3）选证明：ABC 和DEF 均为等边三角形，B=EDF=60，ADB+BMD= ADB+ CDN=120 BMD=CDN13. （2011 内蒙古包头，24，10 分）在 RtABC 中，AB=BC=5，B=90 ，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AC 的中点 O 处，将三角板绕点 O 旋转，三角板的两直角边分别交 AB、BC 或其延长线于
22、 E、F 两点，如图 8（1）与图 8（2）是旋转三角板所得图形的两种情况（1）三角板绕点 O 旋转， OFC 是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出OFC是等腰直角三角形是 BF 的长），若不能，请说明理由；（2）三角板绕点 O 旋转，线段 OE 与 OF 之间有什么数量关系？用图 8（1）或图 8（2）加以证明；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边的点 P 处（如图 8(3)），当 AP：AC=1：4 时，PE 和 PF 有怎样的数量关系？证明你的结论来源:学优中考网AB CXOEFAB COEFAB CEFP图 8（1） 图 8（2） 图8（3）【解】（1）OFC 能成为等腰
23、直角三角形，包括：当 F 在 BC 中点时，CF=OF，BF= 5当 B 与 F 重合时，OF=OC， BF=0（2）如图（1），连接 OB，则对于OEB 和OFC 有22MNFEB DAC/ 1514OB=OCOBE=OCF=45EOB+BOF=BOF+COF=90EOB=COFOEBO FCOE=OF（3）如图（2），过 P 点作 PMAB，垂足为 M，作 PNBC，垂足为 N，则EPM+EPN=EPN+FPN=90EPM=FPN又EMF=PNF=90PMEPNFPM ： PN=PE：PFRtAMP 和 RtPNC 均为等腰直角三角形APM PCNPM ： PN=AP：PC又PA：AC=1
24、：4PE：PF=1 ： 314. （2011 吉林长春，20，5 分）在正方形网格图、图 中各画一个等腰三角形要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点，其余顶点从格点、中选取，并且所画的两个三角形不全等 B HGCD FEA B HGCD FEA图 图 【答案】以下答案仅供参考 BCD E FHGABCD E FHGA BCD E FHGA BCD E FHGA15. （2011 吉林长春，24，7 分）探究如图 ，在 的形外分别作等腰直角ABF 和等腰直角 ADE,AB AB,连结 AC、EF在图中找一个与 FAE 全等的三角形，并加以证明（分）90应用以 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连结 EF、GH、IJ、KL ，CD若 的面积为 5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为_（分）AHIJKLEFGDACB FEDA CB【答案】24. FAECDA证明：在 中，AB=CD BAD+ADC=180AD等腰直角ABF 和等腰直角 ADE 中，AF=AB,AE=ADFAB=EAD=90FAE+BAD=180FAE=ADC,FAECDA（SAS）四个三角形的面积和为： 15402
