1、第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理11.1 正弦定理(一)课时目标1熟记正弦定理的内容；2能够初步运用正弦定理解斜三角形1在ABC 中，AB C ， .A2 B2 C2 22在 RtABC 中，C ，则 sin_A， sin _B.2 ac bc3一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形4正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 asin A bsin B，这个比值是 三角形外接圆的直径 2R.csin C一、选择题1在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，若 A
2、BC 123，则abc 等于( )A123 B234C345 D1 23答案 D2若ABC 中，a4，A45，B60，则边 b 的值为( )A. 1 B2 13 3C2 D226 3答案 C解析 由正弦定理 ，asin A bsin B得 ，b2 .4sin 45 bsin 60 63在ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2C，则ABC 为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形答案 A解析 sin 2Asin 2Bsin 2C(2 R)2sin2A(2 R)2sin2B(2R) 2sin2C，即 a2b 2c 2，由勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形4在AB
3、C 中，若 sin Asin B，则角 A 与角 B 的大小关系为 ( )AA B BAsin B2Rsin A2Rsin BabA B.5在ABC 中，A60，a ，b ，则 B 等于( )3 2A45或 135 B60C45 D135答案 C解析 由 得 sin Basin A bsin B bsin Aa .2sin 603 22ab，A B，Bbsin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ，故 B60 或 120.bsin Aa 6sin 3023 32当 B60时，C90 ，c 4 ；a2 b2 3当 B120时，C30 ，c a2 .3所以 B60 ，C90 ，c 4
4、或 B120，C 30，c2 .3 3能力提升13在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 若 a ，b2，sin Bcos 2B ，则角 A 的大小为_ 2答案 6解析 sin Bcos B sin( B) .24 2sin( B)1.4又 0bA 为直角或钝角 无解 一解( 锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1熟记正弦定理的有关变形公式；2能够运用正弦定理进行简单的推理与证明1正弦定理： 2R 的常见变形：asin A bsin B csin C(1)sin Asin Bsin Cabc；(2) 2R；asin A bsin B csin C a b csin A
5、sin B sin C(3)a2Rsin _A， b2Rsin_B，c2Rsin _C；(4)sin A ，sin B ，sin C .a2R b2R c2R2三角形面积公式：S absin C bcsin A casin B.12 12 12一、选择题1在ABC 中，sin Asin B，则ABC 是( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案 D2在ABC 中，若 ，则ABC 是( )acos A bcos B ccos CA直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知： ，sin Acos A sin Bcos B sin Ccos
6、Ctan Atan Btan C，A BC .3在ABC 中，sin A ，a10，则边长 c 的取值范围是 ( )34A. B(10 ，)(152， )C(0,10) D.(0，403答案 D解析 ， c sin C.csin C asin A 403 40300)，b c4 c a5 a b6则Error! ，解得Error! .sin Asin Bsin Cabc753.6已知三角形面积为 ，外接圆面积为 ，则这个三角形的三边之积为( )14A1 B2C. D412答案 A解析 设三角形外接圆半径为 R，则由 R2，得 R1，由 S absin C ，abc 1.12 abc4R abc
7、4 14二、填空题7在ABC 中，已知 a3 ，cos C ，S ABC 4 ，则 b_.213 3答案 2 3解析 cos C ，sin C ，13 223 absin C4 ，b2 .12 3 38在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A60，a ，b1，3则 c_.答案 2解析 由正弦定理 ，得 ，asin A bsin B 3sin 60 1sin Bsin B ，故 B30或 150.由 ab，12得 AB，B30，故 C90，由勾股定理得 c2.9在单位圆上有三点 A，B，C ，设ABC 三边长分别为 a，b，c，则 asin A b2sin B_.2cs
8、in C答案 7解析 ABC 的外接圆直径为 2R2， 2R 2，asin A bsin B csin C 2147.asin A b2sin B 2csin C10在ABC 中，A60，a6 ，b12，S ABC 18 ，则3 3_，c_.a b csin A sin B sin C答案 12 6解析 12.a b csin A sin B sin C asin A 6332S ABC absin C 6 12sin C18 ，12 12 3 3sin C ， 12，c6.12 csin C asin A三、解答题11在ABC 中，求证： .a ccos Bb ccos A sin Bsin
