1、第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程一、选择题1.椭圆 3x2+4y2=12 的两个焦点之间的距离为 ( )A.12 B.4 C.3 D.2答案:D解析:将椭圆方程化为标准方程为=1,来源:学优 GKSTKa 2=4,b2=3,c 2=a2-b2=1,两个焦点之间的距离为焦距 2c=2.2.以圆(x-1) 2+y2=1 的圆心为椭圆的右焦点,且过点的椭圆的标准方程为( )A.=1 B.=1C.x2+y2=1 D.x2+y2=1答案:B解析:由已知 c=1,且焦点在 x 轴上,设椭圆方程为=1,将点代入求得 a2=4 或 a2=(舍去).故所求椭圆的标准方程为=1.3.
2、设 P 是椭圆=1 上一点,P 到两焦点 F1,F2 的距离之差为 2,则PF 1F2 是( )A.锐角三角形 B.直角三角形来源:学优C.钝角三角形 D.等腰直角三角形答案:B解析:由椭圆定义,知|PF 1|+|PF2|=2a=8.又|PF 1|-|PF2|=2,|PF 1|=5,|PF2|=3.又|F 1F2|=2c=2=4,PF 1F2 为直角三角形. 来源 :gkstk.Com4.“mn0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:将方程 mx2+ny2=1 化为 =1,根据椭
3、圆的定义,要使焦点在 y 轴上,必须满足mn0.5.设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=a+(a0),则点 P 的轨迹是( )A.椭圆 B.线段C.不存在 D.椭圆或线段答案:D解析:F 1(0,-3),F2(0,3),|F 1F2|=6.|PF 1|+|PF2|=a+2=6,|PF 1|+|PF2|F 1F2|.P 点轨迹为椭圆或线段.二、填空题6.已知椭圆=1 的上、下两个焦点分别为 F1,F2,点 P 为该椭圆上一点 ,若|PF 1|,|PF2|为方程x2+2mx+5=0 的两根,则 m= . 答案:-3解析:由已知|PF 1|+|PF2|=
4、2a=6.又|PF 1|,|PF2|为方程 x2+2mx+5=0 的两根,|PF 1|+|PF2|=-2m.m=-3.经检验,m=-3 满足题意 .7.若椭圆=1 的焦距等于 2,则 m 的值是 . 答案:16 或 14解析:当焦点在 x 轴上时,m15,a 2=m,b2=15,c 2=a2-b2=m-15.又2c=2,m-15=1,m=16.当焦点在 y 轴上时,0b0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且.若PF 1F2 的面积为 9,则 b= .答案:3来源:学优解析:由题意,得解得 a2-c2=9,即 b2=9,所以 b=3.三、解答题9.已知椭圆=1 上一点 M 的纵坐标为 2.(
5、1)求 M 的横坐标 ;(2)求过 M 且与 =1 共焦点的椭圆的方程.解:(1)把 M 的纵坐标代入 =1,得=1,即 x2=9.x=3, 即 M 的横坐标为 3 或-3.(2)对于椭圆=1,焦点在 x 轴上且 c2=9-4=5,故设所求椭圆的方程为=1,a 25.把 M 点坐标代入得=1,解得 a2=15.故所求椭圆的方程为=1.10.一动圆过定点 A(2,0),且与定圆 x2+4x+y2-32=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.解:将圆的方程化为标准形式为(x+2) 2+y2=62,圆心坐标为 B(-2,0),半径为 6,如图.由于动圆 M 与已知圆 B 内切,设切点为 C.已知圆( 大圆 )半径与动圆 (小圆)半径之差等于两圆心的距离 ,即|BC|-|MC|=|BM|.而|BC|=6,|CM|=|AM|,|BM|+|AM|=6.根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和点 A(2,0)为焦点的椭圆,且 2a=6.a=3,c=2,b=,所求圆心的轨迹方程为=1.
