1、13 函数的单调性与最值一、填空题1函数 f(x)log 2(x24 x5)的单调增区间为_解析 由题意知 x24 x50，解得 x5，即函数 f(x)log 2(x24 x5)的定义域为(，1)(5，)，根据外层函数为单调增函数，而内层函数 u x24 x5( x2) 29 在(5，)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，). 答案 (5，)2下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是_(填所有正确的编号) y x1； y ； y x24 x5； y .x2x解析 y x1 在 R 上递减； y 在 R 上递增； y x24 x5 在(，2x上递减，在2，)上递增， y 在 R 上递减
2、2x答案 3定义在 R 的奇函数 f(x)单调递增，且对任意实数 a， b 满足 f(a) f(b1)0，则 a b_.解析 f(x)为奇函数， f( x) f(x) f(a) f(b1) f(1 b)又 f(x)单调递增 a1 b 即 a b1.答案 14若函数 f(x) x2( a24 a1) x2 在区间(，1上是减函数，则 a 的取值范围是_解析 因为 f(x)是二次函数且开口向上，所以要使 f(x)在(，1上是单调递减函数，则必有 1，即 a24 a30，解得 1 a3.a2 4a 12答案 1,35下列函数： y x3； y| x|1； y x21； y2 | x|，既是偶函数又在
3、(0，)单调递增的函数序号是_解析 y x3是奇函数， y x21 与 y2 | x|在(0，)上是减函数答案 6已知 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且 f(x)在(1,1)上是减函数，不等式 f(1 x) f(1 x2)0 的解集为_解析 由 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，及 f(1 x) f(1 x2)0得 f(1 x) f(1 x2)所以 f(1 x) f(x21)又因为 f(x)在(1,1)上是减函数，所以Error!故原不等式的解集为(0,1)答案 (0,1)7已知函数 y f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， y f(x)是减函数，若| x1| x2|，
4、则结论： f(x1) f(x2)0； f(x1) f(x2)0； f(x1) f(x2)0； f(x1) f(x2)0 中成立的是_(填所有正确的编号)解析 由题意，得 f(x)在0，)上是增函数，且 f(x1) f(|x1|)， f(x2) f(|x2|)，从而由 0| x1| x2|，得 f(|x1|) f(|x2|)，即 f(x1) f(x2)，f(x1) f(x2)0，只能是正确的答案 8.设 a=log log log 则 a，b，c 的大小关系是_54(b253)c45解析 因为 00 且 b24 a0 恒成立，即 a0 且(a1) 20 恒成立， a1， b2.(2)由(1)可知
5、 f(x) x22 x1， g(x) x2(2 k)x1. g(x)在 x2,2时是单调函数，2,2 或2,2 .( ，k 22 ) (k 22 ， )2 或 2，解得 k6 或 k2，k 22 k 22即实数 k 的取值范围为(，26，)16已知函数 f(x)对于任意 x， yR，总有 f(x) f(y) f(x y)，且当 x0时， f(x)0， f(1) .23(1)求证： f(x)在 R 上是减函数(2)求 f(x)在3,3上的最大值和最小值解析 (1)证明 法一 函数 f(x)对于任意 x， yR 总有 f(x) f(y) f(x y)，令 x y0，得 f(0)0.再令 y x，得
6、 f( x) f(x)在 R 上任取 x1 x2，则 x1 x20，f(x1) f(x2) f(x1) f( x2) f(x1 x2)又 x0 时， f(x)0，而 x1 x20， f(x1 x2)0，即 f(x1) f(x2)因此 f(x)在 R 上是减函数法二 设 x1 x2，则 f(x1) f(x2) f(x1 x2 x2) f(x2) f(x1 x2) f(x2) f(x2) f(x1 x2)又 x0 时， f(x)0，而 x1 x20， f(x1 x2)0，即 f(x1) f(x2)， f(x)在 R 上为减函数(2) f(x)在 R 上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数， f
7、(x)在3,3上的最大值和最小值分别为 f(3)与 f(3)而 f(3)3 f(1)2， f(3) f(3)2. f(x)在3,3上的最大值为 2，最小值为2.17函数 f(x)的定义域为 D x|x0且满足对于任意 x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；(3)如果 f(4)1， f(3x1) f(2x6)3，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解析 (1)令 x1 x21，有 f(11) f(1) f(1)，解得 f(1)0.(2)f(x)为偶函数，令 x1 x21，有 f(1)(1) f(1)
8、 f(1)，解得 f(1)0令 x11， x2 x 有 f( x) f(1) f(x)，即 f( x) f(x)所以 f(x)为偶函数(3)f(44) f(4) f(4)2， f(164) f(16) f(4)3.所以 f(3x1) f(2x6)3 即 f(3x1)(2 x6) f(64)因为 f(x)在(0，)上是增函数，所以等价于不等式组：Error!或Error!Error!或Error!所以 3 x5 或 x 或 x3.73 13 13故 x 的取值范围为 x| x 或 x3 或 3 x573 13 1318在区间 D 上，如果函数 f(x)为增函数，而函数 f(x)为减函数，则称函数
9、1xf(x)为“弱增函数” ，已知函数 f(x)1 .11 x(1)判断函数 f(x)在区间(0,1上是否为“弱增函数” ；(2)设 x1， x20，)，且 x1 x2，证明：| f(x1) f(x2)| |x1 x2|；12(3)当 x0,1时，不等式 1 ax 1 bx 恒成立，求实数 a， b 的取值11 x范围解析 (1) 显然 f(x)在区间(0,1)上为增函数，因为 f(x)1x 1x (1 11 x) 1x 1 x 11 x 1x x1 x 1 x 1 ，所以 f(x)为减函数，因此 f(x)是“弱增”函数11 x 1 x 1x(2)证明 | f(x1) f(x2)| |11 x1 11 x2| |1 x2 1 x1|1 x11 x2|.|x1 x2|1 x11 x2 1 x1 1 x2因为 x1， x2(0，)， x1 x2，所以 ( )1 x1 1 x2 1 x1 1 x22，所以| f(x1) f(x2)| |x1 x2|.12(3) 当 x0,1时，不等式 1 ax 1 bx 恒成立所以当 x0 时，11 x不等式显然成立，当 x(0,1时，等于Error!恒成立由(1)知 f(x)为减函数，1x1 f(x) ，所以 a 且 b1 .22 1x 12 12 22
