1、1课时作业 15 椭圆、双曲线、抛物线12018石家庄市重点高中毕业班摸底考试已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y x，则该双曲线的标准方程是( )3A. 1 B. 17x216 y212 y23 x22C x2 1 D. 1y23 3y223 x223解析：解法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程是 1( a0， b0)，由题意得Error!解得Error!所以该双曲线的标准方程为x2a2 y2b2x2 1；当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程是 1( a0， b0)，y23 y2a2 x2b2由题意得Error!无解故该双曲线的标准方程为 x2 1，选 C.
2、y23解法二 当其中的一条渐近线方程 y x 中的 x2 时， y2 3，又点(2,3)在第3 3一象限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是 1( a0， b0)，由x2a2 y2b2题意得Error! 解得 Error!所以该双曲线的标准方程为 x2 1，故选 C.y23解法三 因为双曲线的渐近线方程为 y x，即 x，所以可设双曲线的方程3y3是 x2 ( 0)，将点(2,3)代入，得 1，所以该双曲线的标准方程为y23x2 1，故选 C.y23答案：C22018全国卷已知 F1， F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点若PF1 PF2，且 PF2F160，则
3、C 的离心率为( )A1 B232 3C. D. 13 12 3解析：在 Rt PF1F2中， PF2F160，不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F1F2|2，则| PF2|1，| PF1| ，由椭圆的定义可知，方程 1 中，3x2a2 y2b222a1 ，2 c2，得 a ， c1，31 32所以离心率 e 1.ca 21 3 3故选 D.答案：D32018山东省潍坊市第一次模拟已知双曲线 1( a0， b0)的焦点到渐x2a2 y2b2近线的距离为 ，且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )3A1 B. 3C2 D2 3解析：由题意知双曲线的焦点( c,0)到渐近线 bx ay0 的
4、距离为 b ，即bca2 b2 3c2 a23，又 e 2，所以 a1，该双曲线的实轴的长为 2a2.ca答案：C42018武汉市高中毕业生调研曲线 C1： 1 与曲线x225 y29C2： 1(0 k9)的( )x225 k y29 kA长轴长相等 B短轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：因为 0 k9，所以 25 k9 k0，所以曲线 C2是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a2，短半轴长为 b2，半焦距为 c2，则 c a b 25 k(9 k)16.曲线2 2 2C1也是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c1，则c a b 25916，所
5、以曲线 C1和曲线 C2的焦距相等，故选 D.21 21 21答案：D52018全国卷设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左，右焦点，x2a2 y2b2O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若| PF1| |OP|，则 C 的离心6率为( )A. B25C. D.3 23解析：如图，过点 F1向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P，连接 P F2，由题意可知，四边形 PF1P F2为平行四边形，且 PP F2是直角三角形因为| F2P| b，| F2O| c，所以| OP| a.又| PF1| a| F2P|，| PP|2 a，所以| F2P| a
6、b，6 2所以 c a，所以 e .a2 b2 3ca 3故选 C.答案：C62018福州四校高三年级联考过双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分x2a2 y2b2别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线的渐近线方程为( )A y x B y x2C y x D y2 x3解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱形的边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 ，又4b2 c2 3b2 a24 条直线分别与两条渐近线平行，所以 ，解得 a b，所以该双曲线的渐近线的ba 3b2 a
7、2a2 b2斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为 y x，故选 A.答案：A72018全国卷已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则点x2a2 y2b2 2(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )A. B22C. D2322 2解析：由题意，得 e ， c2 a2 b2，得 a2 b2.又因为 a0， b0，所以ca 2a b，渐近线方程为 xy0，点(4,0)到渐近线的距离为 2 ，42 2故选 D.答案：D82018昆明市高三复习教学质量检测已知 F1， F2是椭圆 E： 1( a b0)x2a2 y2b2的两个焦点，过原点的直线 l 交椭圆 E 于 A， B 两点， 0，且
8、 ，则椭圆AF2 BF2 |AF2|BF2| 34E 的离心率为( )4A. B. C. D.12 34 27 57解析：解法一 根据对称性，线段 F1F2与线段 AB 在点 O 处互相平分，又 0，所以 AF2 BF2，连接 AF1， BF1，AF2 BF2 所以四边形 AF1BF2是矩形，| AF1| BF2|.根据椭圆的定义，| AF1| AF2|2 a，又 ，所以| AF1| a，| AF2| a，在|AF2|BF2| 34 87 67Rt AF1F2中，| F1F2|2 c，由勾股定理得(2 c)2 2 2，得 2 ，所以椭圆 E 的(87a) (67a) (ca) 2549离心率
