1、3.2 函数模型及其应用一、填空题1.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y3 00020 x0.1 x2(0 x240， xN )，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是_台解析 设利润为 f(x)(万元)，则 f(x)25 x(3 00020 x0.1 x2)0.1 x25 x3 0000， x150.答案 1502某商品的单价为 5 000 元，若一次性购买超过 5 件，但不超过 10 件，则每件优惠 500 元；若一次性购买超过 10 件，则每件优惠 1 000 元某单位购买 x件(xN*，x15)，设最低的购买费用
2、是 f(x)元，则 f(x)的解析式是_解析 f(x)Error!这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论答案 f(x)Error!3从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升，然后用水加满，再倒出 1 升，再用水加满这样继续下去，则所倒次数 x 和残留消毒液 y 之间的函数解析式为_解析 所倒次数 1 次，则 y19；所倒次数 2 次，则 y19 所倒次数 x1920次，则 y19 x1 20 x.(1920) (1920)答案 y20 x(1920)4一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了
3、保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_小时才能开车(精确到1 小时)解析 设至少经过 x 小时才能开车由题意得 0.3(125%) x0.09，0.75 x0.3. xlog 0.750.35.答案 55为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文 加 密 发 送 解 密 已知加密为 y ax2( x 为明文， y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6” ，再发送，接受方通过解密得到明文“3” ，若接受方接到密文为“14” ，则原发的
4、明文是_解析 依题意 y ax2 中，当 x3 时， y6，故 6 a32，解得 a2.所以加密为 y2 x2，因此，当 y14 时，由 142 x2，解得 x4.答案 46已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 kg，配料的价格为 1.8 元/kg，每次购买配料需支付运费 236 元每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7 天以内(含 7 天)，无论重量多少，均按 10 元/天支付；超出 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/kg支付当 9 天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用 P_.解析 当 9 天购买一次配料时，该厂用于配料的保
5、管费用P700.03200(12)88(元)答案 88 元7某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，存期是 x，本利和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式是_解析 已知本金为 a 元，利率为 r，则1 期后本利和为 y a ar a(1 r)，2 期后本利和为 y a(1 r) a(1 r)r a(1 r)2，3 期后本利和为 y a(1 r)3，x 期后本利和为 y a(1 r)x， xN *.答案 y a(1 r)x， xN *82002 年初，甲、乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010 年初在经济指标对比时发现，这两家企业在
6、2002 年和 2009 年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同则 2010 年两企业缴纳地税的情况下列说法中正确的是_(填序号)甲多 乙多甲乙一样多 不能确定解析 设企业甲每年缴纳的地税组成数列 an，由于企业甲年增长数相同，所以数列 an是等差数列，则 an是关于 n 的一次函数设企业乙每年缴纳的地税组成数列 bn，由于企业乙年增长率相同，所以数列 bn是等比数列，则 bn是关于 n 的指数型函数根据题意， a1 b1， a8 b8，如图知a9 b9，故 2010 年企业乙缴纳的地税多答案 9将函数 y 1( x0,2)图象绕原点逆
7、时针方向旋转 角2 x 1 2(0 )，得到曲线 C.若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 的最大值是_解析 由函数定义，若曲线对应的方程为函数解析式时，直线 x a 与该曲线若相交，则仅有一个交点，如图，当 时符合题意 4答案 410某种电热水器的水箱盛满水是 200 升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水 34 升，在放水的同时注水， t 分钟注入 2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水 65 升，则该热水器一次至多可供_人洗浴解析 由题意得水箱内的水量为 y20034 t2 t22 2200 ，当(t172) 1722t 时，水箱
8、内的水量达到最小值，此时放水量为 34289 升，而172 1724 5，所以该热水器一次至多可供 4 个人洗浴28965答案 411.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为_.(lg2=0.301 0,lg11.49=1.060 2)解析 设产值平均年增长率为 x,则 . 10()4x两边同取以 10 为底的对数得 10lg(1+x)=2lg2. lg .060 2. 2031(1)x .又lg11.49=1.060 2, 611. . 10206249 .149. 062因此 1+x=1.149,x=0.149=14.9%. 答案 14.9% 12某商人购货，进价已按原价
9、a 扣去 25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利 20%销售后仍可获得售价 25%的利润，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式为_解析 设新价为 b，依题意，有 b(120%) a(125%) b(120%)25%，化简得 b a，所以 y b20%x a20%x，即 y x(xN *)54 54 a4答案 y x(xN *)a413某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线则第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y f(t)_.据进一步测定：每
