六年级第6讲 圆 (1).doc

1、4-3-3 圆与扇形 题库 page 1 of 30例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等 图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积圆的面积 ；扇形的面积 ；2r2360nr圆的周长 ；扇形的弧长 跟曲线有关的图形元素：扇形：扇形由 顶点在 圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我 们经常说的圆、 圆、 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之12416几那么一般的求法是什么呢？关键是 360n比如：扇形的面积 所在圆的面积

2、；扇形中的弧长部分 所在圆的周长扇形的周长 所在圆的周长 2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)360n弓形：弓形一般不要求周长，主要求面 积一般来说，弓形面积 扇形面 积-三角形面积 (除了半圆)”弯角”：如图： 弯角的面积 正方形- 扇形”谷子”：如图： “谷子” 的面积 弓形面积 2 常用的思想方法：转化思想 (复 杂转化为简单，不熟悉的 转化为熟悉的)等积变 形(割 补、平移、旋转等)借来 还去(加减法 )外围 入手(从会求的 图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是 1

3、平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 圆与扇形4-3-3 圆与扇形 题库 page 2 of 30【解析】 割补法如右 图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【巩固】下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法如右 图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【例 2】 如图，在 18 8 的方格纸上，画有 1，9，9，8 四个数字那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有 8+15+15+16 54 个，其中 部分有 6+6+8 20 个，部分有 6+6+8 20(个)，而 1 个 和 1

4、个 正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含 54+20 74(个)完整小正方形，而整个方格 纸包含 8 18 144(个)完整小正方形所以图中阴影面积占整个方格 纸面积的 ，即 7432【巩固】在 47 的方格纸板上面有如阴影所示的”6” 字，阴影边缘是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积的几分之几？【解析】 矩形纸板共 28 个小正方格，其中弧 线都是 圆周，非阴影部分有 3 个完整的小正方形，其余部分可144-3-3 圆与扇形 题库 page 3 of 30拼成 6 个小正方格因此阴影部分共 2863=19 个小正方格所以，阴影面积占纸板面积的 1928【例 3】 (2007 年西城实验

5、考题)在一个边长为 2 厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米【解析】 采用割补法如果将阴影半 圆中的 2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面 积和，即正方形面 积的一半，所以阴影部分的面积等于 平方厘米21【巩固】如图，在一个边长为 4 的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆求阴影部分的面积【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形， 则阴影部分面积为 428【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为 1，正方形的 4 个顶

6、点和 4 条边分别为 4 个圆的圆心和半径，求阴影部分面积( 取 )3.4【解析】 把中间正方形里面的 4 个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个 的扇形的面积之和，所以，9022144147.1SSSAA圆阴 影 圆【例 5】 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？4-3-3 圆与扇形 题库 page 4 of 30【解析】 如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面 积为 （平方厘米）1240.52（，所以阴影部分的总

7、面积为 （平方厘米）248【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是 2m2m或2m【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于2216m（【例 6】 如右图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( 取 3)【解析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移 动凑成规则图形来求解如右上图，连接顶角上的 4 个 圆心，可得到一个 边长为 4 的正方形 可以看出，

8、与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣 图形的每个角上分割出一个半 圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为1(平方厘米)22419【总结】在求不规则图形的面积时，我 们一般要对原图进 行切割、移 动、补齐，使原图变成一个规则的图形，从而利用面积公式进行求解 这个切割、移 动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼 补的方法、【例 7】 如图中三个圆的半径都是 5 ，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和(圆周率取 )cm 3.14【解析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是

9、一个半 圆，面积为 253.149.5(cm)【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 ，空白部分面积为 ，那么这两个部S2S4-3-3 圆与扇形 题库 page 5 of 30分的面积之比是多少？(圆周率取 )3.14【解析】 如图添加辅助线，小 圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为 ，则 ， ，所以 r2Sr21r12:3.4:257:10S移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出 图形之间 的关系【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米) 510AA5【解析】 将右边的扇形向左平移，如 图所示两个阴影部分拼成个直角梯形

10、 (平方分米)5102753.【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？2 2 24【解析】 首先观察阴影部分，我 们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们 不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左 侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为 4 的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积 减去正方形面积 则阴影部分面积(2)(2)48【例 9】 请计算图中阴影部分的面积310【解析】 法一：为了求得阴影部分的面积，可以从下 图的整体面积中扣掉一个 圆的面积，就是要求的面 积了

