1、教学设计3.2.1 几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的三维目标1借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异2恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象) 并借助信息技术解决一些实际问题3让学生体会数学在实际问题中的应
2、用价值，培养学生的学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同教学难点：应用函数模型解决简单问题课时安排2 课时教学过程第 1 课时作者：林大华导入新课思路 1(事例导入)一张纸的厚度大约为 0.01 cm，一块砖的厚度大约为 10 cm，请同学们计算将一张纸对折 n 次的厚度和 n 块砖的厚度，列出函数关系式，并计算 n20 时它们的厚度你的直觉与结果一致吗？解：纸对折 n 次的厚度：f(n)0.012 n(cm)，n 块砖的厚度：g(n) 10n(cm)，f(20)105 m，g(20)2 m.也许同学们感到意外，通过
3、对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解思路 2(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差 异推进新课Error!提出问题(1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克，需要支付 y 元，把 y 表示为 x 的函数(2)正方形的边长为 x，面积为 y，把 y 表示为 x 的函数(3)某保护区有 1 单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以 5%的增长率增长，经过 x 年后湿地的面积为 y，把 y 表示为 x 的函数(4)分别用表格、图象表示上述函数(5)指出它们属于哪种函数模型(6)讨论它们的单调性(7)比较它们的增长差
4、异(8)另外还有哪种函数模型与对数函数相关活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路(1)总价等于单价与数量的积(2)面积等于边长的平方(3)由特殊到一般，先求出经过 1 年、2 年(4)列表画出函数图象(5)引导学生回忆学过的函数模型(6)结合函数表格与图象讨论它们的单调性(7)让学生自己比较并体会(8)其他与对数函数有关的函数模型讨论结果：(1)yx.(2)yx 2.(3)y(15%) x.(4)如下表x 1 2 3 4 5 6yx 1 2 3 4 5 6yx 2 1 4 9 16 25 36y(15%) x 1.0
5、5 1.10 1.16 1.22 1.28 1.34它们的图象分别为图 1，图 2，图 3. 图 1 图 2 图 3(5)它们分别属于： ykxb(直线型)，yax 2bxc (a0，抛物线型)，yka xb(指数型) (6)从表格和图象得出它们都为增函数(7)在不同区间增长速度不同，随着 x 的增大 y(15%) x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数(8)另外还有与对数函数有关的函数模型，形如 ylog ax b，我们把它叫做对数型函数Error!例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元
6、，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第 x 天所得回报是 y 元，则方案一可以用函数 y 40(xN *)进行描述；方案二可以用函数 y 10x(xN *)进行描述；方案三可以用函数 y0.42 x1 (xN *)进行描述三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析我们先用计算机计算一下三种所得回报
7、的增长情况.方案一 方案二 方案三x/天y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元1 40 10 0.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12.88 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.210 40 0 100 10 204.8 102.4 30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4再作出
8、三个函数的图象(图 4) 图 4由表和图 4 可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同可以看到，尽管方案一、方案二在第 1 天所得回报分别是方案三的 100 倍和 25 倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第 7 天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的从每天所得回报看，在第 13 天，方案一最多；在第 4 天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 58 天，方案二最多；第 9 天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30 天，所得回报已超
9、过 2 亿元下面再看累积的回报数通过计算机或计算器列表如下：因此，投资 16 天，应选择方案一；投资 7 天，应选择方案一或方案二；投资 810天，应选择方案二；投资 11 天( 含 11 天) 以上，则应选择方案三针对上例可以思考下面问题：选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数课 本把两种回报数都列表给出的意义何在？由此得出怎样的结论答案：选择哪种方案依据的是累积回报数让我们体会每天回报数的增长变化上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴 50 元月基础费，然后每通话 1
10、 分钟付话费 0.4 元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1 分钟付话费 0.6 元，若设一个月内通话 x 分钟，两种通讯业务的费用分别为 y1 元和 y2 元，那么(1)写出 y1、y 2 与 x 之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费 200 元，应选择哪种通讯业务较合算思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自
