1、1,方案一：二叉树的建立和遍历 具体内容：先生成一棵二叉树，再用中序遍历方式打印每个结点值，并统计其叶子结点的个数。方案二：哈夫曼树的建立和编码器的实现 具体内容：先生成一棵哈夫曼树，再打印各字符对应的哈夫曼编码。 方案三：哈夫曼编/译码器的设计与实现 具体内容：参见严题集P149 实习5.2要求，或参见自测卷,第二次上机内容预告： （三个方案由易到难，可自选，参见自测题集实验二资料）,2,第6章 树和二叉树 作业（共11题） 6.5 6.8 6.17 6.25 6.26 6.29 6.42 6.43 6.47 6.49 6.65,喻信课堂网址：http:/218.199.20.98:8000
2、/ 海豚之家网址：,3,第6章 树和二叉树 （Tree & Binary Tree）,6.1 树的基本概念 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.5 Huffman树及其应用,4,先介绍二叉树的典型应用,平衡树 排序树 字典树 判定树 带权树 最优树,由字符串构成的二叉排序树 特点：分支查找树（例如12个球如何只称3次便分出轻重） 特点：路径带权值（例如长度） 是带权路径长度最短的树，又称 Huffman树，用途之一是通信中的压缩编码。,特点：所有结点左右子树深度差1,特点：所有结点“左小右大”,5,什么是平衡二叉树（ 又称AVL 树）？,性质： 所有结点左、右
3、子树深度之差的绝对值 1 若定义结点的“平衡因子” BF = 左子树深度 右子树深度 则：平衡二叉树中所有结点的BF -1, 0, 1 ,(a) 平衡树 (b) 不平衡树,例：判断下列二叉树是否AVL树？,1,1,-1,-1,2,1,-1,6,什么是二叉排序树？,（a）,（b）,例：下列2种图形中，哪个不是二叉排序树 ？,-或是一棵空树；或者是具有如下性质的非空二叉树：（1）左子树的所有结点均小于根的值；（2）右子树的所有结点均大于根的值；（3）它的左右子树也分别为二叉排序树。,想一想：对它中序遍历之后是什么效果？,7,什么是判定树？,举例： 12个球如何用天平只称3次便分出轻重？,分析： 1
4、2个球中必有一个非轻即重，即共有24种“次品”的可能性。 每次天平称重的结果有3种，连称3次应该得到的结果有33=27种。 说明仅用3次就能找出次品的可能性是存在的。,思路： 首先，将12个球分三组，每组4个，任意取两组称。会有两种情况：平衡，或不平衡。 其次，一定要利用已经称过的那些结论；即充分利用“旧球”的标准性作为参考。,8,第1次:等分3组,第2次:3旧3新,第3次:1旧1新,(11) 重, 重,重,(11) 轻, 轻,轻, 轻, 轻,轻, 重, 重,重,9,什么是带权树？,即路径带有权值。例如：,10,6.5 Huffman树及其应用,一、Huffman树二、Huffman编码,最优
5、二叉树,Huffman树,Huffman编码,带权路径长度最短的树,不等长编码,是通信中最经典的压缩编码,11,一、 Huffman树（最优二叉树）,路 径： 路径长度： 树的路径长度： 带权路径长度： 树的带权路径长度： Huffman树：,由一结点到另一结点间的分支所构成。,路径上的分支数目。,从树根到每一结点的路径长度之和。,结点到根的路径长度与结点上权的乘积（WPL）,若干术语：,即树中所有叶子结点的带权路径长度之和,带权路径长度最小的树。,例如：ae的路径长度,树长度,2,10,Huffman常译为赫夫曼、霍夫曼、哈夫曼等,Weighted Path Length,12,树的带权路径
6、长度如何计算？,经典之例：,WPL=,WPL=,WPL=,Huffman树是WPL 最小的树,树中所有叶子结点的带权路径长度之和,36,46,35,13,1. 构造Huffman树的基本思想：,例：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2,4，怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？,法1：等长编码（如二进制编码） 令d=00，i=01，a=10，n=11，则： WPL12bit(7524）36法2：不等长编码（如Huffman编码） 令d=0;i=10,a=110,n=111，则：,明确：要实现Huffman编码，就要先构造Huffman树,讨论：Huffman树有什么用
7、？,权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。,WPL最小的树,频度高的信息用短码，反之用长码，传输效率肯定高！,WPL2=1bit72bit5+3bit(2+4)=35,最小冗余编码、信息高效传输,14,2. 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：,(1) 由给定的 n 个权值 w1, w2, , wn 构成n棵二叉树的集合F = T1, T2, , Tn （即森林） ，其中每棵二叉树 Ti 中只有一个带权为 wi 的根结点，其左右子树均空。 (2) 在F 中选取两棵根结点权值最小的树 做为左右子树构造一棵新的二叉树，且让新二叉树根结点的权值等于其左右子树的根结点权值之和。
8、(3) 在F 中删去这两棵树，同时将新得到的二叉树加入 F中。 (4) 重复(2) 和(3) , 直到 F 只含一棵树为止。这棵树便是Huffman树。,怎样证明它就是WPL最小的最优二叉树？参考信源编码,Huffman树的特点：没有度为1的结点。,15,step1：对权值进行合并、删除与替换 在权值集合7,5,2,4中，总是合并当前值最小的两个权,具体操作步骤：,a. 初始,方框表示外结点（叶子，字符）,圆框表示内结点（合并后的权值）,b. 合并2 4,c. 合并5 6,d. 合并7 11,16,step2：按左“0”右“1” 对Huffman树的所有分支编号,Huffman编码结果：d=0
9、, i=10, a=110, n=111 WPL=1bit72bit5+3bit(2+4)=35（小于等长码的WPL=36）,特征：每一码不会是另一码的前缀，译码时可惟一复原,Huffman编码也称为前缀码,将 Huffman树 与 Huffman编码 挂钩,17,二、Huffman编码,（1）由于Huffman树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最少。,（4） Huffman编码时是从叶子走到根；而译码时又要从根走到叶子，因此每个结点需要增开双亲指针分量（连同结点权值共要开5个分量） （5）用计算机实现时，顺序和链式两种存储结构都要用到。,分析Huffman树和编码的特点：,霍夫曼编码的基