11、4-3-3 圆与扇形 题库 page 6 of 30=-要扣掉圆的面积，如果按照下 图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样如此一来，就会出 现一个长方形的面积103- =因此，所求的面积为 2103cm（ ）法二：由于原来的月牙形很难直接计算，我 们可以尝试构造下面的 辅助图形：如左上图所示，我们也可以这样 来思考， 让图形往右侧平移 就会得到右上图中的组合图形，而这3cm个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积显然图中右侧延伸出了多少面积，左 侧就会缩进多少面积 因此，所求的面积是 2103cm（ ）【例 10】 求图中阴影部分的面积1212DCBA1212DCBA【解析】 如图，连接 ，

12、可知阴影部分的面积与三角形 的面积相等，即为 1236【例 11】 求如图中阴影部分的面积(圆周率取 )3.144-3-3 圆与扇形 题库 page 7 of 3044【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分 别顺逆时针 ，则阴影部分转化为四分之一圆减去一个90等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为 2144.56【巩固】如图，四分之一大圆的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率 取近似值 27【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求因为四分之一大圆的半径 为 7，所以其面 积为：221738.547四

13、分之一大圆内的等腰直角三角形 的面积为 ，所以阴影部分的面积为ABC124.538.5.14【例 12】 求下列各图中阴影部分的面积(1)1010(2)ba【解析】 在图(1)中，阴影部分 经过切割平移变成了一个底为 10，高为 5 的三角形，利用三角形面积公式可以求得 ；025S阴 影在图(2)中，阴影部分经过切割平移 变成了一个长为 b，宽为 a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得 ab阴 影【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 ，圆周率按 3 计算)：cm344-3-3 圆与扇形 题库 page 8 of 3011122456【解析】 4.5121【例 13】 如图， 是

14、正方形，且 ，求阴影部分的面积(取 )ABCD1FADE 3F EDCBAWNMF EDCBA【解析】 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我 们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现 由于对称性，我们可以发现，弓形 BMF 的面积和弓形 BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC 的面积因 为 ABCD 是正方形，且 FA AD DE 1，则有 CD DE那么四 边形 BDEC 为平行四边形，且 E 45我 们再在平行四边形 BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形 BDWC 和扇形WDE

15、共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面 积 平行四边形 BDEC-扇形 DEW245113608方法二：先看总的面积为 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总面4积扣除一个等腰直角三角形，一个 圆，一个 的扇形那么最终效果等于一个正方形扣除一个145的扇形面积为 452138【巩固】求图中阴影部分的面积(单位： )cm4-3-3 圆与扇形 题库 page 9 of 30432【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面 积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为 21(2)39cm【例 14】 如图，长方形 的长是 ，则阴影部分的面积是 ( )ABCD8 2c

16、m3.14【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以 2 即可长方形的长等于两个圆直径， 宽等于 1 个圆直径，所以右 图 的阴影部分的面积等于：2826.8所以左图阴影部分的面积等于 平方厘米 23.4【例 15】 (2007 年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为 的图中有两条互相垂直的线段，阴影4cm部分面积 与其它部分面积 之差(大减小)是 AB2 21BBAA 12【解析】 如图，将 圆对称分割后， 与 中的部分区域能对应， 仅比 少了一块矩形，所以两部分的面积差BBA为： 2218cm【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人但此

17、金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块现甲取、两块，乙取、两块如果这种金属板每平方厘米价值 1000 元，问：甲应偿付给乙多少元？5cm7.5cm3cm2cm2cm5cm3cm 2cm3cm7.5cm5cm【解析】 如右上图所示， 的面积与的面积相等， 的面 积等于与的面积之和可 见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为： ，而原本 应是两人2537.5.1c（ ） （ ） （ ）平分，所以甲应付给乙： (元)10524-3-3 圆与扇形 题库 page 10 of 30【例 16】 求右图中阴影部分的面积( 取 3) 454520cm【解析】 看到这道题，一下

18、就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手这样，平移和旋转就成了我们 首选的方法 (法 1)我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、 部分面积之和即可，其中、面积相等易知 、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB 的长度未知单独求部分面 积 不易，于是我们将、部分平移至一起，如右下图所示， 则、部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC 10两个四分之一 圆的面积和为 150，而、部分的面积和为 ，所以阴影部分的面积为 (平方厘1052150米)(法 2)欲求图中阴

19、影部分的面积，可将左半 图形绕 B 点逆 时针方向旋转 180，使 A 与 C 重合，从而构成如右图的样子，此时阴影部分的面积可以看成半 圆面积减去中间等腰直角三角形的面积 所以阴影部分面积为 (平方厘米)21010 4545DCBAACB【例 17】 (第四届走美决赛试题)如图，边长为 3 的两个正方形 BDKE、 正方形 DCFK 并排放置，以 BC为边向内侧作等边三角形，分别以 B、 C 为圆心，BK 、 CK 为半径画弧求阴影部分面积()3.144-3-3 圆与扇形 题库 page 11 of 30K FED CBAAB CDE FK【解析】 根据题意可知扇形的半径 恰是正方形的对角线

