1、教学设计2.3 等差数列的前 n 项和2.3.1 等差数列的前 n 项和( 一)从容说课“等差数列的前 n 项和” 第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进而引导学生对等差数列的前 n 项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步形成对等差数列的前 n 项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要采用设计变式题的教学手段.通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及
2、如何去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节内容的认知结构的形成.教学重点 等差数列的前 n 项和公式的理解、推导及应用.教学难点 灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题.教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题.二、过程与方法通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发
3、展学生的思维水平.三、情感态度与价值观通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.教学过程导入新课教师出示投影胶片 1：印度泰姬陵(T aj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层(如下图) ，奢华之程度，可见一斑 .你知道
4、这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)生 只要计算出 1+2+3+100 的结果就是这些宝石的总数.师 对，问题转化为求这 100 个数的和.怎样求这 100 个数的和呢？这里还有一段故事.教师出示投影胶片 2：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+100 =5 050.”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回 答说：因为
5、1+100=101；2+99=101；50+51=101，所以 10150=5 050.师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=50+51=101，有 50 个101，所以 1+2+3+100=50101=5 050.师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于 101，50 个 101 就等于 5 050 了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到
6、了结果.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.师 问：数列 1，2，3，100 是什么数列？而求这一百个数的和 1+2+3+100 相当于什么？生 这个数列是等差数列，1+2+3+100 这个式子实质上是求这数 列的前 100 项的和.师 对，这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题.推进新课合作探究师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第 1 层到第 21 层，得到右图，则图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢?生 这是求“1+2+3+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能 用了
7、.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师 高斯的这种 “首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为 22 个，共 21 行.则三角形中的宝石个数就是 .21)(师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了! 我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+21，21+20+19+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求 1
8、到 n 的正整数之和，即求 1+2+3+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列a n的前 n 项的和 Sn?生 1 对于问题(2)，我这样来求：因为 Sn=a1+a2+a3+an，Sn=an+an-1+a2+a1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq，所以 .()(1nn生 2 对于问题(2)，我是这样来求 的：因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+a 1+(n-1)d ，所 以 Sn=na1+1+2+3+(n-1)d= na1+ d,2)(即 Sn=na1+ d.( )
9、2)(教师精讲两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面 求得的结论，并且我们得到了等差数列前 n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前 n 项和公式.其中公式() 是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+ 下底)高2 相类比，这里的上底是等差数列的首项 a1，下底是第 n 项 an，高是项数 n,有利于我们的记忆.方法引导师 如果已知等差数列的首项 a1，项数为 n，第 n 项为 an，则求这数列的前 n 项和用公式()来进行，若已知首项 a1，项数为 n，公差 d，则求这数列的前 n 项和用公式(
10、)来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？生 每个公式中都是 5 个量.师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).师 当公差 d0 时，等差数列a n的前 n 项和 Sn 可表示为 n 的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的 2 倍就是公差.知识应用【例 1】 (直接代公式)计算：(1)1+2+3+n；(2)1+3+5+(2n-1)；(3)2+4+6+2n；(4)1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式) 请同学们先完成 (1)(3)，并请
11、一位同学回答.生 (1)1+2+3+n= ；(2)1+3+5+(2 n-1)= =n2；(3)2+4+6+2n=2)1()1(=n(n+1).2)(师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用 Sn 公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答 )生 (4)中的数列共有 2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= -(2+4+6+2 n)=n2-n(n+1)=-n.生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-n.师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，
12、往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例 2】 （课本第 49 页例 1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些 有用信息吗?生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是 500，记为 a1，公差为 50，记为 d，而从 2001 年到 2010 年应为十年，所以这个等差数列的项数为 10.再用公式就可以算出来了.师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)【例 3】 (课本第 50 页例 2)已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1 220，由
13、此可以确定求其前 n 项和的公式吗？分析：若要确定其前 n 项求和公式，则必须确定什么？生 必须要确定首项 a1 与公差 d.师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的 S10 与 S20，于是可从中获得两个关于 a1 和d 的关系式，组成方程组便可从中求得.(解答见课本第 50 页)师 通过上面例题 3 我们发现了在以上两个公式中，有 5 个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二). 运用方程思想来解决问题 .合作探究师 请同学们阅读课本第 50 页的例 3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解
