1、第 9 课时 空间几何中的平行和垂直的综合应用1.综合应用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理解决空间几何中的平行与垂直问题 .2.培养学生的空间识图能力和空间想象能力,会根据题意构造辅助线将问题进行转化,提高学生的逻辑推理能力和计算能力 .重点: 线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理的综合应用 .难点:构造辅助线将问题分解 .通过前面几节课的学习,我们认识了空间中的点、线、面的位置关系,学习了空间几何中的线面平行和垂直的判定定理和性质定理、面面平行和垂直的判定定理和性质定理,了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,并能进行一些简单的线面角和二面角的计算,这节课我们将探究空间中平行和
2、垂直的综合性问题,提高空间几何的想象能力和解决综合性问题的方法技巧 .问题 1:平行综合问题的转化方法和技巧(1)利用线面平行的判定定理可以把线面平行问题转化为 线线平行 问题,利用面面平行的判定定理可以把面面平行问题转化为 线面平行 问题; (2)利用线面平行的性质定理可以利用线面平行推导 线线平行 ,利用面面平行的性质定理可以利用面面平行推导 线面平行 ; (3)线线平行是把立体几何中的平行问题转化为平面几何中的平行问题的中转站,在平面几何中证明线线平行的常用方法有: 定义法(即平面中没有公共点的两条直线是平行线) 、 三角形中位线定理 、 三角形分线段成比例定理 、 特殊四边形的性质 .
3、 问题 2:垂直综合问题的转化方法和技巧(1)利用线面垂直的判定定理可以把线面垂直问题转化为 线线垂直 问题,利用面面垂直的判定定理可以把面面垂直问题转化为 线面垂直 问题; (2)利用线面垂直的性质定理可以利用线面垂直推导 线线垂直 ,利用面面垂直的性质定理可以利用面面垂直推导 线面垂直 ; (3)线线垂直是把立体几何中的垂直问题转化为平面几何中的垂直问题的中转站,在平面几何中证明线线垂直的常用方法有: 勾股定理 、 等腰三角形三线合一定理 、 特殊四边形的性质 . 问题 3:平行问题与垂直问题的相互转化(1)垂直同一平面的两条直线平行,即 a ,b a b ; (2)与平面的垂线平行的直线
4、也垂直这个平面,即 a ,a bb ; (3)垂直同一直线的两个平面平行,即 a ,a ; (4)与平面的垂线平行的平面也垂直这个平面,即 a ,a ; (5) 与平面的垂直平面平行的平面也垂直这个平面,即 a , a . 问题 4:垂直问题与平行问题的常见错误命题归类(1)垂直同一平面的两个平面平行,即 , ; (2)垂直同一平面的两个平面垂直,即 , ; (3)平行同一直线的两个平面平行,即 a ,a ; (4)平行同一平面的两个直线平行,即 a ,b b . 人们引进平面的法线(即与平面垂直的直线 )来描述平面的方向,于是空间中的平行问题和垂直问题归根结底是方向问题,在平面几何中我们通常
5、用平面向量探究平面中的方向问题,所以在立体几何中我们引进空间向量,利用空间向量研究立体中平行问题和垂直问题,比较简洁明了,尤其是在处理立体几何中的角度计算、距离计算更能体现向量法的优越性,同学们,是不是很向往向量法呢?我们在选修 2 系列课程中将会接触到空间向量,到时一起体会吧 .1.如果一条直线 l 与平面 的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面 的位置关系是( ).A.l B.l C.l D.l 或 l 【解析】 通过画图分析可得 .【答案】D2.已知 a,b,c 是直线, , 是平面,下列条件中,能得出直线 a平面 的是( ).A.a c,a b,其中 b ,cB.a b,b C. ,a
6、D.a b,b 【解析】 A 中没强调 a,b 是相交直线,C、D 明显错误,B 正确.【答案】B3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是 . 【解析】 通过画图分析可得,每个面都有一条面对角线与该对角线垂直,所以有 6 条 .【答案】64.已知直线 l平面 ,垂足为 A,直线 AP l.求证: AP 在 内 .【解析】 假设 AP 与 l 确定的平面为 ,如果 AP 不在 内,则可设 与 相交于直线 AM,l ,l AM,又 AP l, 在平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直, 假设错误,AP 一定在 内 .棱柱中的平行问题与垂直问题已知,正方体 ABC