20、，所以 ，如右图将左边的阴影翻转右r 2318r边阴影下部， SS阴 影 扇 形 柳 叶 182(1)34.5板块二 曲线型面积计算【例 18】 如图，已知扇形 的面积是半圆 面积的 34倍，则角 的度数是_BACADBCAB DCBA【解析】 设半圆 的半径为 1，则半圆面积为 ，扇形 的面积为 因为扇形B21BAC423的面积为 ，所以， ，得到 ，即角 的度数是 60 度C2360nr2360n60n【例 19】 如下图，直角三角形 的两条直角边分别长 和 ，分别以 为圆心， 为半径画圆，已ABC7,2知图中阴影部分的面积是 ，那么角 是多少度( )17367CBA【解析】 ,162AB

21、CS三角形 内两扇形面积和为 ，2174根据扇形面积公式两扇形面积和为 ,24360BC4-3-3 圆与扇形 题库 page 12 of 30所以 , .120BC6A【例 20】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 如果量41535得小圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？【解析】 小圆的面积为 ，则大小圆相交部分面积为 ,那么大圆的面积为253251，而 ，所以大圆半径为 厘米41515427.【例 21】 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？( 取 3)CBA【解析】 由右图知，绳长

22、等于 6 个线段 与 6 个 弧长之和ABC将图中与 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 ，BC 360所以 弧所对的圆心角是 ，6 个 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长0而线段 等于塑料管的直径，A由此知绳长为： (厘米)54【例 22】 如图，边长为 12 厘米的正五边形，分别以正五边形的 5 个顶点为圆心，12 厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？( )3.14【解析】 如图，点 是在以 为中心的扇形上，所以 ，同理 ，则 是正三角形，同理，有CBABCBAC是正三角形有 ，正五边形的一个内角是 ，因此DE60ACED 180365108，也

23、就是说圆弧 的长度是半径 为 12 厘米的圆周的一部分， 这样相同的60218A圆弧有 5 个，所以中 间阴影部分的周 长是 1223.45.cm60【例 23】 如图是一个对称图形比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积_灰色部分面积4-3-3 圆与扇形 题库 page 13 of 30【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的 ，则 4 个小圆的面1积之和等于大圆的面积而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为

24、 ，空白部分面积为 ，那么这两1S2S个部分的面积之比是多少？(圆周率取 )3.14【解析】 如图添加辅助线，小 圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为 ，则 ， ，所以 r2Sr21r12:3.4:257:10S移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出 图形之间 的关系【例 25】 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】 大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积大圆面积 ，2:1:9rR小圆面积 ， 个小 圆总面积 ，164974728边角料面积

25、(平方厘米)28【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1求阴影部分的面积4-3-3 圆与扇形 题库 page 14 of 30【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考 虑采用增加面积的方法来构造新图形由右图可见，阴影部分面积等于 大圆面积减去一个小圆 面积，再加上 的小扇形面积(即 小圆1612013面积)，所以相当于 大圆面 积减去 小圆面积而大 圆的半径 为小圆的 3 倍，所以其面积为小圆的23倍，那么阴影部分面积为 239 21591.66【例 27】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个半

26、径为 10 厘米的小扇形(圆周率取 )3.4 BCOA【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六 边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面 积 公式 2360nRS扇可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为 60，那么 ，120AOC又知四边形 是平行四边形，所以 ，这样就可求出扇形的面积和为ABCO1ABC(平方厘米)，阴影部分的面 积 (平方厘米)2106683406281【例 28】 (09 年第十四届华杯赛初赛)如下图所示， 是半圆的直径， 是圆心， ，OADB是 的中点， 是弦 的中点若 是 上一点，半圆的面积等于 12

27、 平方厘米，则图中MADHDNOB阴影部分的面积是 平方厘米MC DHNO BA【解析】 如下图所示，连接 、 、 HHNMODCBA本题中由于 、 是半圆的两个三等分点， 是 的中点， 是弦 的中点，可 见这个图形是对CMACDHCD称的，由对称性可知 与 平行由此可得 的面 积与 的面积相等，所以阴影部分面DANO积等于扇形 面积的一半，而扇形 的面积又等于半 圆面积的 ，所以阴影部分面 积等于半圆O13面积的 ，为 平方厘米162【 巩 固 】 如 图 ， 、 是 以 为 直 径 的 半 圆 的 三 等 分 点 ， 是 圆 心 ， 且 半 径 为 6 求 图 中 阴 影 部 分 的 面