9、e .故选 D.ca 57解法二 根据对称性，线段 F1F2与线段 AB 在点 O 处互相平分，又 0，所以AF2 BF2 AF2 BF2，连接 AF1， BF1，所以四边形 AF1BF2是矩形，| AF1| BF2|.又 ，不妨设| AF2|3，| BF2|4.根|AF2|BF2| 34据椭圆的定义，2 a| AF1| AF2|437,2 c| F1F2| 5，所以椭圆|AF1|2 |AF2|2E 的离心率 e ，故选 D.ca 57答案：D92018全国卷已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过x23F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 O
10、MN 为直角三角形，则| MN|( )A. B3 C2 D432 3解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线夹角为 2 ，则有tan ，所以 30.13 33所以 MON2 60.又 OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF 中，| OF|2，则| ON| .35则在 Rt OMN 中，| MN| ON|tan 2 tan 603.3故选 B.答案：B102018南昌市 NCS0607 项目第二次模拟已知抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线 l与 x 轴的交点为 K， P 是抛物线上一点，若| PF|5，则 PKF 的面积
11、为( )A4 B5C8 D10解析：通解 由抛物线 y24 x，知 1，则焦点 F(1,0)设点 P ，则由p2 (y204， y0)|PF|5，得 5，解得 y04，所以 S PKF p|y0| 244，故(y204 1)2 y20 12 12选 A.优解 由题意知抛物线的准线方程为 x1.过点 P 作 PA l 于点 A，由抛物线的定义知| PF| xp xp15，所以 xp4，代入抛物线 y24 x，得 yp4，所以 Sp2PKF p|yp| 244，故选 A.12 12答案：A11已知 F1， F2分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点x2a2 y2b2P，
12、使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 离心率的取值范围是( )A. B.23， 1) 13， 22C. D.13， 1) (0， 13解析：如图所示，线段 PF1的中垂线经过 F2， PF2 F1F22 c，即椭圆上存在一点 P，使得 PF22 c. a c2 c a c.又0 e1 e .ca 13， 1)答案：C6122018南昌市 NCS0607 项目第二次模拟已知双曲线 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点分别为 F1， F2，过点 F2的直线 l：12 x5 y240 交双曲线的右支于 A， B 两点，若 AF1B 的角平分线所在直线的方程为 x4 y
13、20，则 AF1B 内切圆的标准方程为( )A. 2 2 2(x12) (y 58) (138)B( x1) 2 2 2(y34) (54)C( x1) 2 2 2(y34) (6352)D. 2 2 2(x12) (y 58) (54)解析：设内切圆圆心为 G，内切圆与直线 AF1， BF1的切点分别为 P， Q.如图，由相切条件知| AB| AP| BQ|.由双曲线的定义知| AF1| AF2|2 a，| BF1| BF2|2 a，两式相加得| AF1| BF1| BF2| AF2| AF1| BF1| AB|2| PF1|4 a，所以| PF1|2 a，于是结合| AF1| AF2|2
14、a，得| AP| PF1| AF2|2 a，即| AP| AF2|，所以 F2为内切圆与直线 AB 的切点由直线 AB 的方程为 12x5 y240，知 F2(2,0)，直线 GF2的斜率为 ，所以直线 GF2的方程为 y (x2)，与 x4 y20 联立，得圆心 G ，512 512 (12， 58)所以半径 r ，所以内切圆的标准方程为 2 2 2，故选(2 12)2 (58)2 138 (x 12) (y 58) (138)A.答案：A132018北京卷若双曲线 1( a0)的离心率为 ，则 a_.x2a2 y24 52解析：由 e 知 2 ，ca a2 b2a2 a2 4a2 (52)
15、 54 a216. a0， a4.答案：4142018广州市高三年级调研考试过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A， B 两点若| AF|6，| BF|3，则 p 的值为_解析：设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 F，分别过 A， B 作准线的垂线，垂足为7A， B，设直线 AB 交准线于点 C，则|AA| AF|6，| BB| BF|3，| AB|9，| FF| p， ，即 |BB |AA | |BC|AC| 36，解得| BC|9，又 ，即 ，解得 p4.|BC|BC| 9 |BB |FF | |BC|CF| 3p 912答案：4152018安徽省知名示
16、范高中联合质量检测试题过直线 x1 上一点 M 向抛物线y24 x 引两条切线 MA， MB，则 kMAkMB_.解析：设 M(1， m)，过点 M 的抛物线 y24 x 的切线的斜率为 k，易知 k0，则切线方程为 y m k(x1)，所以 x 1，代入抛物线的方程，整理得y mky2 40， 24 0，即 10， k2 mk10，所以4yk 4mk ( 4k) (4mk 4) 1k2 mkkMAkMB1.答案：1162018浙江卷已知点 P(0,1)，椭圆 y2 m(m1)上两点 A， B 满足 2 ，x24 AP PB 则当 m_时，点 B 横坐标的绝对值最大解析： 如图，设 A(xA，
17、 yA)， B(x B， y B)，由于椭圆具有对称性，不妨设点方 法 1：B 在第一象限，则 x B 0， y B 0. P(0,1)， 2 ，AP PB ( xA,1 yA)2( x B， y B1) xA2 x B，即 xA2 xB.设直线 AB： y kx1( k0)将 y kx1 代入 y2 m，x24得(14 k2)x28 kx44 m0.(*) xA x B x B ，8k1 4k2 xB 2，8k1 4k2 81k 4k 82 1k4k8当 4 k，即 k 时， xB 取到最大值 2，1k 12此时方程(*)化为 x22 x22 m0，xAx B2 x B，即 22 m8，2解得 m5.当点 B 在其他象限时，同理可解设直线 AB： y kx1( k0)， A(xA， yA)， B(x B， y B)方 法 2：由 P(0,1)， 2 ，得 xA2 x B.AP PB 由Error! 得(14 k2)x28 kx44 m0， xA xB xB ， xAxB2 x B . 8k4k2 1 2 4 4m4k2 1消去 xB，得 m1 .32k24k2 1|xB| 2，8|k|4k2 1 84|k| 1|k|当| k| 时，| xB|max2，此时 m5.12答案：5