11、变量的取值范围； (3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)求出当函数值为 200 元时，哪个函数所对应的自变量的值较大解：(1)y 1500.4x( x0)， y20.6x(x0)(2)图象如图 5 所示 图 5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为 250，所以在一个月内通话 250 分钟时，两种通讯业务的收费相同(4)当通话费为 200 元时，由图象可知，y 1 所对应的自变量的值大于 y2 所对应的自变量的值，即选取全球通更合算另解：当 y1200 时有 0.4x50200，x 1375；当 y2200 时有 0.6x200，x 2 .显然 375 ，1 0003 1
12、0003选用“全球通”更合算点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例 2 某公司为了实现 1 000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元) 随着利润 x(单位：万元) 的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型：y0.25 x，y log 7x 1，y 1.002 x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示
13、引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%，由于公司总的利润目标为 1 000 万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润于是只需在区间上，检验三个模型是否符合公司要求即可不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果解：借助计算器或计算机作出函数 y0.25x，y log 7x1，y1.002 x的图象(图 6) 图 6观察函数的图象，在区间上，模型 y0.25x，y 1.002 x的图象都有一部分在直线 y5的上方，只有模型 ylog 7x1 的图象始终在 y5 的下方，这说明只有按
14、模型 ylog 7x1进行奖励时才符合公司的要求下面通过计算确认上述判断首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万对于模型 y0.25x ，它在区间上递增，而且当 x20 时， y5，因此，当 x20 时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型 y1.002 x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点 x0满足 1.002x0 5，由于它在区间上递增，因此当 xx 0 时， y5，所以该模型也不符合要求；对于模型 ylog 7x1，它在区间上递增，而且当 x1 000 时，ylog 71 00014.555，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求再计算按模型 ylog
15、7x1 奖励时，奖金是否不超过利润的 25%，即当 x时，是否有 0.25 成立yx log7x 1x 图 7令 f(x)log 7x 10.25x，x利用计算器或计算机作出函数 f(x)的图象(图 7)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)f (10)0.316 70，即 log7x10.25x.所以当 x时， 0.25.log7x 1x说明按模型 ylog 7x1 奖励，奖金不超过利润的 25%.综上所述，模型 ylog 7x1 确实能符合公司的要求.变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨 x%(x0) ，销售数量就减少 k
16、x%(其中 k 为正实数)目前，该商品定价为 a 元，统计其销售数量为 b 个(1)当 k 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？12(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围解：依题意，价格上涨 x%后，销售总金额为ya(1 x%)b(1kx%) ab10 000(1)取 k ，y x2 50x10 000，12 ab10 000 12所以 x50，即商品价格上涨 50%，y 最大为 ab.98(2)因为 y ，ab10 000此二次函数的开口向下，对称轴为 x ，在适当涨价过程后，销售总金额不断50(1 k)k增加，即要求此函数当 自变量 x 在 x
17、|x0的一个子集内增大时，y 也增大所以 0，解得 0k1.50(1 k)k点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.Error!光线通过一块玻璃，其强度要损失 10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为 k，通过 x 块玻璃以后强度为 y.(1)写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的 以下 (lg 30.477 1)13解：(1)光线经过 1 块玻璃后强度为(1 10%)k0.9k ；光线经过 2 块玻璃后强度为(110%)0.9k0.9 2k；光线经过 3 块玻璃后强度为(110%)0.9 2k0.9 3k
18、；光线经过 x 块玻璃后强度为 0.9xk.y0.9 xk(xN *)(2)由题意：0.9 xk .0.9 x .k3 13两边取以 10 为底的对数，xlg 0.9lg .13lg 0.90，x .lg13lg 0.9 10.4，x min11.lg13lg 0.9 lg 31 2lg 3通过 11 块玻璃以后，光线强度减弱到原来的 以下13Error!某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图 8 所示) 假设其关系为指数函数，并给出下列说法：此指数函数的底数为 2；在第 5 个月时，野生水葫芦的面积就会超过 30 m2；野生水葫芦从 4 m2 蔓延到 12 m2 只需 1.5 个月；设野生水葫芦蔓延到 2 m2、3 m2、6 m2 所需的时间分别为 t1、t 2、t 3，则有t1t 2t 3；野生水葫芦在第 1 到第 3 个月之间蔓延的平均速度等于在第 2 到第 4 个月之间蔓延的平均速度哪些说法是正确的？