14、)师 本题是给出了一个数列的前 n 项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?生 从所给的和的公式出发去求出通项.师 对的，通项与前 n 项的和公式有何种关系?生 当 n=1 时，a 1=S1，而当 n1 时，a n=Sn-Sn-1.师 回答的真好!由 Sn 的定义可知，当 n=1 时，S 1=a1；当 n2 时，a n=Sn-S n-1，即 an=S1(n=1),Sn-S n-1(n2).这种已知数列的 Sn 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项 an=2n- ，我们从中知它是等差数列，这时当 n=1 也是满足的，但是不是所2有已知 Sn 求 an
15、的问题都能使 n=1 时，a n=Sn-Sn-1 满足呢?请同学们再来探究一下课本第 51页的探究问题.生 1 这题中当 n=1 时，S 1=a1=p+q+r；当 n2 时，a n=Sn-S n-1=2pn-p+q，由 n=1 代入的结果为 p+q，要使 n=1 时也适合，必须有 r=0.生 2 当 r=0 时，这个数列是等差数列，当 r0 时，这个数列不是等差数列.生 3 这里的 p0 也是必要的，若 p=0，则当 n2 时，a n=Sn-S n-1=q+r，则变为常数列了，r0 也还是等差数列.师 如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0，且是关于 n 的二次型函数，则这个数列一定是等
16、差数列，从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.课堂练习等差数列-10，-6，-2 ，2，前多少项的和是 54？(学生板演)解：设题中的等差数列为a n，前 n 项和为 Sn,则 a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+ 4=54.2)1(解之,得 n1=9,n2=-3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2 ，2前 9 项的和是 54.(教师对学生的解答给出评价)课堂小结师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生 等差数列的前 n 项和公式 1： ,2)(1nnaS等差数列的前 n 项和公
17、式 2： .d师 通过等差数列的前 n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生 通过等差数列的前 n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法“ 倒序相加法”.“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?生 如果一个数列的前 n 项和公式中的常数项为 0，且是关于 n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.布置作业课本第 52 页习题 2.3 A 组第 2、3 题.板书设计等差数
18、列的前 n 项和(一)公式：推导过程 例2)1(2)(11dnanSn习题详解(课本第 52 页练习)1.(1)-88 (2)604.52.an= .1,256,93.元素的个数为 30，元素和为 900.备课资料一、备用习题1.求集合 M=m|m=7n,nN*,且 m100 的元素个数，并求这些元素的和 .分析：求解的关键在于要理解这个集合的元素特征，抓好集合中的数全是由 7 的倍数组成，再由本节课学过的知识运用加以解决.解：由 7n100 得 n = .所以，正整数 n 共有 14 个，即 M 中共有 14 个元素,即710247，14，21，98 是一个以 a1=7 为首项，公差为 7
19、且 a 14=98 的等差数列.所以 Sn=735.答：这些元素的和为 735.2)98(142.已知两个等差数列：2，5，8，197 和 2，7，12，197.求这两个数列中相同项之和. 分析：两个等差数列的相同项仍组成等差数列，找出其首项、公差、项数，即可求出它们的和.解：其相同项是 2，17，32，197，组成以 2 为首项，公差为 15，末项为 197 的等差数列.设此数列共有 n 项，则 197=2( n-1)15，得 n=14，那么相同项的和 .1394)7(S点评：如果两个等差数列的公差分别为 d1 和 d2，且 d1 和 d2 的最大公约数为 a，则两个等差数列中公共项所组成的
20、等差数列的公差 d=(d1d2)a，即 d 为 d1 和 d2 的最小公倍数.3.用分期付款的方式购置房子一套，价格为 115 万元.购置当天先付 15 万元，以后每月的这一天都支付 5 万元，并加付欠款利息，月利息率 1%.若交付 15 万元后的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月，问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全部房款付清后，购买这套房子实际花了多少钱？分析：购买时付了 15 万元，欠款 100 万元.每月付 5 万元及欠款利息，需分 20 次付完，且每月总付款数顺次组成等差数列.解：由题意，购置当天付了 15 万元，欠款 100 万元.每月付 5 万元，共分 20 次付完.设
21、每月付款数顺次组成数列a n ，则 a151001%=6，a 25(100-5)1%=6-0.05，a 35(100-52)1%=6-0.052，依次类推，得 an= 6-0.05(n-1)(1n20).由于 an-a n-1=-0.05，所以a n组成等差数列，a 10=6-0.059=5.55(万元).从而 ，全部房款付清后总付款数为 S20+15= +15=125.5(万元).20)(1答：第 10 个月应付 5.55 万元，购买这套房子实际花了 125.5 万元.点评：解应用题时，首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系，逐个数据进行分析，建立相应的数学模型.再求解数学模型，得出数学结论
22、，最后回答实际问题.4.把正整数以下列方法分组：(1)，(2 ，3)，(4，5，6) ， ，其中每组都比它的前一组多一个数，设 Sn 表示第 n 组中所有各数的和，那么 S 21 等于( )A.1 113 B.4 641 C.5 082 D.53 361分析：第 21 组共有 21 个数，构成一个等差数列，公差为 1，首项比第 20 组的最后一个数大 1，所以先求前 20 组一共有多少个数.解：因为第 n 组有 n 个数，所以前 20 组一共有 1+2+3+20=210 个数，于是第 21 组的第一个数为 211，这组一共有 21 个数，S 21=21211+ 1=4 641，故选 B.201
23、点评:认真分析条件，转化为数列的基本问题.二、阅读材料古代有关数列求和问题的故事 我国数列求和的概念起源很早，古书周髀算经里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；九章算术中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念.到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在张丘建算经里给出了几 个等差数列问题.例如：“ 今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式.naSn2)(1再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日
24、，共织九匹三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式d=( )(n-1).12aSn这个公式等价于现今中学课本里的公式：.)(1dn大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事.其实，更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元前 3 000 年.问题:一百份面包五个人分，要求：第二个人比第一个人多多少，第三个人比第二个人也多多少，同样，第四个人比第三个人，第五个人比第四个人也多多少.此外，前两人所得的总数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少？解：我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包 x 份，第二个人比第一个人多分得 y份，则第二个人分得 xy 份，第三个人分
25、得 x2y 份，第四个人分得 x3y 份，第五个人分得 x+4y 份.于是有方程组化简，得).4()3()2()(7 ,10yxyxx解得 .21,0yx.619,所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为, ,20, , .31650238上面的一列数 x，xy，x2y，x+3y，x+4y，由于项数较少，我们可以直接相加求出它们的和.如果项数很多，怎样求它们的和呢？具体地说，设Sn=x+(xy)+(x+2y)+(x3y)+(x+ny) ，能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢？这是容易做到的，我们采用高斯的方法，把式倒过来写，得Sn=(x+ny)+(x3y)+(x+2y)+(xy)+x，
