1、第 1 课时 平 面1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”,理解平面的无限延展性 .2.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 .3.理解可以作为推理依据的三条公理 .重点:用符号表示点、线、面之间的关系;平面的三个公理,在讨论中注意用符号语言叙述有关数学问题 .难点:平面基本性质的掌握与应用 .质检人员在检测地面砖是否铺就得平整,通常把木工尺平放在地面砖铺就的间隙间检测木工尺与地面砖是否存在间隙,若没有间隙,则说明地面砖铺得很平整 .问题 1:上述检测方法其实就是利用了公理 1 的思想,若地面砖铺得很平整,就
2、可以把地面砖看成一个平面,木工尺看成一条直线, 直线上有 两个点 在一个平面内,那么直线上 所有的点 都在这个平面内,木工尺与地面间也就没有间隙 . 问题 2:如何用符号语言来表达下列图形的位置关系?图 中,点 A 在直线 l 上,记作 A l ;点 B 不在直线 l 上,记作 Bl . 图 中,点 A 在平面 内,记作 A ;点 B 不在平面 内,记作 B . 图 中,直线 l 在平面 内,记作 l . 图 中,直线 l1 不在平面 内,记作 l1 ,直线 l2 不在平面 内,记作 l2 . 问题 3:写出平面的三个公理并用图形语言和符号语言分别表示 .图形 文字叙述 符号表示公理 1如果一
3、条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线在此平面内 A ,B ,则 AB 公理 2过不在一条直线上的三点, 有且只有 一个平面 A、 B、 C 不共线,则A、 B、 C 共面 公理 3如果两个不重合的平面有 一个 公共点,那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线 P ,P ,则 =l ,P l,l 唯一 问题 4:请你对公理 2 中“不共线三点”的条件进行适当地组合,写出其他三种确定平面的条件 . 一条直线与 直线外一点 ; 两条平行直线 ; 两条相交直线 . 生活中,课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”的形象 .如果把一根木棍牢固地钉在墙壁上,至少需要几根钉子?教室的门为
4、什么可以随意开关? 插上插销后为什么不能开启?房顶和墙壁有多少个公共点?1.在空间内可以确定一个平面的条件是( ).A.三个点 B.一个点和一条直线C.两条直线 D.一个三角形【解析】三个点确定一个平面,需要三个点不共线 .一个点和一条直线确定一个平面,需要点不在该直线上 .两条直线确定一个平面,需要两条直线平行或相交 .【答案】D2.以下命题正确的是( ).A.两个平面可以只有一个交点B.一条直线与一个平面最多有一个公共点C.两个平面有一个公共点,它们可能相交D.两个平面有三个公共点,它们一定重合【解析】由两平面相交于一条直线,知 A,D 错误;当一条直线在平面内,直线和平面有无数个公共点,
5、B 错误.【答案】C3.若点 M 在直线 a 上, a 在平面 上,则 M,a, 间的关系可用符号语言表示为 . 【答案】 M a,a4.已知平面 、 和直线 a、 b、 l,满足 =l ,a ,b ,a b=A,求证: A l.【解析】 因为 a b=A,所以 A a,又因为 a ,所以 A ;同理可证 A .又因为 =l ,根据公理 3 可得 A l.符号语言的应用试用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的关系 .【方法指导】先判断点、直线、平面之间的位置关系,再用符号表示 .【解析】图 中: =l ,A l.图 中, l ,m =C.【小结】本题的关键就是根据图形准确地判断出点、直线
6、、平面之间的位置关系,然后根据位置关系,用符号语言表达清楚 .共面的判断已知两条平行直线和第三条直线都相交,试判断这三条直线是否共面 .【方法指导】先由两条平行线确定平面 ,再判断第三条直线与 的关系 .【解析】如图, l1 l2,l1 l3=A,l2 l3=B,l 1 l2, 存在一个平面 ,使 l1 ,l2.又 l 1 l3=A,l2 l3=B,A l1,B l2,A ,B .又 A l3,B l3,l 3 ,所以三条直线共面 .【小结】证明三线共面的基本方法就是先利用两条直线确定一个平面,再证明第三条直线在该平面内,这实际上是公理 1、2 的结合 .空间中的三点共线问题如图所示, O1
