1、1第 6 讲 平面向量1.(1)2018全国卷 在 ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 = ( )A. - B. -C. + D. +(2)2014全国卷 设 D,E,F 分别为 ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 + = ( )A. B. C. D.(3)2018全国卷 已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, ),若 c(2 a+b),则 = . 试做_命题角度 平面向量的线性运算解题策略: 观察各向量的位置; 寻找相应的三角形或平行四边形; 运用法则找关系; 用好平面向量基本定理和向量共线定理 .2.【引全国卷】(1)2018全国
2、卷 已知向量 a,b 满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)= ( )A.4 B.3 C.2 D.0(2)2013全国卷 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 中点,则 = . 试做_【荐地方卷】2017山东卷 已知 e1,e2是互相垂直的单位向量,若 e1-e2与 e1+e 2的夹角为 60,则实数 的值是 . 命题角度 平面向量数量积的公式及应用 定义法; 坐标法; 将向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与2另一向量模的积 .小题 1 平面向量的线性运算1 (1)已知 D,E,F 分别是 ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 =a, =b, =
3、c,则有下列各式: = c- b; =a+ b; =- a+ b; + + =0.其中正确的等式有 ( )A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个(2)在 ABC 中,点 D 是边 BC 上任意一点, M 是线段 AD 的中点,若存在实数 和 ,使得= + ,则 += ( )A. B.-C.2 D.-2听课笔记 _【考场点拨】高考中向量线性运算的关注点:(1)解决向量的线性运算问题时应关注两点: 尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中(注意已知条件); 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量 .(2)向量共线有两个常用结论: 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 平行
4、,坐标满足的关系为x1y2-x2y1=0; 若 O 为直线 AB 外一点,点 P 在直线 AB 上,则有 = + 且 += 1.【自我检测】1.下列各组向量中,可以作为基底的是 ( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(2,-3),e2= ,-C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(-1,2),e2=(5,7)32.已知 O 是正 ABC 的中心,若 = + ,其中 , R,则 的值为 ( )A.- B.-C.- D.23.设点 O 在 ABC 的外部,且 2 -3 -5 =0,则 S ABCS OBC= ( )A.2 1 B.3 1C.3 2 D.4 1小题 2 平
5、面向量的数量积及应用2 (1)已知向量 a 与 b 的夹角是 ,且 |a|=1,|b|=2,若( a+b ) a,则实数 = ( )A.- B.C. D.-(2)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足( c+a) b,c( a+b),则 c 等于 ( )A. , B. - ,C. , D. - ,-(3)已知向量 m=(1,2),n=(2,3),则 m 在 m-n 方向上的投影为 . 听课笔记 _【考场点拨】高考中数量积的解题策略:(1) 数量积的计算常用方法有三种:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义 .其中坐标运算是处理问题的主要方法,只要能够建立直角坐标系,把向
6、量的坐标表示出来,从而转化为坐标运算 .(2)用数量积可求投影,如 a 在 b 方向上的投影为 ,b 在 a 方向上的投影为 .【自我检测】1.已知向量 a=(-3,2),b=(-1,0), 若 a+b 与 a-2b 垂直,则实数 的值为 ( )4A.- B.C.- D.2.已知两个平面向量 a,b 满足 |a|=1,|a-b|= ,且 a 与 b 的夹角为 120,则 |b|= ( )A.3 B.2C.1 D.3.在菱形 ABCD 中, BAD=60,AB=2,E 为 CD 的中点,则 = . 4.已知 a=(2,-1),b=( ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 的取值范围是 .5第