10、毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗有效则服药一次后治疗有效的时间是_小时解析 设 yError! 当 t1 时，由 y4 得 k4，由 1 a4 得 a3.则 yError!(12)由 y0.25 得Error! 或Error!解得 t5116因此服药一次后治疗有效的时间是 5 小时116 7916答案 yError! 7916二、解答题14即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通根据测算，如果一列火车每次拖 4 节车厢，每天能来回 16次；如果每次拖 7 节车厢，则每天能来回 10 次每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能
11、载客 110 人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数(注：营运人数指火车运送的人数)解析 设这列火车每天来回次数为 t 次，每次拖挂车厢 n 节，则设 t kn b.由Error! 解得Error!所以 t2 n24.设每次拖挂 n 节车厢每天营运人数为 y 人，则 y tn11022(220 n22 640 n)当 n 6 时，总人数最多为 15 840 人2 640440故每次应拖挂 6 节车厢才能使每天的营运人数最多为 15 840 人15某销售商销售某品牌手机，该品牌手机的进价为每部 1 580 元，零售价为每部 1 880 元为促进销售，拟采用买
12、一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过 180 元统计表明：在促销期间，礼物价值每增加 15 元(礼物的价值都是 15 元的整数倍，如礼物价值为 30 元，可视为两次增加 15 元，其余类推)，销售量都增加 11%.(1)当赠送礼物的价值为 30 元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？(2)试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？解析 设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为 m 部，(1)原来利润为(1 8801 580) m300 m(元)，当赠送礼物的价值为 30 元时，销售的总利润为(1 8801 58030) m(111%) 21.232 1270
13、 m，1.108 89，即当赠送礼物的价值为 30 元时，销售的总利润1.232 1270m300m变为原来不赠送礼物时的 1.1 倍(2)当赠送礼物的价值为 15x 元时，销售的总利润为 f(x)元，则 f(x)(1 8801 58015 x)m(111%) x15 m(20 x)1.11x， xN，且 x12，f(x1) f(x)15 m(1.090.11 x)1.11x，令 f(x1) f(x)0，得 x9 .1011因为 xN，且 x12，所以当 x9 时， f(x1) f(x)；当 9 x12 时， f(x1) f(x)故当赠送礼物的价值为 150 元时，可以获得最大利润16某地区的
14、农产品 A 第 x 天(1x20)的销售价格 p50|x6|(元百斤)，一农户在第 x 天(1x20)农产品 A 的销售量 q40|x8|(百斤)(1)求该农户在第 7 天销售农产品 A 的收入；(2)问这 20 天中该农户在哪一天的销售收入最大？解析 (1)由已知第 7 天的销售价格 p49，销售量 q41.第 7 天的销售收入 W749412 009(元)(2)设第 x 天的销售收入为 Wx，则 WxError!当 1 x6 时， Wx(44 x)(48 x) 22 116， 44 x 48 x2 当且仅当 x2 时取等号当 x2 时取最大值 W22 116.当 8 x20 时， Wx(5
15、6 x)(32 x) 21 936.(当 56 x 32 x2 且仅当 x12 时取等号)当 x12 时取最大值 W121 936.由于 W2W7W12，第 2 天该农户的销售收入最大答：(1)第 7 天的销售收入为 2 009 元；(2)第 2 天该农户的销售收入最大17 2014 年青奥会水上运动项目将在 J 地举行，截止 2010 年底，投资集团 B在 J 地共投资 100 万元用于地产和水上运动项目的开发，经调研，从 2011 年初到 2014 年底的四年间， B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，
16、四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润 10 百万元(1)B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2)假设 2012 年起， J 地政府每年都要向 B 集团征收资源占用费，2012 年征收2 百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加 10%，若 B 集团投资成功的标准是：从 2011 年初到 2014 年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于投资额的 18%，问 B 集团投资是否成功？解析 (1)设 B 集团用于水上运动项目的投资为 x 百万元，四年的总利润为 y 百万元由题意， y0.2(100
17、x) 10x0.2 x 30， x0,100x即 y0.2( 2.5) 231.25， 0,10x x所以当 2.5，即 x6.25 时， ymax31.25.x故 B 集团在水上运动项目投资 6.25 百万元，所获得的利润最大，为 31.25 百万元(2)由(1)知，在上交资源占用费前， ymax31.25， ymin20.由题意，得从 2012 年到 2014 年， B 集团需上交 J 地政府资源占用费共为2(11.1 11.1 2)6.62(百万元)所以 B 集团这四年的预期利润中值为 6.6219.005.31.25 202由于 19.005%18%，所以 B 集团投资能成功19.00
18、5100故 B 集团在 J 地投资能成功18为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系： C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为k3x 58 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解析 (1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) ，k3x 5再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) .403x 5而建造费用为 C1(x)6 x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20 C(x) C1(x)20 6 x 6 x(0 x10)403x 5 8003x 5(2)f(x)2 1022 1070(当且仅当4003x 5 3x 5 4003 x5，即 x5 时， “”成立)，4003x 5所以当 x5 时， f(x)min f(5)70.故隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元
