1、,数学建模竞赛讲座,基础课部徐昌贵 2009年5月,一、结构化建模方法,二、中国象棋跳马问题,三、第二次预选及相关,内容提要,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、叠砖问题评讲,五、十六宫填数游戏,一、结构化建模方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,实际或竞赛 的建模问题,课程学习与培训中的数学建模案例,数学建模本质上是一个创造性的过程！数学建模不仅是为了竞赛，更是为了数学应用与研究！新问题不一定有借鉴的先例！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,没有可引用、借鉴的案例时怎么建模？,数学模型定义：数学模型是关于以部分现实世界为一定目标而作的抽象、简化的数学结构。,分析原型的结构，抽象并表
2、示结构, 结构是核心！,结构主义学派：数学 = 集合 + 结构,机动 目录 上页 下页 返回 结束,模型: 原型结构的适当表示； 数学：集合+结构，数学是研究结构的； 数学模型：原型结构的数学表示。 数学建模: 分析原型的结构，建立与数学结构的对应（同构）并用数学语言表示。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题的目标,原型的结构分析,同构分析：数学结构和原型结构的联系,数学模型表示,建模过程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数学的三种基本结构： 代数结构、序结构和拓扑结构,二、中国象棋跳马问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中国象棋跳马问题：中国象棋中的马开始在(0,0)点，问它
3、走到(11,9)点最少要走多少步？有多少种走法？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析：假设马在(x,y)位置，根据规则，它可以跳向8个位置，所谓跳马，就是在马原来的位置上加上一个向量，如图：,A1(2,1), A2(1,2), A3(-1,2), A4(-2,1), A5(-2,-1), A6(-1,-2), A7(1,-2), A8(2,-1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,假设马按Ai类走法跳了xi步，则得原问题的数学模型：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用Lingo软件编程如下：,model: sets: S/18/:x,a,b; endsets min=Sum(S:
4、x); Sum(S:x*a)=11; Sum(S:x*b)=9; For(S:Gin(x); data:a=2,1,-1,-2,-2,-1,1,2;b=1,2,2,1,-1,-2,-2,-1; enddata end,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运算结果如下:,!Global optimal solution found at iteration: 94Objective value: 8.000000Variable Value Reduced CostX( 1) 4.000000 1.000000X( 2) 2.000000 1.000000X( 3) 1.000000 1.000
5、000X( 4) 0.000000 1.000000X( 5) 0.000000 1.000000X( 6) 0.000000 1.000000X( 7) 0.000000 1.000000X( 8) 1.000000 1.000000,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用Mathematica软件解不定整数方程得结果如下：,利用排列组合知识得到有多少种走法：,=168+280+840+56=1344种。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、第二次预选及相关,明天起将进行第二次预选，挑选35人左右,加上参加过08年数学建模的同学20人共计54人左右,参加暑假的培训和9月的正式的全国比赛
6、。第二次预选采取分组进行的方式，每两人一组，自由组合；也可独立完成;第二次预选试题明天9点在 210.41.95.14 - 高等数学精品课程 现代教育中心 - 专题资源网 - 数学建模资源库,机动 目录 上页 下页 返回 结束,文件编辑Word(必须含公式编辑器,mathtype 5.2 )电子表格Excel :处理表格数据和大量数据数学软件:3M软件: Mathematica 5.0 , matlab , maple规划专用软件: lingo 8.0统计软件: spss 13.0资料查询:图书,网络(搜索,中国学术期刊全文数据库),数学建模常用工具,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动
7、目录 上页 下页 返回 结束,四、叠砖问题评讲,机动 目录 上页 下页 返回 结束,叠砖问题 评分标准(满分:80分) (1)摘要:10分 (2)假设:5分 (3)问题1的模型:15分 (4)问题1的算法:10分 (5)问题1的结果:15分 (6)问题2的模型:5分 (7)问题2的结果:5分 (8)问题3的结果:5分 (9)问题3的证明:5分 (10)写作:5分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,目标: 伸出的总距离尽可能远 ?,约束条件: 保持平衡,平衡原理: 物体的重心不落在底面之外,总共有n-1个约束条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）先建立坐标系,机动 目录 上页 下页
8、返回 结束,（2）确定每块砖的重心x坐标,第1块砖的重心x坐标：,第2块砖的重心x坐标：,第3块砖的重心x坐标：,第n块砖的重心x坐标：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）n=2,3,4的模型,n=2,n=3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n=4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、十六宫填数游戏,将116填入下列16个格子中，使得每行，每列，两对角线上4个数之后都相等。,数学模型？,不定整数方程模型,model: data: n=4; ! 4阶方阵16宫情况; nn=16; ! 4*4=16宫; enddatasets: S/1n/
9、; SS(S,S):x; ! 矩阵表示的元素; BS/1nn/:y; ! 按数列排列的元素; BSS(BS,BS)| endsets,min=x(1,1); !该目标只说明一种排法,实际上可以去掉该目标,只寻找满足下列约束条件的一个可行解就可以了; For(SS(i,j):x(i,j)=y(n*(i-1)+j); ! x与y的关系; For(S(j):Sum(S(i):x(i,j)=m); ! 每列之和为m; For(S(i):Sum(S(j):x(i,j)=m); ! 每行之和为m; x(1,1)+x(2,2)+x(3,3)+x(4,4)=m; ! 主对角线之和为m; x(1,4)+x(2,3)+x(3,2)+x(4,1)=m; ! 副对角线之和为m;For(BSS(i,j):y(i)-y(j)+1999*b(i,j); For(BSS(i,j):1-y(i)+y(j)999*(1-b(i,j); !这两个约束说明x(i)与x(j)互不相等,最小相差1;For(BSS:Bin(b); ! b为0-1变量; for(BS:Bnd(1,y,nn); ! y的取值范围; For(BS:Gin(y); ! y为整数变量; end,机动 目录 上页 下页 返回 结束,每行，每列，对角线之和都为34,机动 目录 上页 下页 返回 结束,永不言弃,谢谢,
