1、高中数学高一年级必修 5 第二章第四节等比数列第一课时 等比数列（导学案）制作单位：沙市五中 作者：杨春亮目标定位：1.理解等比数列的定义，能够用定义判断一个数列是否为等比数列。2.掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系。 （重点）3.掌握等比中项的概念，并能应用宝其定义解决问题。 （难点）等比数列的定义提出问题考察下面几个数列：(1)4，4,4，4，；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍，且共有 64 个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，2 63；(3)某人年初投资 10 00
2、0 元，如果年收益率是 5%，那么按照复利，5 年内各年末的本利和依次为10 0001.05,10 0001.052，10 0001.05 5.问题 1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？提示：不是问题 2：这三个数列，从第二项起与前一项的比有什么特点？提示：都等于同一个常数导入新知等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0) 化解疑难1 “从第 2 项起” ，也就是说等比数列中至少含有三项；2 “每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比” ；3 “同一常数 q”
3、，q 是等比数列的公比，即 q 或 q .特别注意，q 不可以anan 1 an 1an为零，当 q1 时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列.等比中项提出问题问题：观察上面的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积导入新知如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G ，b 成等比数列 ，那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G .ab化解疑难1G 是 a 与 b 的等比中项，则 a 与 b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项G ，即等比中项有两个，且互为相反数ab2当 G2ab 时，G 不一定是 a
4、 与 b 的等比中项例如 0250，但 0,0,5 不是等比数列.等比数列的通项公式提出问题问题：若数列a n为等比数列，公比为 q，则：a2a 1q，a 3a 2qa 1q2，a 4a 3qa 1q3，a 5a 4qa 1q4，由此你可以得出什么结论呢？提示：a na 1qn1 .导入新知等比数列a n的首项为 a1，公比为 q(q0) ，则通项公式为：a na 1qn1 .化解疑难1在已知首项 a1 和公比 q 的前提下，利用通项公式 ana 1qn1 可求出等比数列中的任一项；2等比数列a n的通项公式 ana 1qn1 ，可改写为 an qn.当 q0 且 q1 时，这是a1q指数型函
5、数.等比数列的判断与证明例 1 已知数列a n是首项为 2，公差为1 的等差数列，令 bn an，求证数(12)列b n是等比数列，并求其通项公式解 依题意 an2(n1)(1) 3n，于是 bn 3n .(12)而 1 2.bnbn 1(12)3 n(12)4 n (12)数列b n是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn2 n3 .类题通法证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法： q(q 为常数且 q0)或 q(q 为常数且 q0，n2) a n为等an 1an anan 1比数列(2)等比中项法：a a nan2 (an0，nN *)a n为等比数列2n 1(3)通项公式法：a na
6、 1qn1 (其中 a1，q 为非零常数，nN *) an为等比数列活学活用1已知数列a n的前 n 项和 Sn2a n，求证：数列a n是等比数列证明：S n2a n，S n1 2a n1 .a n1 S n1 S n(2a n1 )(2a n)a na n1 .a n1 an.12又S 12a 1，a 110.又由 an1 an知 an0，12 .an 1an 12a n是等比数列.等比数列的通项公式例 2 在等比数列a n中，(1)a42，a 78，求 an；(2)a2a 518，a 3a 69，a n1，求 n.解 (1) 因为Error! 所以Error!由 得 q34，从而 q ，
7、而 a1q32， 34于是 a1 ，所以 ana 1qn1 2 .2q3 12 2n 53(2)法一：因为Error!由 得 q ，从而 a132. 12又 an1，所以 32 n1 1，(12)即 26n 2 0，所以 n6.法二：因为 a3a 6q(a 2a 5)，所以 q .12由 a1qa 1q418，得 a132.由 ana 1qn1 1，得 n6.类题通法与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式，a na 1qn1 (a1q0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量求解时，要注意应用 q0
8、验证求得的结果活学活用2(1)若等比数列的前三项分别为 5，15,45，则第 5 项是 ( )A405 B405C135 D135(2)(2012辽宁高考)已知等比数列a n为递增数列，且 a a 10,2(ana n2 )5a n1 ，则25数列 an的通项公式 an_.解析：(1)选 A a 5a 1q4，而 a15，q 3，a2a1a 5405.(2)根据条件求出首项 a1 和公比 q，再求通项公式由 2(ana n2 )5a n1 2q 25q20q2 或 ，由 a a 10a 1q90a 10，又数列a n递增，所以12 25q2.a a 100( a1q4)2a 1q9a 1q2，
9、所以数列a n的通项公式为 an2 n.25答案：(1)A (2)2 n等比中项例 3 设等差数列a n的公差 d 不为 0，a 19d，若 ak是 a1 与 a2k的等比中项，则 k等于( )A2 B.4C6 D8解析 a n(n8)d，又a a 1a2k，2k(k8) d29d(2 k8)d，解得 k2( 舍去)，k4.答案 B类题通法等比中项的应用主要有两点：计算，与其它性质综合应用可以简化计算、提高速度和准确度用来判断或证明等比数列活学活用3已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项，又是 与 的等差中项，则 的值是( )1a 1b a ba2 b2A1 或 B.1 或12 12C1
10、或 D1 或13 13解析：选 D 由题意得，a 2b2( ab)21， 2，1a 1bError!或Error!因此 的值为 1 或 .a ba2 b2 13a 4 与 a8 的等比中项为4.随堂即时演练1等比数列a n中，a 1a 310，a 4a 6 ，则公比 q 等于 ( )54A. B.14 12C2 D8解析：选 B a n为等比数列， a 4a 6( a1a 3)q3，q 3 ，q .18 122已知等差数列a n的公差为 3，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a2 等于( )A9 B.3C3 D9解析：选 D a 1a 23，a 3 a23，a 4a 232a 26，由
11、于 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a a 1a4，23所以(a 23) 2( a23)( a26)，解得 a29.3在数列a n中，a 12，且对任意正整数 n,3an1 a n 0，则 an_.解析：3a n1 a n0， ，an 1an 13因此a n是以 为公比的等比数列，13又 a12，所以 an2 n1 .(13)答案：2 n1(13)4(2011广东高考)已知a n是递增等比数列，a 22，a 4a 34，则此数列的公比q_.解析：由题意得 2q22q4，解得 q2 或 q1.又a n单调递增，得 q1，q2.答案：25(1)已知a n为等比数列，且 a58，a 72，该数列的各项都为正数，求 an.(2)若等比数列a n的首项 a1 ，末项 an ，公比 q ，求项数 n.98 13 23(3)若等比数列a n中 an4 a 4，求公比 q.解：(1)由已知得Error!得Error!，a n0，Error!a n128 n1 2 8n .(12)(2)由 ana 1qn1 ，得 n1 ，13 98(23)即 n1 3，得 n4.(23) (23)(3)a n4 a 4q(n4)4 a 4qn，又 an4 a 4，q n1，当 n 为偶数时，q1；当 n 为奇数时，q1.