10、本思想是 出现概率大的信息用短码，概率小的用长码,最小冗余,这种编码已广泛应用于网络通信中。,（2） Huffman树肯定没有度为1的结点； （3）一棵有n 0个叶子结点的Huffman树，共有2n0-1个结点； （因为n=n0+n1+n2=2n0-1),18,如何编程实现Huffman编码？,建议1：Huffman树中结点的结构可设计成5分量形式：,将整个Huffman树的结点存储在一个数组HT1nm中; 各叶子结点的编码存储在另一“复合”数组HC1n中。请参见教材P149图6.27的（a)和（c),建议2： Huffman树的存储结构可采用顺序存储结构：,(1)教材P147149内容； (
11、2)严蔚敏“数据结构”演示程序； (3)习题集P149 实习5.2要求； (4)自测卷第6章上机方案二的源程序。,可参考：,19,typedef struct unsigned int weight；/权值分量（可放大取整） unsigned int parent，lchild，rchild； /双亲和孩子分量 HTNode，*HuffmanTree；/用动态数组存储Huffman树 typedef char*HuffmanCode； /动态数组存储Huffman编码表,Huffman树和Huffman树编码的存储表示：,双亲,*HuffmanTree或 HT向量,HT3.parent=9,指
12、针型指针,20,如何编程实现Huffman编码？,参见教材P147,先构造Huffman树HT， 再求出N个字符的Huffman编码HC。,Void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode &HC, int *w, int n),if (n=1)return; m=2*n-1; /n 0个叶子的HuffmanTree共有2n0-1个结点； HT=(HuffmanTree)malloc(m+1)*sizeof(HTNode); /0单元未用,*w存放n个字符的权值,for(p=HT,i=1; i=n; +i,+p,+w)*p=*w,0,0,0; /给
13、前n0个单元初始化 for(；i=m; +i,+p)*p =0,0,0,0; /对叶子之后的存储单元清零 for(i=n+1;i=m; +i) /建Huffman树(从叶子后开始存内结点) Select(HT, i-1, s1, s2); /在HT1i-1选择parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别为S1和s2（教材未给出此函数源码） HTs1.parent=i; HTs2.parent=i; HTi.lchild=s1; HTi.rchild=s2; HTi.weight=HTs1.weight+ HTs2.weight;,21,(续前)再求出n个字符的Huffman编码HC
14、,HC=(HuffmanCode)malloc(n+1)*sizeof(char*); /分配n个字符编码的头指针向量（一维数组） cd=(char*) malloc(n*sizeof(char); /分配求编码的工作空间(n) cdn-1=“0”; /编码结束符（从cd0cdn-1为合法空间） for(i=1;i=n;+i) /逐个字符求Huffman编码start=n-1; /编码结束符位置for(c=i,f=HTi.parent; f!=0; c=f, f=HTf.parent)/从叶子到根逆向求编码if(HTf.lchild=c) cd-start=“0”;else cd-start=
15、“1”;HCi=(char*)malloc(n-start)*sizeof(char);/为第i个字符编码分配空间strcpy(HCi, /释放工作空间 /HuffmanCoding,22,Huffman编码举例,解：先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。 放大后的权值集合 w= 7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10 ， 按哈夫曼树构造规则（合并、删除、替换），可得到哈夫曼树。,例1【严题集6.26】：假设用于通信的电文仅由8个字母 a, b, c, d, e, f, g, h 构成，它们在电文中出现的概率分别为 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32,
16、0.03, 0.21, 0.10 ，试为这8个字母设计哈夫曼编码。如果用07的二进制编码方案又如何？ 【类同P148例2】,23,w= 7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10 在机内存储形式为:,b,c,a,d,e,g,f,h,请注意：哈夫曼树样式不惟一！,5,11,17,28,40,60,100,双亲,左右孩子,24,对应的哈夫曼编码：,Huffman码的WPL2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03) =1.44+0.92+0.25=2.61,3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+
17、0.03)=3,二进制等长码的WPL,按左0右1标注,25,另一种表示 ：,26,小结：哈夫曼树及其应用,1.Huffman算法的思路：权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。,2.构造Huffman树的步骤： 对权值的合并、删除与替换,3. Huffman编码规则： 左“0” 右“1”又称为前缀码、最小冗余编码、紧致码等等，它是数据压缩学的基础。,27,上机实验说明：设字符集为26个英文字母，其出现频度如下表所示。,注：若在规定时间内圆满实现，平时成绩将以满分计。,要求：先建Huffman树，再利用此树对任一字符串文件进行编码和译码即设计一个Huffman编/译码器,28,本 章 小 结,1、定义和性质,2、存储结构,3、遍历,4、线索化,1:2， 性质有3+2条,孩子兄弟,线索树,第6章结束,
