1、教学设计1.1.3 集合的基本运算整 体 设 计教学分析课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算三维目标1理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力2通过观察和类比，借助 Venn 图理解集合的基本运算体会直观图示对理解抽象
2、概念的作用，培养数形结合的思想重点难点教学重点：交集与并集、全集与补集的概念教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系课时安排2 课时教 学 过 程第 1 课时作者：尚大志导入新课思路 1我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如 538.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题思路 2请同学们考察下列各个集合，你能说出集合 C 与集合 A，B 之间的关系吗？(1)A1,3,5，B2,4,6，C 1,2,3,4,5,6；(2)Ax|x 是有理数 ，Bx|x 是无理数，Cx|x 是实数 引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论教师强调集合也有运算，这
3、就是我们本节课所要学习的内容思路 3(1)如图 1 甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合 A、集合B 有什么关系？ 图 1观察集合 A，B 与集合 C1,2,3,4之间的关系学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算(2)已知集合 A1,2,3，B2,3,4，写出由集合 A， B 中的所有元素组成的集合 C.已知集合 Ax| x1，Bx|x0，在数轴上表示出集合 A 与 B，并写出由集合A 与 B 中的所有元素组成的集合 C.推进新课Error!Error!(1)通过上述问题中集合 A，B 与集合 C 之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？(2)
4、用文字语言来叙述上述问题中，集合 A，B 与集合 C 之间的关系(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合 A，B 与集合 C 之间的关系(4)试用 Venn 图表示 ABC.(5)请给出集合的并集定义(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合 A，B 与集合 C 之间有什么关系？A2,4,6,8,10，B 3,5,8,12，C 8；Ax|x 是国兴中学 2012 年 9 月入学的高一年级女同学 ，Bx|x 是国兴中学 2012年 9 月入学的高一年级男同学 ，Cx|x 是国兴中学 2012 年 9 月入学的高一年级同学(7)类比集合的并集，请给
5、出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用 Venn 图来表示讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集集合 C 叫集合 A 与 B 的并集记为 ABC，读作 A 并 B.(2)所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成了集合 C.(3)Cx|xA，或 xB(4)如图 1 所示(5)一般地，由所有属于集合 A
6、或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B的并集其含义用符号表示为 ABx|x A，或 xB，用 Venn 图表示，如图 1 所示(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作AB ，读作 A 交 B.AB C，ABC .(7)一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集其含义用符号表示为：ABx|xA，且 xB用 Venn 图表示，如图 2 所示 图 2Error!例 1 集合 A x|x5，B x|x0，Cx|x10，则 AB，BC，ABC 分别是什么？活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素将
7、集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素解：因为 Ax| x5，Bx|x0，Cx| x10 ，在数轴上表示，如图 3 所示，所以 ABx|0 x 5，BC x|x0，ABC . 图 3点评：本题主要考查集合的交集和并集求集合的并集和交集时，明确集合中的元素；依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或 Venn 图写出结果.变式训练1设集合 Ax| x2 n，nN *，B x|x2n，nN ，求 AB，AB.解：对任意 mA，则有 m2 n22 n1 ，nN *，因 nN *，故 n1N
