1、3.1.3 导数的几何意义【学情分析】：上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。【教学目标】：1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 【教学重点】：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.【教学难点】：发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.【教学过程设计】：教学环节 教学活动 设计意 图(1)复习引入圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并
2、且位于曲线一边的直线叫切线曲线的切线如图，设曲线 c 是函数 的图象，点 是曲线 c 上()yfx0(,)Pxy一点作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处的切线 为课题引入作铺垫.如图，设曲线 c 是函数 的图象，点 是曲线 c 上一点()yfx0(,)Pxy作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处的切线 y=f(x)xyQMP xOy切xOy（2）讲解导
3、数的几何意义2.确定曲线 c 在点 处的切线斜率的方法：0(,)Pxy因为曲线 c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线 PQ 的倾斜角为 ，切线 PT 的倾斜角为 ，既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT 是切线，所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan ,即tan = 0limxy0lix()(fxf我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.3说明：(1) 是函数 对自变量 在 范围内的平均xy)(xfx变化率，它的几何意义是过曲线
4、 上点（ ）及点y)(,0f）的割线斜率.)(,(00fx(2)导数 是函数 在点 的xfffx)(lim000/ )(xfy0处瞬时变化率，它反映的函数 在点 处变化的快慢程度.它的)(fy0几何意义是曲线 上点（ ）处的切线的斜率因此，如)(xfy,0x果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切)(xfy0)(fy)(,0xf线方程为 )(0/xf指导学生理解导数的几何意义，可以讨论(3) 讲解范例例 1、曲线的方程为 y=x2+1，那么求此曲线在点 P(1，2) 处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k= ffx)(lim002200(1)(1)(1)lilix xffx200()limli
5、(2)xx切线的斜率为 2.切线的方程为 y2=2(x 1)，即 y=2x. 通过例子，更深入理解导数的概念y=x2+1 y=2xP(1,2) xOy例 2、求曲线 f(x)=x3+2x+1 在点(1，4)处的切线方程.解:k= xfffxx )1(lim)(lim000330(1)2()1(2)lix 2305()lixx2lim3()5x切线的方程为 y4=5(x 1)，即 y=5x1例 3、求曲线 f(x)= x3x 2+5 在 x=1 处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角 a.解：tana= xffxffxx )1(lim)(
6、lim00032011()()5()3lix30()limxx20li()1xa0， ，a= .)4切线的倾斜角为 .3(4)课堂小结 导数的几何意义，怎么求曲线的切线。y=x3+2x+1 y=5x-1P(1,4) xOy补充题目: 1导数 的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数 在 处的 )(0/xf )(xf即： 函数 平均变化率 的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。)(f xff)(00y)(0xfO0xx3导数 的几何意义是什么？导数 的几何意义是 )(0/xf )(0/f4在函数 的图像上， （1）用图形来体现导数 ，5.69.42ttth 3.)1(/h的几何意义，并用
7、数学语言表述出来。 （2）请描述、比较曲线 在 .6.1)5(/ t210,t附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 附近呢？ 43,t)(f1）平均变化率 的几何意义：xff)(00 2）当 时，观察图形变化。0（说明：要求学生动脑（审题） ，动手（画切线） ，动口（讨论、描述运动员的运动状态） ，体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合” 、 “以直代曲”的思想方法。 ）5如图表示人体血管中的药物浓度 （单位： ）随时间 （单位： ）变)(tfcmLg/tmin化的函数图像，根据图像，估计 （min）时，血管中药物浓度的瞬时变8.0,64.,20t化率，把数据用表格的形式列出。(
8、精确到 0.1)t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度的瞬时变化率（说明：要求学生动脑（审题） ，动手（画切线） ，动口（说出如何估计切线斜率） ，进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合” 、 “以直代曲”的思想方法。 ）(以上几题可以让学生在课堂上完成)6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y= +2, x处 （）y ，x处3 1答案：(1)k=， （）k=h tO3t40t1t2t7已知曲线 y=2x2 上一点 A(1，2)，求(1) 点 A 处的切线的斜率.(2) 点 A 处的切线方程.解：(1)k= xffxx 200 1)(2lim)1(lim4)(li)(24li00xx点 A 处的切线的斜率为 4.(2)点 A 处的切线方程是 y2=4(x1)即 y=4x28.求曲线 y=x2+1 在点 P(2，5) 处的切线方程.解：k= ff xx 1)2()(lim)(lim200 4)(li)(4li 020xx切线方程是 y5=4(x+2)，即 y=4x3.
