1、2.3.2 平面与平面垂直的判定教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角:3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定教学难点：二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定教学过程：一、复习引入： 1 斜线,垂线,射影垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；
2、斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段2直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为 0角.直线和平面所成角范围： 0， 2二、讲解新课：1 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为 ，两个面分别为 的l,二面角记为 ；二面角的图形表示：l第一种是卧式法，也称为平卧式：ABCD EFGH IJKL第二种是立式法，也称为直立式
3、：DCBAElBO ABO A2二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ，,OAB则 叫做二面角 的平面角AOBl（2）一个平面垂直于二面角 的棱 ，且与两半平面交线分别为ll为垂足，则 也是 的平面角, AOB说明：（1）二面角的平面角范围是 ；0,18（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直3面面垂直的判定定理一个人平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”的问题图形表示：符号表示：三、讲解范例：例 1 在正四面体 中，求相邻两
4、个平面所成的二面角的平面角的大小ABCD解：取 的中点 ，连接 ，E,正四面体 ， 于 ，BED 为二面角 的平面角，AC方法一：设正四面体的棱长为 1，则 ，由余弦定理得3,2EDA1cos3A方法二：（向量运算）令 ， ，棱长为 1，Ba,CbD ，11()224Aabc又 ，3|EDos3AEOC1B1A1D1DA BCO1 C1B1A1D1DA BC即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为 1arcos3例 2在棱长为 1 的正方体 中，1AC（1）求二面角 的大小；BD（2）求平面 与底面 所成二面角 的平面角大小1 1BC解：（1）取 中点 ，连接 ，1O1,AC正方体 ， ，1
5、AC,BD 即为二面角 的平面角，1在 中， ，O16,2AC可以求得 即二面角 的大小为 1cos3A1Barcos3（2）过 作 于点 ，1CBDO正方体 ， 平面 ，1AC 为平面 与平面 所成二面角1O D的平面角，可以求得： 1tan2所以，平面 与底面 所成二面角 的平面角大小为1CBDA1CBarct2说明：求二面角的步骤：作证算答例 3已知：二面角 且 到平面 的距离为 ， 到 的距离l,23Al为 ，求二面角 的大小4解：作 于点 ， 平面 于点 ，连AOlABB接 ，B 于点 ， 于点 ，lO ， 即为二面角 的平面角，ll l BO A DCBPA易知， ，23,4ABO
6、 即二面角 的大小为 60l60说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例 4如图， 平面 ， ，若 ，求二面角ABCDB2ABCD的正弦值C分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过 作 于 ，过 作 交 于 ，连结 ，DEEFF则 垂直于平面 ， 为二面角 的平面角，F ，A又 平面 ，BC ， ， 平面 ，DF ， ，EBC又 ， ，AD 平面 ， ，CA设 ，则 ，BDa2a在 中，Rt， ，12BCSFBDC32Fa同理， 中， ，
7、，RtA152E3102sin5aDFE所以，二面角 的正弦值为 BCD105四、课堂练习：1 如图所示，已知 面 ， ，二面角 的平PAB,PBCABSSBCA面角为 ，求证： cosS证明：过 作 的垂线，垂足为 ，连接BCD 平面 ， 平面 ，PAAABCDEFDCFHBA E BCAD 为二面角 的平面角，PBCA即 面 PD 是直角三角形 ADcosP又 11,22PBCABCSSS 即coscscs说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2如图，在空间四边形 中， 是正三角形， 是等腰直角三角DBD形，且 ，又二面角 为直二面角，求二面角 的90BAABCC大小解：过
8、 作 于H二面角 为直二面角 面C取 中点 ， 为 中点，连接DEF,HF B/B CHD 为二面角 的平面角AFC令 ，则Ba236,2aBEa 在 中64HFRtAHF2tn3AHF 23arctnA即二面角 的大小为CDB23arctn3设 在平面 内的射影是直角三角形 的斜边 的中点 ，BCDO，求（1） 与平面 所成角的大小；（2）二面角,2AA的大小；（3）异面直线 和 的大小OE DCFBA解：（1） 面 AOBCDAO 为 与面 所成角C ,2B3 13ODcos2ACO 6AC即 与平面 所成角的大小为B6（2）取 中点 ，连接 E,OA/ECD CDB又 面 AOB 为二面角 的平面角EC又 121,A AOE2tanOE2arctnAEO即二面角 的大小为BCDarctn（3）取 的中点 ，连接 ，则A,FO/,/ABECD 与 所成的锐角或直角即为异面直线 和 所成角OEF易求得 45即异面直线 和 所成角为ABCD45五、小结 ：1.二面角的定义、画法. 2.二面角的平面角的定义、作法. 3.求简单的二面角的大小.
