1、1.4.1 生活中的优化问题举例(1)【学情分析】：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。【教学目标】：1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力 3体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教学突破点】：利用导数
2、解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案【教法、学法设计】：【教学过程设计】：教学环节 教学活动 设计意图(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.(2)典型例题讲解例 1、 把边长为 cm 的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小a正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？解 设剪去的小方形的边长为 ，则盒子的为x，2()Va(0)a求导数，得，2()4()()6xxx 选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，令 得 或 ，其中 不合题意，故在区间0V6a
3、x2ax内只有一个根： ，(, )2显然， ()0 ()062xx, ,时 v时 v因此，当四角剪去边长为 cm 的小正方形时，做成的纸盒的容a积最大让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。(3) 利用导数解决优化问题的基本思路：1、 生活中的优化问题转化为数学问题2、 立数学模型（勿忘确定函数定义域）3、 利用导数法讨论函数最值问题使学生对该问题的解题思路清析化。(4)加强巩固 1例 2、铁路 AB 段长 100 千米，工厂 C 到铁路的距离 AC 为 20 千米，现要在 AB 上找一点 D 修一条公路 CD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为 3:5，问 D 选在何处原料从 B 运到
4、 C 的运费最省?解： 设 AD 的长度为 x 千米，建立运费 y 与 AD 的长度 x 之间的函数关系式，则CD ，BD100-x ，公路运费 5k 元Tkm，铁路运费203k 元Tkmy ，2543(10)kxkx(0,1)求出 f(x) ，2令 f(x)0，得 36009x 225x 2 解得 x115，x 2-15(舍去) ，y(15)330ky(0)400k，y(100) 510k 原料中转站 D 距 A 点 15 千米时总运费最省。使学生能熟练步骤.(5) 加强巩固 2例 3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出20.8
5、rr售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是r332240.2.80.,06ryfr r令 解得 （ 舍去）2.()fr 当 时， ；当 时，0,r0f2,6rf当半径 时， 它表示 单调递增，即半径越大，2rfrfr利润越高；当半径 时， 它表示 单调递减，即半径越大，0ff利润越低（1） 半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶220f内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2） 半径为 cm 时，
6、利润最大6换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当 时， ，即瓶子的半径为 3cm 时，饮3r0f料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 时，利润才为正值3r当 时， ， 为减函数，其实际意义0,2frf为：瓶子的半径小于 2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为 cm 时，利润最小提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。(6)课堂小结1、 建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键2、 要注意不能漏掉函数的定义域3、 注意解题步骤的规范性(7)作业布置:教科书 P104 A 组 1,2,3。(8 备用题目：1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为
7、，要使其体积最大，则其高为 （ A ）20cmA B C D 203cm10c203c2、设正四棱柱体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为 （ A ）A B C D 332343V3、设 8 分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。5、某厂生产产品固定成本为 500 元，每生产一单位产品增加成本 10 元。已知需求函数为： ，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？20qp解：先求出利润函数的表达式： ()()(501)LRCqq2201504054qq再求导函数： 42求得极值点：q 80。只有一个极值点，就是最值点。故
8、得：q 80 时，利润最大。最大利润是：21(80)408510L注意：还可以计算出此时的价格：p 30 元。6、用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转 90 度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？482x 902x482xx解：设容器高为 xcm，容器的体积为 V(x)，则()902)(48)Vxx327640xx48,02()()1543Vxxx求 导 数 得 12(0)36x令 12()0,36()Vxx解 得 舍,()V当 时 那 么 为 增 函 数(24,0,()xxx当 时
9、 那 么 为 减 函 数,()10因 此 在 定 义 域 内 函 数 只 有 当 时 取 得 最 大 值 31(92)(48)96()Vcm其 最 大 值 为 3:0,0()cm答 当 容 器 的 高 为 时 容 器 的 容 积 最 大 最 大 容 积 为令 12(),36()Vxx解 得 舍0,()0V当 时 那 么 为 增 函 数(24,()xxx当 时 那 么 为 减 函 数,()10因 此 在 定 义 域 内 函 数 只 有 当 时 取 得 最 大 值 310(920)(48)96()Vcm其 最 大 值 为 3: ,1960()cmc答 当 容 器 的 高 为 时 容 器 的 容 积 最 大 最 大 容 积 为