28、积 CDAB4-3-3 圆与扇形 题库 page 15 of 30DCBA ODCBA O【解析】 如图，连接 、 、 C由于 、 是半圆的三等分点，所以 和 都是正三角形，那么 与 是平行的所以DCDCDAO的面积与 的面积相等，那么阴影部分的面 积 等于扇形 的面积，为 2168.4【例 29】 如图，两个半径为 1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差( 取 3)O DCBA【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分 别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐由于是要求面 积 之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较

29、小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积如右图所示，可知弓形 或 均与弓形 相同，所以不妨割去弓形 剩下的图形中，容易看CDABC出来 与 是平行的，所以 与 的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形 的面积ABBCACD相等，而扇形 的面积为 ，所以 图中两 块阴影部分的面积之差为 2601.53 0.5【例 30】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 )3.14AFEDCBMAFEDCB【解析】 方法一：设小正方形的边长为 ，则三角形 与梯形 的面积均为 阴影部分aAD12a为：大正方形 梯形 三角形 右上角不规则部分 大正方形 右上角不规则

30、部分 圆因B4此阴影部分面积为： 3.14213.04方法二：连接 、 ，设 与 的交点为 ，由于四边形 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ACDFCMACF，所以ADMS DFS阴 影 扇 形 .213.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是 10 和 6，求阴影部分的面积( 取 3)4-3-3 圆与扇形 题库 page 16 of 30610G FE DCBA 610G FE DCBA【解析】 (法 1)观察可知阴影部分面积等于三角形 的面积减去月牙 的面积，那么求出月牙 的BCD面积就成了解题的关键月牙 的面积为正方形 的面积减去四分之一圆： ；BCDDE694则阴影部分的面积为三角形 的面积

31、减去月牙 的面积，为：ACBCD106932S阴 影(法 2)观察可知 和 是平行的，于是 连接 、 、 FBAF则 与 面积相等，那么阴影部分面积等于 与小弓形的面积之和，也就等于AB 与扇形 的面积之和，为： DE 21(06)6394【例 31】 如图， 是等腰直角三角形， 是半圆周的中点， 是半圆的直径已知 ，CDBC10ABC那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取 )3. DBPCADBPCA【解析】 连接 、 、 ，如图， 平行于 ，则在梯形 中， 对角线交于 点，那么 与PDABABDMAB面积相等， 则阴影部分的面 积转化为 与圆内的小弓形的面 积和 P的面积为： ；1025弓形

32、面积： ；3.457.12阴影部分面积为： 7.3.【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；( )3.4 6464ED CBA【解析】 连接小正方形 ,有图可见ACDABSS 阴 影 扇 形 214 3同理 ，27CE8CE4-3-3 圆与扇形 题库 page 17 of 30 1482ACDS，90.5636扇 形 1482ABCS 1阴 影【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 的 6 条半圆曲线连成的问：涂有阴影的2:1.50部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【解析】 假设最

33、小圆的半径为 ，则三种半圆曲线的半径分别为 ， 和 r 4r3阴影部分的面积为： ，222211435r空白部分的面积为： ，5r则阴影部分面积与空白部分面积的比为 :【例 34】 (2008 年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积( )7.1 3.14【解析】 每个圆环的面积为： (平方厘米)；224371.98五个圆环的面积和为： (平方厘米)；1.9850.八个阴影的面积为： (平方厘米)；0每个阴影的面积为

34、： (平方厘米)【例 35】 已知正方形 的边长为 10 厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小ABCD圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图那么，图中阴影部分的总面积等于_方厘米()3.14【解析】 39.25【例 36】 如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积( 取 3)4-3-3 圆与扇形 题库 page 18 of 30DCBAaDCBAa【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个 对称图形，我们只需要在阴影部

35、分的对称轴上作两条辅助线就明了了如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我 们 可以求得，4SS阴 影 半 圆 三 角 形211aa2【巩固】如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆求阴影部分面积( 取 3)DCBADCBA【解析】 由题可知， 图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我 们也可以通 过作辅助线直接求阴影部分的面 积解法一：把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分则阴影部分的面积为 ；248解法二：连接 AC，我们发现阴影部分面积的一