8、 ，有2n1 N，那么 mB，即对任意 mA 有 mB，所以 AB.而 10B 但 10 A，即 A B，那么 ABA，ABB.2求满足1,2B1,2,3的集合 B 的个数解：满足1,2B1,2,3 的集合 B 一定含有元素 3，B 3；还可含 1 或 2 其中一个，有1,3，2,3；还可含 1 和 2，即1,2,3，那么共有 4 个满足条件的集合 B.3设集合 A4,2，a1， a2，B9，a5,1a ，已知 AB9，求 a.解：AB 9 ，则 9A， a19 或 a29.a10 或 a3.当 a10 时，a55,1a9；当 a3 时，a12 不合题意；当 a3 时，a14 不合题意故 a1
9、0.此时 A4,2,9,100，B9,5，9 ，满足 AB94设集合 Ax|2 x13，Bx|3x2，则 AB 等于( )A x| 3x1 B x|1x2Cx| x3 D x|x1解析：集合 Ax|2 x13x|x1，观察或由数轴得 AB x|3x 1 答案：A例 2 设集合 Ax|x 24x 0 ，Bx|x 22( a1)xa 210，aR ，若AB B ，求 a 的值活动：明确集合 A，B 中的元素，教师和学生共同探讨满足 ABB 的集合 A，B 的关系集 合 A 是方程 x24x0 的解组成的集合，可以发现， BA，通过分类讨论集合 B是否为空集来求 a 的值利用集合的表示 法来认识集合
10、 A，B 均是方程的解集，通过画Venn 图发现集合 A，B 的关系，从数轴上分析求得 a 的值解：由题意得 A4,0ABB， BA.B 或 B .当 B 时，即关于 x 的方程 x22(a1)xa 210 无实数解，则 4(a1) 24( a21)0 ，解得 a1.当 B 时，若集合 B 仅含有一个元素，则 4(a1) 24(a 21)0，解得a1，此时，B x|x200A，即 a1 符合题意若集合 B 含有两个元素，则这两个元素是4,0，即关于 x 的方程 x22(a1)xa 210 的解是4,0.则有Error!解得 a1，则 a1 符合题意综上所得，a1 或 a1.变式训练1已知非空集
11、合 Ax|2 a1x3a5，Bx|3x22，则能使A(A B )成立的所有 a 值的集合是什么？解：由题意知 A(A B)，即 AB，A 非空，利用数轴得 解2135,.a得 6a9，即所有 a 值的集合是a|6a9 2已知集合 Ax| 2x 5，集合 Bx|m1x2m 1，且 ABA，试求实数 m 的取值范围分析：由 ABA 得 BA，则有 B 或 B ，因此对集合 B 分类讨论解：AB A ，BA.又A x|2x 5 ，B ，或 B .当 B 时，有 m12m1，m2.当 B 时，观察图 4： 图 4由数轴可得 解得 2m 3.1,25.m综上所述，实数 m 的取值范围是 m2 或 2m3
12、，即 m3.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.Error!课本本节练习 1,2,3.【补充练习】1设集合 A3,5,6,8，B 4,5,7,8，(1)求 A B，AB.(2)用适当的符号(，)填空：AB_A ，B_AB ，AB_A，AB _B，AB_AB .解：(1)因 A，B 的公共元素为 5,8，故两集合的公共部分为
13、 5,8，则 AB3,5,6,8 4,5,7,85,8 又 A，B 两集合的所有相异元素为 3,4,5,6,7,8，故 AB3,4,5,6,7,8 (2)由 Venn 图可知ABA，B AB，AB A，ABB，ABAB.2设 A x|x5，Bx| x 0，求 AB.解：因 x5 及 x0 的公共部分为 0x 5，故 ABx|x5x| x0x|0x53设 A x|x 是锐角三角形，Bx|x 是直角三角形，求 AB.解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故 A，B 两集合没有公共部分所以 AB x|x 是锐角三角形 x|x 是钝角三角形 .4设 A x|x2，Bx|x3，求 AB
14、.解：在数轴上将 A，B 分别表示出来，得 ABx| x 25设 A x|x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，求 AB.解：因矩形是平行四边形，故由 A 及 B 的元素组成的集合为 AB，AB x|x 是平行四边形6已知 M1，N1,2，设 A(x，y )|xM ，y N，B( x，y)|xN，yM，求 AB，AB.分析：M，N 中的元素是数，A，B 中的元素是平面内的点集，关键是找其元素解：M1，N1,2，A(1,1) ，(1,2)，B(1,1)，(2,1)，故 AB(1,1)，AB (1,1)，(1,2) ，(2,1) 7若 A，B ，C 为三个集合，ABBC，则一定有( )AAC BCA
15、 CAC DA 解析：思路一：(BC)B，( BC)C，ABBC，ABB，ABC.ABC.A C.思路二：取满足条件的 A1，B1,2，C 1,2,3，排除 B，D，令 A1,2，B1,2，C1,2，则此时也满足条件 ABBC ，而此时 AC，排除 C.答案：AError!观察：(1)集合 A1,2，B1,2,3,4时，AB，AB 这两个运算结果与集合 A，B的关系；(2)当 A 时， AB ，AB 这两个运算结果与集合 A，B 的关系；(3)当 A B1,2时，AB ，AB 这两个运算结果与集合 A，B 的关系由(1)(2)(3)你发现了什么结论？ 图 5活动：依据集合的交集和并集的含义写出
