1、一、选择题1.若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线( ).A.平行 B.相交C.是异面直线 D.以上都有可能【解析】两条直线与一个平面所成的角相等,这两条直线可能平行,可能相交,也可能是异面直线 .【答案】D2.已知直线 a,b 和平面 ,下列推理错误的是( ).A.a 且 b a bB.a b 且 a b C.a 且 b a bD.a b 且 b a 或 a【解析】在选项 C 中, a、 b 可能异面 .【答案】C3.点 P 在平面 ABC 外,若 PA=PB=PC,则点 P 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的( ).A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心【解析】由 PA=PB
2、=PC,可得 P 的射影 P到 A、 B、 C 三点距离相等 .【答案】A4.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ).l 1 l2,l2 l3l1 l3;l 1 l2=P1,l2 l3=P2l1 与 l3 相交; l 1 l2,l2 l3l1 与 l3 共面;l 1 l2=P1,l2 l3=P2l1 与 l3 共面 .A. B. C. D.【解析】根据题意知 成立;因为 l1 l3,所以 l1与 l3共面, 成立; l1 l2=P1,l2 l3=P2l1与 l3相交、平行或异面,因此 错误 .【答案】A5.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中: BM 与 ED 平行
3、; CN 与 BE 是异面直线; CN 与 BM 成 60角;DM 与 BN 垂直 .以上四个命题中,正确命题的序号是( ).A. B. C. D.【解析】把图形还原为正方体 .【答案】C6.若 , =l ,直线 a ,直线 b ,a,b 与 l 都不垂直,那么( ).A.a 与 b 可能垂直,但不可能平行B.a 与 b 可能垂直,也可能平行C.a 与 b 不可能垂直,但可能平行D.a 与 b 不可能垂直,也不可能平行【解析】两平面垂直,两直线分别在两平面内,且两直线与交线不垂直,两直线若平行,则均与交线平行,因此可能平行;若 a 与 b 垂直,根据面面垂直的性质,则 a 与 l 垂直或 b
4、与 l 垂直,与已知矛盾,选 C.【答案】C7.已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上, 球心 O 在 AB 上, SO底面 ABC, AC=r.则球的体积与三棱锥体积之比是( ).A. B.2 C.3 D.4【解析】 画图可知, AC BC,所以 BC=r,SABC =r2,所以 VS-ABC=r3,V 球 = r3,故 V 球 :VS-ABC=4 .【答案】D8.已知三个平面 、 、 互相平行,两条直线 l,m 分别与平面 , , 相交于点 A,B,C 和 D,E,F.已知AB=10,=,则 AC 等于( ).A.5 B.10 C.15 D.20【解析】 ,=.由 =
5、,得 DE=EF,而 AB=10,BC= 10,AC=AB+BC= 20.【答案】D9.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使平面 ABD平面 CBD,E 是 CD 的中点,则异面直线 AE、 BC 所成角的正切值为( ).A. B. C.2 D.【解析】设 BD 中点为 O,连接 AO、 EO,则 AEO 为异面直线所求的角,且可证 AO EO,故 tan AEO=.【答案】A10.如图,已知 ABC 为直角三角形,其中 ACB=90,M 为 AB 的中点, PM 垂直于 ABC 所在平面,那么( ).A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PA PB PC【解析】
6、 M 为 AB 的中点, ACB 为直角三角形, BM=AM=CM ,又 PM平面 ABC, Rt PMBRtPMARt PMC,故 PA=PB=PC.【答案】C11.如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA平面 ABC,AB BC,PA=AB,D 为 PB 的中点,则下列推断不正确的是( ).A.BC平面 PABB.AD PCC.AD平面 PBCD.PB平面 ADC【解析】 PA 平面 ABC,PA BC 且 AB BC,BC 平面 PAB,A 正确,由 BC平面 PAB 得BC AD,BC PB,PA=AB ,D 为 PB 的中点, AD PB,从而 AD平面 PBC,C 正确,而 PC平面
7、 PBC,AD PC,B正确,在平面 PBC 中, PB BC,PB 与 CD 不垂直,故 PB 不垂直平面 ADC,D 错误 .【答案】D12.如图,正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G,已知 ADE 是 ADE 绕边 DE 旋转过程中的一个图形 .现给出下列命题: 恒有直线 BC平面 ADE; 恒有直线 DE平面 AFG; 恒有平面 AFG平面 ADE.其中正确命题的个数为( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 根据 BC DE 知恒有直线 BC平面 ADE; 根据 DE AG,DE FG 知恒有直线 DE平面AFG; 根据直线 DE平面 AFG,DE平面