36、半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积 21（ ）【例 37】 (2008 年四中考题)已知三角形 是直角三角形， ， ，求阴影部分的面ABC4cmAC2cB积CBA【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形 的面积之差，所以阴影ABC部分的面积为： ( )2214142.543.8 2cm4-3-3 圆与扇形 题库 page 19 of 30【 例 38】 （ 奥 林 匹 克 决 赛 试 题 ） 在 桌 面 上 放 置 个 两 两 重 叠 、 形 状 相 同 的 圆 形 纸 片 .它 们 的 面 积 都3是 平 方 厘 米 ， 盖 住 桌 面 的 总 面

37、积 是 平 方 厘 米 ， 张 纸 片 共 同 重 叠 的 面 积 是 平 方 厘 米 .那10 14342么 图 中 个 阴 影 部 分 的 面 积 的 和 是 平 方 厘 米 .【解析】 根 据 容 斥 原 理 得 ，所 以 （平 方 厘 米 ）103241S阴 影 103427S阴 影【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差(圆周率取 )3.14【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个 长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块 不规则白色部分，那么它 们的差应为大扇形减去小扇形，再减去

38、长方形则为： 4243.148.2【例 39】 如图，矩形 ABCD 中，AB 6 厘米，BC 4 厘米，扇形 ABE 半径 AE 6 厘米，扇形 CBF 的半径 CB 4 厘米，求阴影部分的面积 ( 取 3)FEDCBA【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分 ABFD 在左上，求出 这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键我们先确定 ABFD 的面积，因为不规则部分 ABFD 与扇形 BCF 共同构成长方形 ABCD，所以不规则部分 ABFD 的面积为 (平方厘米)，2164再从扇形 ABE 中考虑，让扇形 ABE 减去

39、 ABFD 的面积，则有阴影部分面积为 (平方厘米)2154方法二：利用容斥原理 (平方厘米)221646154EABCFABCDSS阴 影 扇 形 扇 形 长 方 形【巩固】求图中阴影部分的面积4-3-3 圆与扇形 题库 page 20 of 301212【解析】 阴影部分面积 半圆面积 扇形面积 三角形面积 22211()4.08【巩固】如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，( )3.1FEDCBA【解析】 观察可知阴影部分是被以 为半径的扇形、以 为直径的半圆形和对角线 分割出来的，分头ADABBD求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下

40、边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我 们再 观察可以发现左下边空白部分的面 积就等于三角形 的面积减去扇A形 的面积，那么我 们的思路就很清楚了 ADE因为 ，45B所以扇形 的面积为： (平方厘米)，2245453.19.8536060A那么左下边空白的面积为： (平方厘米)，19.87又因为半圆面积为： (平方厘米)，25.所以阴影部分面积为： (平方厘米)9.816715【例 40】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取 )3 33BA33A1.51.51.54545B33【解析】 图中 、 两部分的面 积分别等于右边两幅图中的 、 的面积AB B所以 229271.

41、5.48486S【巩固】图中阴影部分的面积是 ( 取 )3.144-3-3 圆与扇形 题库 page 21 of 303333【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积所分成的弓形的面积为： ；21319468另一部分的面积为： ；2988所以阴影部分面积为： 9271.92375.16468【例 41】 已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 、 、 为圆心，求阴影部1O23分的面积( )3O2O1O3BA【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个 扇形的

42、面积，再减去角上的小空白部分的面积 ，为：90(平方厘米)，所以214200014754SS圆正 方 形 正 方 形 扇 形阴影部分的面积为 (平方厘米)751【例 42】 一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_( 取 3)【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而 圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面 积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我 们可以得到：每

43、个角阴影部分面积为 ；29011364那么圆无法运动到的部分面积为 方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示， 则阴影面 积为 2314-3-3 圆与扇形 题库 page 22 of 30【例 43】 已知半圆所在的圆的面积为 平方厘米，求阴影部分的面积( )62.83.14 OD C BA【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要 设法把它转化成规则图形来计算从图中可以看出，阴影部分的面积是一个 的扇形与一个等腰直角三角形的面积差45由于半圆的面积为 平方厘米，所以 62.826.831420OA因此： (平方厘米)210AOBS由于 是等腰直角三角形，所以 B因此：扇形 的面积

44、(平方厘米)C2455.73636所以，阴影部分的面积等于： (平方厘米)1.70.【例 44】 如图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10；以 A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形 AEF；两个阴影部分的面积相等求扇形所在的圆面积FECBA【解析】 题目已经明确告诉我们 ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来等腰直角三角形的角 A 为 45 度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的 8 倍而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即 ，1052S扇 形则圆的面积为 5084【例 45】 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 ，阴影甲的面积比阴影乙的面积大AB7，