9、 A证明 因为在ABC 中， 2R，asin A bsin B csin C所以左边2Rsin A 2Rsin Ccos B2Rsin B 2Rsin Ccos A 右边sinB C sin Ccos BsinA C sin Ccos A sin Bcos Csin Acos C sin Bsin A所以等式成立，即 .a ccos Bb ccos A sin Bsin A12在ABC 中，已知 a2tan Bb 2tan A，试判断ABC 的形状解 设三角形外接圆半径为 R，则 a2tan Bb 2tan A a2sin Bcos B b2sin Acos A 4R2sin2 Asin Bc
10、os B 4R2sin2 Bsin Acos Asin Acos A sin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B 或 2A2BAB 或 A B .2ABC 为等腰三角形或直角三角形能力提升13在ABC 中，B60，最大边与最小边之比为( 1)2，则最大角为( )3A45 B60 C75 D90答案 C解析 设 C 为最大角，则 A 为最小角，则 AC120， sin Csin A sin(120 A)sin Asin 120 cos A cos 120sin Asin A ，32tan A 12 3 12 32 12tan A1，A45 ，C75.14在ABC 中，a，b，c 分别是
11、三个内角 A，B，C 的对边，若 a2，C ，4cos ，求ABC 的面积 S.B2 255解 cos B 2cos 2 1 ，B2 35故 B 为锐角，sin B .45所以 sin Asin(BC)sin .(34 B) 7210由正弦定理得 c ，asin Csin A 107所以 SABC acsin B 2 .12 12 107 45 871在ABC 中，有以下结论：(1)ABC ；(2)sin(AB )sin C，cos(AB)cos C；(3) ；A B2 C2 2(4)sin cos ，cos sin ，tan .A B2 C2 A B2 C2 A B2 1tan C22借助正
12、弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明11.2 余弦定理(一)课时目标1熟记余弦定理及其推论；2能够初步运用余弦定理解斜三角形1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即 a2b 2c 22bccos_A，b 2c 2a 22ca cos_B，c 2a 2b 22abcos _C.2余弦定理的推论cos A ；cos B ；cos C .b2 c2 a22bc c2 a2 b22ca a2 b2 c22ab3在ABC 中：(1)若 a2b 2c 20，则 C90 ；(2)若 c2a 2b 2ab，则 C
13、60 ；(3)若 c2a 2b 2 ab，则 C135.2一、选择题1在ABC 中，已知 a1，b2，C60，则 c 等于( )A. B33C. D55答案 A2在ABC 中，a7，b4 ，c ，则ABC 的最小角为( )3 13A. B.3 6C. D.4 12答案 B解析 abc，C 为最小角，由余弦定理 cos Ca2 b2 c22ab . C .72 432 1322743 32 63在ABC 中，已知 a2，则 bcos Cccos B 等于( )A1 B. C2 D42答案 C解析 bcos Cccos Bb c a2.a2 b2 c22ab c2 a2 b22ac 2a22a4在
14、ABC 中，已知 b2ac 且 c2a，则 cos B 等于( )A. B. C. D.14 34 24 23答案 B解析 b 2ac，c 2a，b 22a 2，b a，2cos B .a2 c2 b22ac a2 4a2 2a22a2a 345在ABC 中，sin 2 (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对应边)，则ABC 的形A2 c b2c状为( )A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案 B解析 sin 2 ，A2 1 cos A2 c b2ccos A a 2b 2c 2，符合勾股定理bc b2 c2 a22bc故ABC 为直角三角形6在ABC 中，已知面积 S
15、(a2b 2c 2)，则角 C 的度数为( )14A135 B45 C60 D120答案 B解析 S (a2b 2c 2) absin C，14 12a 2b 2c 22absin C，c 2a 2b 22absin C.由余弦定理得：c 2a 2b 22abcos C，sin Ccos C，C45 .二、填空题7在ABC 中，若 a2b 2c 2bc，则 A_.答案 1208ABC 中，已知 a2，b4，C60，则 A_.答案 30解析 c 2a 2b 22abcos C2 24 2224cos 6012c2 .3由正弦定理： 得 sin A .asin A csin C 12a0，b0)，
16、则最大角为_a2 ab b2答案 120解析 易知： a， b，设最大角为 ，a2 ab b2 a2 ab b2则 cos ，a2 b2 a2 ab b222ab 12120.10在ABC 中，BC1，B ，当ABC 的面积等于 时，tan C_.3 3答案 2 3解析 S ABC acsin B ， c4.由余弦定理得，b 2 a2c 22accos B13，12 3cos C ，sin C ，a2 b2 c22ab 113 1213tan C 2 .12 3三、解答题11在ABC 中，已知 CB7，AC 8，AB9，试求 AC 边上的中线长解 由条件知：cos A ，设中线长为 x，由余弦
17、定AB2 AC2 BC22ABAC 92 82 72298 23理知：x 2 2AB 22 ABcos A4 29 2249 49(AC2) AC2 23x7.所以，所求中线长为 7.12在ABC 中，BCa，AC b，且 a，b 是方程 x22 x20 的两根，32cos(A B)1.(1)求角 C 的度数；(2)求 AB 的长；(3)求ABC 的面积解 (1)cos Ccos(AB)cos(AB ) ，12又C(0 ，180) ，C 120.(2)a，b 是方程 x22 x20 的两根，3Error!AB 2b 2a 22abcos 120(ab) 2ab10，AB .10(3)SABC absin C .12 32能力提升13(2010潍坊一模)在ABC 中，AB2，AC ，BC1 ，AD 为边 BC 上的高，6 3则 AD 的长是_答案 3解析 cos C ，BC2 AC2 AB22BCAC 22sin C .22ADACsin C .3