8、ADE 知恒有平面 AFG平面 ADE.【答案】D二、填空题13.对于四面体 ABCD,给出下列四个结论: 若 AB=AC,BD=CD,则 BC AD; 若 AB=CD,AC=BD,则 BC AD; 若 AB AC,BD CD,则 BC AD; 若 AB CD,AC BD,则 BC AD.其中正确结论的序号是 .(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】 取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,AB=AC ,BD=CD,DE BC,AE BC,BC 平面 ADE,又 AD 平面 ADE,BC AD,故 正确; 截取正方体的一个角,易证 正确 .【答案】 14.设 x,y,z 是空间的不同直线或
9、不同平面,写出能保证“若 x z,且 y z,则 x y”为真命题的一个命题: . 【答案】若直线 x 垂直于平面 z,直线 y 垂直于平面 z,则直线 x 平行于直线 y15.如图所示, ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体, M、 N 分别是下底面的棱 A1B1、 B1C1 的中点, P 是上底面的棱AD 上的一点, AP=,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= . 【解析】 平面 ABCD平面 A1B1C1D1,平面 ABCD平面 PQNM=PQ,平面 A1B1C1D1平面 PQNM=NM,MN PQ.又 MN AC,PQ AC.又 AP=
10、,= ,PQ=AC=.【答案】16.如图所示, AC 是圆 O 的直径, B 是异于 A,C 两点的圆周上的任意一点, PA 垂直于圆 O 所在的平面,则 PAB,PAC, ABC, PBC 中,有 个直角三角形 . 【解析】根据 PA平面 ABC,可得 PAB, PAC 为直角三角形,又 BC平面 PAB,可得 ABC, PBC 为直角三角形 .【答案】4三、解答题17.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1.(1)写出正方体的 12 条棱中与直线 C1D 异面的直线 .(2)求直线 C1D 与 B1C 所成的角 .【解析】(1)正方体的 12 条棱中与直线 C1D 异面的直线有 AB,A1
11、B1,AA1,BB1,D1A1,BC.(2)连接 A1D,A1C1.A 1B1 CD, 四边形 A1B1CD 为平行四边形,A 1D B1C, A1DC1为直线 C1D 与 B1C 所成的角 . A1DC1为等边三角形, A1DC1=60, 直线 C1D 与 B1C 所成的角为 60.18.已知在四棱锥 P-ABCD 中, E、 F、 G 分别是 PC、 PD、 BC 的中点 .求证:(1)平面 EFG平面 PAB;(2)AP平面 EFG.【解析】(1) E 、 F 分别是 PC、 PD 的中点, EF CD AB.又 EF平面 PAB,AB平面 PAB,EF 平面 PAB.同理, EG平面
12、PAB.又 EG EF=E,EG平面 EFG,EF平面 EFG, 平面 EFG平面 PAB.(2)AP 平面 PAB,平面 EFG平面 PAB,AP 平面 EFG.19.如图,已知正四面体 ABCD,E 是棱 AB 的中点 .求证:(1)AB平面 CDE;(2)平面 CDE平面 ABC.【解析】(1) CE AB.同理, DE AB.又 CE DE=E,AB 平面 CDE.(2)由(1)知 AB平面 CDE,又 AB 平面 ABC, 平面 CDE平面 ABC.20.已知空间四边形 ABCD 中, E、 F 分别是 AB、 BC 的中点, H、 G 分别是 AD、 CD 上的点,且 =.求证:(
13、1)E、 F、 G、 H 四点共面;(2)三条直线 EH、 FG、 BD 交于一点 .【解析】(1)在 ABC 和 CAD 中,E 、 F 分别是 AB、 BC 的中点,EF AC.又 =,HG AC,EF HG,E 、 F、 G、 H 四点共面 .(2)由(1)可知, EF HG,且 EF HG,即直线 EH,FG 是梯形的两腰, 它们的延长线必相交于一点 P.BD 是 EH 和 GF 分别所在平面 ABD 和平面 BDC 的交线,而点 P 是上述两平面的公共点,P BD. 三条直线 EH、 FG、 BD 交于一点 .21.如图所示, AD平面 ABC,CE平面 ABC,AC=AD=AB=1
14、,BC=,EC=2,G、 F 为 BE、 BC 的中点 .(1)求证: AB平面 ACED.(2)求证:平面 BDE平面 BCE.【解析】(1) AD 平面 ABC,AD平面 ACED, 平面 ABC平面 ACED.BC 2=AC2+AB2,AB AC. 平面 ABC平面 ACED=AC,AB平面 ABC,AB 平面 ACED.(2)AB=AC ,F 为 BC 的中点,AF BC.GF AD,AD平面 ABC,GF AF.又 GF BC=F,GF平面 BCE,BC平面 BCE,AF 平面 BCE.GF CE,AD CE, 四边形 GFAD 为平行四边形,AF DG,GD 平面 BCE,又 GD
15、平面 BDE, 平面 BDE平面 BCE.22.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 .D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点,且 AD BC.(1)求证:直线 A1F平面 ADE;(2)E 为 C1C 中点,能否在直线 B1B 上找一点 N,使得 A1N平面 ADE?若存在,确定该点位置;若不存在,说明理由 .【解析】(1)连接 DF,A 1B1=A1C1,AB=AC.又 AD BC,D 为 BC 的中点 .又 F 为 B1C1的中点,DF BB1,DF AA1, 四边形 ADFA1为平行四边形,A 1F AD.又 AD 平面 ADE,A1F平面 ADE, 直线 A1F平面 ADE.(2)当 N 为 BB1的中点时, A1N平面 ADE.当 N 为 B1B 的中点时,F 为 B1C1的中点, NF BC1.同理 DE BC1,NF DE.又 DE 平面 ADE,NF平面 ADE, 直线 NF平面 ADE.又 NF A1F=F, 平面 A1NF平面 ADE.又 A 1N平面 A1NF,A 1N平面 ADE.