16、运算结果，并观察与集 合 A，B 的关系用Venn 图来发现运算结果与集合 A，B 的关系(1)(2)(3)中的集合 A，B 均满足 AB，用Venn 图表示，如图 5 所示，就可以发现 AB，AB 与集合 A，B 的关系解：AB A ABABB.用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：ABBA ，A(AB )，B(AB) ；AA A，A A，ABAB B；ABBA ；(AB) A，( AB) B；AA A；A ；ABABA.Error!本节主要学习了：1集合的交集和并集2通常借助于数轴或 Venn 图来求交集和并集Error!1课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2请你
17、举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义3书面作业：课本习题 1.1，A 组，6,7,8.设 计 感 想由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容设计中通过借助于数轴或 Venn 图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法第 2 课时作者：赵冠明导入新课问题：分别在整数范围和实数范围内解方程(x3)(x )0，其结果会相同吗？3若集合 Ax|0 x 2，x Z，B x|0x2，xR，则集合 A，B 相等吗？学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范 围”问题就是本节学习的内容，引出课
18、题推进新课Error!Error!用列举法表示下列集合：A xZ |(x2) 0；123xB xQ|( x2) 0；CxR|(x2) 0.123x问题中三个集合相等吗？为什么？由此看，解方程时要注意什么？问题中，集合 Z，Q，R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义已知全集 U1,2,3，A1，写出全集中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 B.请给出补集的定义用 Venn 图表示 UA.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围讨论结果：A2，B ，C .2， 13 2， 13，2不相等，因为三个集合中的元素不相同解
19、方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为 U.B2,3对于一个集合 A，全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集集合 A 相对于全集 U 的补集记为 UA，即 UA x|xU ，且 x A如图 6 所示，阴影表示补集 图 6Error!思路 1例 1 设 Ux |x 是小于 9 的正整数 ，A 1,2,3，B3,4,5,6，求 UA， UB.活动：让学生明确全集 U 中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集 U，依据补集的定义写
20、出 UA， UB.解：根据题意，可知 U1,2,3,4,5,6,7,8，所以 UA4,5,6,7,8， UB1,2,7,8点评：本题主要考查补集的概念和求法用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果常见结论： U(AB )( UA)( UB)； U(AB)( UA)( UB).变式训练1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5,7，B3,4,5，则( UA)( UB)等于( )A1,6 B4,5C2,3,4,5,7 D1,2,3,6,7解析：思路一：观察得( UA)( UB)1,3,61,2,6,71,6思路二：AB2,3,4,5,7 ，则( UA)( UB)
21、U(AB)1,6答案：A2设集合 U1,2,3,4,5，A1,2,4，B2，则 A( UB)等于( )A1,2,3,4,5 B1,4C1,2,4 D3,5答案：B3设全集 U1,2,3,4,5,6,7，P1,2,3,4,5，Q 3，4,5,6,7，则 P( UQ)等于( )A1,2 B3,4,5C1,2,6,7 D1,2,3,4,5答案：A例 2 设全集 Ux |x 是三角形 ，A x|x 是锐角三角形，B x|x 是钝角三角形求AB ， U(AB)活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义结合交集、并集和补集的含义写出结果AB 是由集合 A， B 中公共元素组成的集合， U(AB)是全集中除去集合 AB 中剩下的元素组成的集合解：根据三角形的分类可知 AB ，ABx|x 是锐角三角形或钝角三角形 ，U(AB) x|x 是直角三角形 .
