1、单元测评 不等式(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1若 ab0，则( )A. B0 11a 1b abC abb 2 D. ba ab解析：ab0，两边同乘以 b 得 abb 2，故选 C.答案：C2满足不等式 y2x 20 的点(x，y) 的集合( 用阴影表示)是( )A. B.C. D.解析：取测试点(0,1)可知 C，D 错；再取测试点(0，1) 可知 A 错，故选 B.答案：B3若 a，bR，则下列恒成立的不等式是( )A. B. 2|a b|2 |ab| ba abC. 2 D(ab) 4a2 b22 (a
2、 b2 ) (1a 1b)解析： 2 ，当且仅当(a b2 ) a2 b2 2ab4 a2 b2 a2 b24 a2 b22ab 时取等号， 2.a2 b22 (a b2 )答案：C4在 R 上定义运算，abab2ab，则满足 x(x 2)0 的实数 x 的取值范围为 ( )A(0,2) B(2,1)C (，2)(1 ，) D(1,2)解析：根据定义得：x(x 2)x(x 2)2x( x2) x 2x20，解得2x 1，所以实数 x 的取值范围为 (2,1) ，故选 B.来源:gkstk.Com答案：B5已知 a，b，cR ，且 abbc ca1，那么下列不等式中正确的是( )Aa 2b 2c
3、 22 B(abc) 23C. 2 Dabc( abc )1a 1b 1c 3 13解析：a 2b 22ab，b 2c 22bc ，c 2a 22ac，三式相加可知2(a2 b2c 2)2( bcabac) ，a 2b 2c 21.a 2 b2c 22ab2bc2ca12.( abc) 23.答案：B6若不等式 x22ax 3 3xa 2 恒成立，则 a 的取值范围为( )(13)A0a1 Ba34C 0 a Da34 34解析：由题意得x 2 2ax3xa 2 恒成立，即 x2(3 2a)x a 20 恒成立所以 (3 2a) 24a 20，解得 a ，故选 B.34答案：B7已知变量 x，
4、y 满足 Error!目标函数是 z2xy，则有( )Az max5，z min3B zmax5，z 无最小值C zmin3，z 无最大值Dz 既无最大值，也无最小值解析：可行域为：如图所示：z 在 A 点取得最小值，z min3，z 在 B 点取得最大值，z max5.答案：A8若关于 x 的方程 9x(4a)3 x40 有解，则实数 a 的取值范围是( )A( ，8 0， ) B(，4C (，4 D(，8解析：分离变量：(4a)3 x 4，得 a8.故选 D.43x答案：D9设奇函数 f(x)在(0 ，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式0 的解集为 ( )fx f xxA( 1,0)(
5、1， )B (，1)(0,1)C (，1)(1 ，)D( 1,0)(0,1) 来源:gkstk.Com解析： 0.fx f xx 2fxx(1)当 x0 时，f( x)0，又f(x) 在(0 ，)上为增函数，f(1)0，0x1.(2)当 x0 时，f( x)0，f(x)在(，0)上也为增函数，f(1)0，1x 0.答案：D10已知 a，b，cR ，abc 0，abc0，T ，则( )1a 1b 1cAT0 BT0C T0 DT0解析：方法一：取特殊值，a2，bc1，则 T 0，排除 A，C，D，可知选 B.32方法二：由 abc 0，abc 0，知三数中一正两负，不妨设a0，b0，c 0，则
6、T .1a 1b 1c ab bc caabc ab cb aabc ab c2abcab0，c 20，abc0，故 T0，应选 B.答案：B第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11函数 y 的定义域是_16 x x2解析：要使函数有意义，只需 6xx 20 ，即 x2x60.124 250， 方程 x2x60 有两个不相等的实数根分别为3, 2.不等式 x2x 60 的解为3x2，函数的定义域为x|3x2答案：x |3x212若 x yz1，则 ， ， ， 从大到小依次排列为xyz xy yz zx_解析：取特殊值法，由 xy z 1，可
7、取 x4， y3，z2，分别代入得 2 ， 2 ， ， 2 .xyz 6 xy 3 yz 6 zx 2故 .xyz xy xz yz答案： xyz xy xz yz13已知不等式(xy) 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数(1x ay)a 的最小值为_解析：(xy) 1 a1a2 ( 1)(1x ay) axy yx a a2，( 1) 29， a4.a答案：4来源:GKSTK.Com14若正数 x，y 满足 2xy30，则 的最小值为x 2yxy_解析：由题意：2xy30 1，2x3 y3 2 3，x 2yxy 2x 1y (2x 1y)(2x3 y3) 23(yx xy) 53 2
8、3 53当且仅当 xy 1 时取得最小值 来源:gkstk.Com答案：3三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分15(12 分) 已知 a，b 是不相等的两个正数，求证：(ab)(a 3b 3)(a 2 b2)2.证明：(ab)(a 3b 3)(a 2b 2)2(a 4 ab3ba 3b 4)( a42a 2b2b 4)ab(ab) 2，(6 分)a，bR 且 ab，ab0，(ab) 20，ab(ab) 20.(a b)(a3b 3)( a2b 2)2.(12 分)16(12 分) 已知函数 f(x)3x 2a(6a) xc.(1)当 c19 时，解关于 a 的不等式 f(1)0.(2
9、)若关于 x 的不等式 f(x)0 的解集是(1,3)，求实数 a，c 的值解：(1) 由已知有： f(1)3a(6a)190，即 a26a160，解得：2a8.所以不等式的解集为：(2,8)(6 分)(2)由关于 x 的不等式 f(x)0 的解集是 (1,3) 可知：1，3 是关于 x的方程 3x2 a(6a)xc 0 的两个根，则有Error!解得：a3 ，c 9.(12 分)317(12 分) 已知 ， 是方程 x2ax2b0 的两根，且 0,1，1,2 ，a ，bR，求 的最大值和最小值 来源:学优 GKSTKb 3a 1解：Error!Error!01,12， 1 3,02.Erro
10、r!(4 分)建立平面直角坐标系 aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图所示令 k ，可以看成动点 P(a，b)与定点 A(1,3)的连线的斜率b 3a 1取 B(1,0)，C(3,1)，则 kAB ，k AC .32 12 .12 b 3a 1 32故 的最大值是 ，最小值是 .(12 分)b 3a 1 32 1218(14 分) 某投资公司计划投资 A，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y1 与投资金额 x 的函数关系为 y118 ，B 产180x 10品的利润 y2 与投资金额 x 的函数关系为 y2 ，(注：利润与投资金额单位：x5万元)(1)该公司已有 100
11、万元资金，并全部投入 A，B 两种产品中，其中 x万元资金投入 A 产品，试把 A，B 两种产品利润总和表示为 x 的函数，并写出定义域；(2)试问：怎样分配这 100 万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解：(1) 其中 x 万元资金投入 A 产品，则剩余的 100x( 万元)资金投入B 产品，利润总和f(x)18 180x 10 100 x538 (x0,100)(6 分)x5 180x 10(2)f(x)40 ，x0,100，(x 105 180x 10)由基本不等式得：f(x)402 28，取等号当且仅当 时，即 x20.(1236x 105 180x 10分)答：分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为 28 万元(14 分)
