1、1.2 函数及其表示一、填空题1.设函数 f(x)Error! 则 _.1()2f解析 本题主要考查分段函数问题正确利用分段函数来进行分段求值 f(2)4， f 1 .()f(14) 116 1516答案 15162. 若函数 f(x)Error! 则函数 y f(f(x)的值域是_解析 当 x0 时， f(x)2 x(1,0)，故 y f(f(x)2 f(x) ，从而原函(12， 1)数的值域为 .( 1， 12) (12， 1)答案 (12， 1)3设函数 f(x)Error! 若 f(a) a，则实数 a 的值是_解析 当 a0 时，1 a a，所以 a .12 23当 a0 时， a，
2、所以 a1.1a答案 或1234设集合 M x|0 x2， N y|0 y2，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的序号有_解析 由映射的定义，要使函数在定义域上都有图象，并且一个 x 对应着一个y，据此排除，中值域为 y|0 y3不合题意答案 5.下列函数中与函数 y=x 相同的是_ ； ； ； 2()yx3yt2yx2xy解析 因为 所以应天. 3t答案 6已知 f x2 ，则 f(3)_.(x1x) 1x2解析 f 22，(x1x) (x 1x) f(x) x22( xR)， f(3)3 2211.答案 117已知实数 a0，函数 f(x)Error!若 f(
3、1 a) f(1 a)，则 a 的值为_解析 当 1 a1，即 a0 时， a11，由 f(1 a) f(1 a)，得 2(1 a) a(1 a)2 a，解得 a (舍去)32当 1 a1，即 a0 时， a11，由 f(1 a) f(1 a)，得 2(1 a) a(1 a)2 a，解得 a .34答案 348若 f(x) ，则 f(x)的定义域为_1log12 2x 1解析 因为 log (2x1)0，所以 02 x11，解得 x0.12 12答案 (12， 0)9.设函数 f(x)= 若 f(-3)=f(0),f(-1)=-2,则关于 x 的方程 f(x)20bcx=x 的解的个数为_ 解
4、析 由 f(-3)=f(0),f(-1)=-2 可得 b=3,c=0,从而方程 f(x)=x 等价于或 解 得到 x=0 或 x=-2,从而得方程 f(x)0()2xf203x203x=x 的解的个数为 3. 答案 3 10对实数 a 和 b，定义运算“”： abError!设函数 f(x)( x22)(x1)， xR.若函数 y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是_解析 当( x22)( x1)1 时，1 x2，所以 f(x)Error! f(x)的图象如图所示y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，即方程 f(x) c 恰有两个解，由图象可知当
5、c(2，1(1,2时满足条件答案 (2，1(1,211对于使 x22 x M 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值 1 叫做 x22 x 的上确界，若 a， bR ，且 a b1，则 的上确界为12a 2b_解析 因为 a， bR ， a b1，所以 ( a b) 2 2 ，所以12a 2b (12a 2b) 52 2ab b2a 52 2abb2a 52 92 ，所以 的上确界为 .12a 2b 92 12a 2b 92答案 9212设函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x2) ，若 f(1)5，1f x则 f(f(5)的值为_解析 令 x1， f(3) .1f 1 15由
6、 f(x2) 得 f(x4) f(x)，1f x 1f x 2所以 f(5) f(1)5，则 f(f(5) f(5) f(1) .1f 1 2 1f 1 15答案 1513设 f(x)lg ，则 f f 的定义域为_2 x2 x (x2) (2x)解析 f(x)lg 有意义，则 0，即( x2)( x2)0，2 x2.2 x2 x 2 x2 x对 f f 有意义，则 Error!(x2) (2x)Error!4 x1，或 1 x4.答案 (4，1)(1,4)二、解答题14已知函数 f(x)log 2 的定义域为 A，值域为 B.(x3x a)(1)当 a4 时，求集合 A；(2)当 BR 时，
7、求实数 a 的取值范围解析 (1)当 a4 时，由 x 4 0，3x x2 4x 3x x 1 x 3x解得 0 x1 或 x3，故 A x|0 x1 或 x3(2)若 BR，只有 u x a 可取到一切正实数，则 x0 及3xumin0， umin2 a0.3解得 a2 .3实数 a 的取值范围为2 ，)315已知函数 f(x) ，常数 a0.2a 1a 1a2x(1)设 mn0，证明：函数 f(x)在 m， n上单调递增；(2)设 0 m n 且 f(x)的定义域和值域都是 m， n，求常数 a 的取值范围解析 (1)证明 任取 x1， x2 m， n，且 x1 x2，则f(x1) f(x
8、2) .1a2 x1 x2x1x2因为 x1 x2， x1， x2 m， n，所以 x1x20，即 f(x1) f(x2)，故 f(x)在m， n上单调递增(2) 因为 f(x)在 m， n上单调递增，f(x)的定义域、值域都是 m， nf(m) m， f(n) n，即 m， n 是方程 2a 1a x 的两个不等的正根 a2x2(2 a2 a)x10 有两个不等的正根1a2x所以 (2 a2 a)24 a20， 0 a .2a2 aa2 12即常数 a 的取值范围是 .(12， )16已知函数 f(x)Error!(1)求 f ， f(f(f(2)的值；(1 12 1)(2)求 f(3x1)
9、；(3)若 f(a) ，求 a 的值32解析 (1)1 1( 1) 1，即 x ，23则 f(3x1)1 ；13x 1 3x3x 1若13 x11，即 0 x ，23则 f(3x1)(3 x1) 219 x26 x2；若 3x11 或1 a1.32当 a1 时，有 1 ， a2；1a 32当1 a1 时，有 a21 ， a .32 22 a2 或 .2217已知函数 f(x) ax2 1( a0 且 a1)4 ax(1)求函数 f(x)的定义域、值域；(2)求实数 a 的取值范围，使得函数 f(x)满足：当定义域为1，)时， f(x)0 恒成立解析 (1)由 4 ax0，即 ax4，当 01
10、时， xlog a4，故 f(x)的定义域为：当 a1 时，为(，log a4，当 01， f(x)是增函数，当 x1，)时， f(x) f(1) a21，由于 f(x)0 恒成立，4 a a2 10，解得 3 a4.4 a若 0a1， f(x)在1，)上是减函数， f(x)max a12 0，即 f(x)4 a0 不成立综上知，当 3 a4 时，在1，)上 f(x)0 恒成立18据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的
11、面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km)(1)当 t4 时，求 s 的值；(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由解析 (1)由图象可知；当 t4 时， v3412，所以 s 41224.12(2)当 0 t10 时， s t3t t212 32当 10 t20 时， s 103030( t10)30 t150；12当 20 t35 时， s 10301030( t20)30 (t20)12 122(t20) t270 t550.综上可知 sError!(3)当 t0,10时， smax 102150650.32当 t(10,20时， smax3020150450650.当 t(20,35时，令 t270 t550650.解得 t130， t240,0 t35 故 t30，所以沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N城
