1、2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法东莞市石龙中学 全坤利一、教学内容解析 本课内容为人教 A 版普通高中数学课程标准实验教科书 A 版 数学 4 必修第 109 页，平面几何中的向量方法. 本节以平面向量的应用独立成节，目的在于加强向量的方法、体现向量的价值、强调数学应用.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具.教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量知识与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，同时要熟练掌握向量法的“三步曲”：
2、（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 二、教学问题诊断 运用向量知识解决几何问题，需要有一定的知识迁移、语言转换能力，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难.在思维层面上，学生往往没有想到平面几何与向量之间密切联系，或是不善于将几何实际问题转化为向量问题来解决.三、教学对策分析 本节课是例题教学课，通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能
3、力和分析与解决问题的能力.四、重点难点教学重点：用向量方法（基底法和坐标法）解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点：如何将几何问题化归为向量问题. 五、教学过程设计 （一）复习引入问题 1：想一想：向量可以解决哪些常见的几何问题？(1) 解决有关夹角、长度等的计算或度量问题。(2) 解决直线平行、垂直、三点共线、 三线共点等位置关系。几何元素及其表示 向量及其运算A BCD点 A OA线段 AB ，AB 两点距离 ， =|B2|夹角AOB |cosB直线 ab ，ba/A、B、C 三点共线 AC直线 ，0（二）探究新知探究：推断线段长度关系例 1：平行四边形是表示向
4、量加法与减法的几何模型.如图， ， ，你能发现平行ABCADB四边形 ABCD 对角线的长度与两邻边长度之间的关系吗？ 猜想：问题 2：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 问题 3：把这个结论： 从矩形推广到平行四边形，这个结论还)(222ADC成立吗？ D CBA点评：通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低例 1 的思维难度，体验特殊到一般的数学思想.问题4：题中的几何问题可转化为向量问题吗？)(222ADBACABCDBC小结向量方法（基底法）解决几何的步骤：（1）选择两个不共线的向量作为基底（2）用基底表示相关向量 （3）把几何问题转化为只含有基底向量的
5、运算 （4）把向量关系翻译成几何关系 为了便于记忆，我们把这种方法称为基底法. 问题 5：还可以选择其它基底吗？向量可以用坐标运算吗？小结向量方法（坐标法）解决几何的步骤：建立适当的坐标系用坐标表示向量把几何问题转化为向量的坐标运算把向量关系翻译成几何关系 为了便于记忆，我们把这种方法称为坐标法. （三）理解新知问题 6：通过以上问题的解决，我们总结一下运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题
6、；(3)把运算结果“翻译”成几何关系师生共同简述：形到向量（转化） 向量的运算（运算） 向量和数到形（翻译） （四）运用新知探究（二）：三点共线问题例 2：在平行四边形 ABCD 中，已知 ，求证：A 、E 、F 三点共线. DBFDE41 ,3CyD(x0,y0)xO(A) B(b,0)jiFED CBA分析：第一步：转化 AFE/第二步：运算（平形四边形习惯用基底法）第三步：翻译小结规律方法：用基底法判定 A，B，C 三点共线的步骤：(1)证其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线(2)说明两向量有公共点(3)下结论，即 A，B，C 三点共线例 2 变式 1：如图，已知 ，且 ，设009
7、,45OAC2,1OACOB. 若 ，求实数 的值.kOD三 点 共 线、 Dk分析：第一步：转化 ADB/第二步：运算第三步：翻译问题 7：用基底法还是用坐标法证明方便呢？学生分组讨论交流，展示学生证明过程，教师点评.本题用向量几何运算（基底法）和代数证明（坐标法）均可，但同时，指出对平行四边形的问题，习惯用基底法，如果题目存在垂直的两个向量时，习惯用坐标法，学生可从中体会，培养学生思维的灵活性，培养学生的常规解法. 例 2 变式 2：如图，在 中， 是 上一点， .过点 的直线分OABDOB32A1DD别与直线 交于异于 的 两点，且 ，求证：、FE、 yFxE,为定值.yx1O ABCO
8、A BFDECxyDO(k,-k)A(2,0)C(1,-1)4590分析：第一步：转化 三点 E、D、F 共线 EF/第二步：运算（基底法）第三步：翻译点评：由于此题没有出现明显的三点共线，所以学生要把过点 的直线分别与直线D交于异于 的 两点转化三点 E、D 、F 共线，培养学生的迁移能力. OBA、 、 FE、（五）课堂小结问题 8：通过本节课的学习，你主要有哪些收获？ 师生交流共同完成. 帮助学生总结知识，归纳方法.同时教会学生如何开展研究性学习本节主要研究了用向量方法解决平面几何问题. 1向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是：几何问题向量化；向量运算代数化；向量结果几何化. 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形2运用向量法的过程中，可分为基底法和坐标法，而向量能够用坐标表示的，优先选择建立直角坐标系，通过坐标表示，转化成代数运算. 3用向量方法解决平面几何问题的优点：向量能够运算，因此在解决某些问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，从而降低了思考问题的难度.它能比较轻松地解决平面几何中的距离（线段长度） 、夹角、平行、垂直以及三点共线等问题. （六）作业布置1、教材 P113 习题 2.5 A 组 1、2 2、预习教材 P111-112，思考下列问题（1）怎么样把物理问题转化为数学问题？（2）如何用数学模型解释相应的物理现象？
