1、3.4 基本不等式： (二)aba b2课时目标1熟练掌握基本不等式及变形的应用；2会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题1设 x，y 为正实数(1)若 xys(和 s 为定值) ，则当 xy 时，积 xy 有最大值，且这个值为 .s24(2)若 xyp(积 p 为定值)，则当 xy 时，和 xy 有最小值，且这个值为 2 .p2利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y 必须是正数；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为定值；求和 xy 的最小值时，应看积 xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提
2、条件概括为“一正、二定、三相等” 一、选择题1函数 ylog 2 (x1)的最小值为( )(x 1x 1 5)A3 B3 C 4 D4答案 B2已知点 P(x，y) 在经过 A(3,0)，B(1,1) 两点的直线上，则 2x4 y 的最小值为( )A2 B4 C16 D不存在2 2答案 B解析 点 P(x，y) 在直线 AB 上，x2y3.2 x4 y2 2 4 (x ，y 时取等号)2x4y 2x 2y 232 343已知 x ，则 f(x) 有( )52 x2 4x 52x 4A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 152 54答案 D解析 f(x) x2 4x 52x 4 x 22
3、12x 2 1.12x 2 1x 2当且仅当 x2 ，即 x 3 时等号成立1x 24函数 y 的最小值为 ( )x2 5x2 4A2 B. C1 D不存在52答案 B解析 y x2 5x2 4 x2 4 1x2 4 2，而 ，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最x2 41x2 4 12值，函数 yx 在(1，) 上是增函数，在2 ，) 上也是增函数1x当 2 即 x0 时，y min .x2 4525已知 x0，y 0，x 2y 2 xy8，则 x2y 的最小值是( )A3 B4 C. D.92 112答案 B解析 8(x2y)2xyx(2y) ( )2.x 2y2原式可化为(x
4、2y) 24( x 2y)320.x0，y0，x 2y 4.当 x2，y1 时取等号6若 xy 是正数，则 2 2 的最小值是( )(x 12y) (y 12x)A3 B. C4 D.72 92答案 C解析 2 2(x 12y) (y 12x)x 2y 2 14(1x2 1y2) xy yx 1124.(x2 14x2) (y2 14y2) (xy yx)当且仅当 xy 或 xy 时取等号22 22二、填空题7设 x1，则函数 y 的最小值是_x 5x 2x 1答案 9解析 x1，x 10，设 x1t0，则 xt1，于是有 y t 5t 4t 1t t2 5t 4t 4t2 59，t4t当且仅
5、当 t ，即 t2 时取等号，此时 x1.4t当 x1 时，函数 y 取得最小值为 9.x 5x 2x 18已知正数 a，b 满足 abab30，则 ab 的最小值是_答案 9解析 abab30，abab32 3.ab令 t，则 t22t3.ab解得 t3(t1 舍)即 3.abab9.当且仅当 ab3 时，取等号9建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元答案 1 760解析 设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m，由于底面积为 4 m2，所以另一边长为 m那么4xy1204 2
6、80 480 320(2x 24x) (x 4x)4803202 1 760(元)x4x当 x2，即底为边长为 2 m 的正方形时，水池的造价最低，为 1 760 元10函数 ylog a(x3)1 (a0，a1)的图象恒过点 A，若点 A 在直线 mxny 10上，其中 mn0，则 的最小值为_1m 2n答案 8解析 A( 2 ，1) 在直线 mxny10 上，2mn10，即 2mn1，mn0，m0，n0. 2 242 8.1m 2n 2m nm 4m 2nn nm 4mn nm4mn当且仅当 ，即 m ，n 时等号成立nm 4mn 14 12故 的最小值为 8.1m 2n三、解答题11已知
7、 x0，y 0，且 1，求 xy 的最小值1x 9y解 方法一 1，1x 9yxy(xy) 10 .(1x 9y) yx 9xyx0，y0， 2 6.yx 9xy yx9xy当且仅当 ，即 y3x 时，取等号yx 9xy又 1，x4，y 12.1x 9y当 x4，y12 时，x y 取最小值 16.方法二 由 1，得 x ，1x 9y yy 9x0，y0，y 9.xy yy y 1yy 9 y 9 9y 9 9y 9(y9) 10.9y 9y9，y90，y9 102 1016，9y 9 y 9 9y 9当且仅当 y9 ，即 y 12 时取等号9y 9又 1，则 x4，1x 9y当 x4，y12
8、 时，x y 取最小值 16.12某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元由已知，得 y ，10 0.9x 0.2x2 0.2x2x即 y1 (xN *)10x x10由基本不等式知 y12 3，当且仅当 ，即 x10 时取等号因此使用10xx10 10x x1010 年报废最合算，年平均费用为 3 万元能力提升13若关于 x 的不
9、等式(1 k 2)xk 44 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( )A2M,0M B2M,0M C2M, 0M D2M,0M答案 A解析 (1k 2)xk 44，x .k4 41 k2 (1 k 2) 22 2.k4 41 k2 1 k22 21 k2 51 k2 51 k2 5x2 2， Mx|x 2 2，2M, 0M.5 514设正数 x，y 满足 a 恒成立，则 a 的最小值是_x y x y答案 2解析 成立，x y2 x y2 ，a .x y 2 x y 21利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值2使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解3解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义