7、是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1 的中心, M 是对角线 A1C 和截面 B1D1A 的交点 .求证: O1、 M、 A 三点共线 .【方法指导】要证 O1、 M、 A 三点共线,只要证明这三点同在两个相交平面内即可 .【解析】 A 1C1 B1D1=O1,又 B1D1平面 B1D1A,A1C1平面 AA1C1C,O 1平面 B1D1A,O1平面 AA1C1C.A 1C平面 B1D1A=M,A1C平面 AA1C1C,M 平面 B1D1A,M平面 AA1C1C.又 A 平面 B1D1A,A平面 AA1C1C, O 1、 M、 A 在平面 B1D1A 和平面 AA1
8、C1C 的交线上,即 O1、 M、 A 三点共线 .【小结】证明点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,从而可根据公理 3 证明这些点共线(都在这两个平面的公共直线上) .下列语句如何用符号表示?(1)点 A 在平面 内,点 B 在平面 外;(2)直线 l 经过平面 外的一点 M.【解析】(1) A ,B ;(2)M ,M l,l.如果三条直线两两相交且不共点,它们能不能确定一个平面?【解析】能,证明如下:如图, l1 l2=A,l1 l3=C,l2 l3=B,l1、 l2确定一个平面 ,C l1,B l2,B ,C .B l3,C l3,l 3 ,故两两相交且不共点的三条直线能
9、确定一个平面 .如图,空间四边形 ABCD 中, E、 H 分别是 AB、 AD 的中点, F、 G 分别是 BC、 CD 上的点,且 =.求证:三条直线EF、 GH、 AC 交于一点 .【解析】 E 、 H 分别是 AB、 AD 的中点,EH BD,且 EH=BD.又 = ,GF BD,GF=BD,EH GF 且 EH GF, 四边形 EFGH 是梯形, 两腰 FE、 GH 必交于一点,设该交点为 P.EF 面 ABC,P 面 ABC,同理 P面 ADC, 点 P 在面 ABC 与面 ADC 的交线 AC 上, 三条直线 EF、 GH、 AC 交于一点 .1.如图,下列点、线、面关系表示正确
10、的是( ).A.AB平面 ABCB.AABC.平面 ABC平面 AA1B1B=AD.AB BC=B【解析】直线和平面关系用,A 错;点和直线关系用,B 错;两平面相交于一条直线,C 错;两条直线相交于一点,D 正确 .【答案】D2.下列说法中正确的是( ).A.公理 1 可用集合符号叙述为:若 A l,B l 且 A ,B ,则必有 l B.四边形的两条对角线必相交于一点C.用平行四边形表示的平面以平行四边形的四条边作为平面的边界线D.梯形是平面图形【解析】对于 A,直线 l 在 内应表示为 l ;对于 B,当四边形的四个顶点不共面时,对角线不交于一点;对于 C,平面具有延展性,无边界;对于
11、D,由平行的两条边确定平面,再由公理 1 知,梯形的腰也在这个平面内,故 D 正确.【答案】D3.两个平面的公共点的个数为 . 【解析】两个平面平行时,无公共点;两个平面相交时,有无数个公共点 .【答案】0 或无数4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P、 Q、 R 分别是 AB、 AD、 B1C1 的中点,那么过 P、 Q、 R 的平面截正方体所形成的截面是什么图形?【解析】如图,截得的图形是由 P、 Q、 R 和 D1C1、 BB1、 DD1的中点组成的,截面是一个正六边形 .求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面 .【解析】题意可转化为已知:直线 a b c,l a=A,l b=B,l c=C.求证:直线 a,b,c 和 l 共面 .如图 .因为 a b,由公理 2 可知直线 a,b 可确定一个平面,设为 .因为 l a=A,l b=B,所以 A ,B ,可知 l.因为 b c,由公理 2 可知直线 b,c 可确定一个平面,设为 . 同理可知 l. 据此 .可知平面 与 都包含直线 b 和 l,且 l b=B.而经过两条相交直线有且仅有一个平面,所以说明平面 与 重合 .因此直线a,b,c 和 l 共面 .