7、 6 讲 平面向量典型真题研析1.(1)A (2)A (3) 解析 (1)如图, = - = - = - ( + )= -,故选 A.(2) + = + + + = + = .(3)2a+b=(4,2),由 c(2 a+b)可得 = ,即 = .2.【引全国卷】(1)B (2)2 解析 (1) a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3,故选 B.(2)如图建立平面直角坐标系,则 =(1,2), =(-2,2),所以 =2.【荐地方卷】解析 由题意不妨取 e1=(1,0),e2=(0,1),由条件可设 a= e1-e2=( ,-1),b=e1+e 2=(1, ),所以 cos=cos 60
8、= = ,所以 -= ,解得 = .考点考法探究小题 1例 1 (1)C (2)B 解析 (1)D ,E,F 分别是 ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且=a, =b, =c, = = ( + )= (b+c)= b+ c, 不正确;6= + = + =a+ b, 正确;= + = + = + ( + )= + + = + = b- a, 正确;+ + = ( + )+ ( + )+ ( + )= (c-b)+ (-c+a)+ (b-a)=0, 正确 .故选 C.(2)如图所示,因为点 D 在边 BC 上,所以存在 tR,使得 =t =t( - ).因为 M 是线段AD 的中点,所以 =
9、 ( + )= (- +t -t )=- (t+1) + t ,又 = + ,所以 =- (t+1),= t,所以 +=- .故选 B.【自我检测】1.D 解析 作为基底的两个向量不能是共线向量,通过计算可知选项 A,B,C 中的两个向量均为共线向量,故不能作为基底,故选 D.2.C 解析 由题知, O 是正 ABC 的中心,延长 CO 交 AB 于点 D. = = ( + )= (- + - )= - ,= ,=- , =- .故选 C. 3.B 解析 由 2 -3 -5 =0,得 2( - )=3( + ).取 BC 的中点 D,则有 =3 ,由此可得 CA OD,且点 A 到 BC 的距
10、离是点 O 到 BC 的距离的 3 倍,故有 S ABCS OBC=3 1.故选 B.小题 2例 2 (1)A (2)D (3)- 解析 (1)根据题意可知 |a|=1,|b|=2,且 ab=|a|b|cos=1,因为( a+b ) a,所以( a+b )a= a2+a b= += 0,得 =- .故选 A.(2)设向量 c=(x,y),根据向量平行及垂直的性质,由( c+a) b,c( a+b),得解得 则 c= - ,- .故选 D.(3)m-n=(1,2)-(2,3)=(-1,-1),则 m 在 m-n 方向上的投影为 =- .7【自我检测】1.A 解析 依题意, a+b= (-3 ,2
11、 )+(-1,0)=(-3- 1,2 ),a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2),又 a+b 与 a-2b 垂直,所以 -1(-3- 1)+22= 0,得 =- .故选 A.2.C 解析 把 |a-b|= 两边平方得 a2+b2-2ab=3,化简得 1+|b|2-2|a|b|cos120=3,|b| 2+|b|-2=0,解得 |b|=-2(舍)或 |b|=1.故选 C.3.-4 解析 在菱形 ABCD 中, BAD=60,AB=2,E 为 CD 的中点,因为 = + = + ,所以 =- + =- - | |2=-22cos 60- 22=- 4.4.(- ,-6) -6, 解析
12、 由 ab0,即 2- 30,得 .由 a b 得 6=- ,即 =- 6,此时 b=-3a,ab0,但 a 与 b 的夹角为 .因此 ,且 -6.备选理由 对于向量的综合应用,例 1 涉及较少,备用例 1 是对例 1 的拓展和延伸;例 2 是向量数量积的基本应用,综合性一般,备用例 2 是对例 2 的延伸和补充 .例 1 配例 1 使用 已知 P 为 ABC 所在平面内一点, + + =0,| |=| |=| |=2,则 PBC 的面积等于 ( ) A.3 B.2C. D.4 解析 C 分别取边 BC,AC 的中点 D,E,则 + =2 , =2 ,因为 + + =0,所以=- ,所以 E,D,P 三点共线,且 | |=| |=1.又 | |=| |=2,所以 ,所以| |=2 ,所以 PBC 的面积 S= 2 1= .故选 C.例 2 配例 2 使用 在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,若点 F 满足 = ,且 =0,则 = ( )A. B.C. D.解析 A =0, = , ( + )( + )= + ( + )=+ ( + + )=0.又 =0, ( + )( + )=(- 1)| |2+ |8|2=0,即 - 1=- ,= .故选 A.