7、D-A1B1C1D1,E,M,F 分别是 AD,CD,CC1 的中点,求证:( 1)EM平面 BFD1;(2)A1E平面 ABF.【方法指导】正方体模型中,要善于利用正方体具有的各种性质,把问题进行转化 .【解析】 (1) 连接 AC、 BD 交于点 O,取 BD1中点为 O,连接 OF、 OO,因为 E,M 分别是 AD,CD 的中点,所以 EM AC,又因为 OO DD1 CC1,且 OO=DD1=CC1=CF,所以四边形 OOFC 是平行四边形,所以 OF OC,所以 EM OF 且 OF平面 BFD1,所以 EM平面 BFD1.(2)取 BC 中点为 G,连接 B1G,易得 A1E B
8、1G,在正方形 BB1C1C 中,因为 G,F 分别是 BC,CC1的中点,易证 B1G BF,所以 A1E BF,又因为 AB平面 AA1D1D,A1E平面 AA1D1D,所以 AB A1E,AB BF=B,所以 A1E平面 ABF.【小结】棱柱中具有很多平行和垂直关系,在分析的时候要考虑利用它们的性质进行逻辑推导 .正方体是特殊的棱柱,棱、对角线都具有很多特殊的性质,是历届高考的热门模型 .棱锥中的平行问题与垂直问题已知四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,AB CD,CD=2AB,AD CD,BC=PB,E 为 PD 的中点 .求证:( 1)AE平面 PBC;(2)AE平
9、面 PCD.【方法指导】在棱锥中要结合已知条件分析线面间的平行和垂直关系 .【解析】 (1)取 PC 的中点为 F,连接 EF,BF,则 EF CD,AB CD,所以 EF AB,所以四边形 AEFB 是平行四边形,所以 AE BF 且 BF平面 PBC,所以 AE平面 PBC.(2)因为 BC=PB,F 是 PC 的中点,所以 BF PC 且 AE BF,所以 AE PC,侧面 PAD底面 ABCD 且 AD CD,所以 CD平面 PAD 且 AE平面 PAD,所以 AE CD 且 CD PC=C,所以 AE平面 PCD.【小结】棱锥由于各个侧面都是三角形,所以将三角形的性质与平行问题和垂直
10、问题结合也是考试热点问题,图形简单,内容丰富 .其他几何体中的平行问题与垂直问题如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, EF AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证: AF平面 BDE;(2)求证: CF平面 BDE.【方法指导】本题突破点在 EF AC,由线线平行达到线面平行,其次底面是正方形,其对角线互相垂直,从而破解了线面垂直问题 .【解析】(1)设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EF AG,且 EF=1,AG=AC=1,所以四边形 AGEF 为平行四边形,所以 AF EG.因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE,所以 AF平面 BDE.(2)连接 FG
11、.因为 EF CG,EF=CG=1,且 CE=1,所以四边形 CEFG 为菱形,所以 CF EG.因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD AC,又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面 ACEF平面 ABCD=AC,所以 BD平面 ACEF,所以 CF BD,又 BD EG=G,所以 CF平面 BDE.【小结】从一般几何体的图形入手,常采用切割法或者是补形法转化为柱体或椎体中的平行和垂直问题 .如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,点 D 在 BC 上, AD C1D.(1)求证: AD面 BCC1B1;(2)如果 AB=AC,点 E 是 B1C1 的中点,求证: A
12、1E平面 ADC1.【解析】(1)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,CC1平面 ABC.AD 平面 ABC,CC 1 AD.AD C1D,C1D平面 BCC1B1,CC1 C1D=C1,AD 面 BCC1B1.(2)连接 ED.AD 平面 BCC1B1,BC平面 BCC1B1,AD BC.AB=AC ,D 是 BC 的中点 .E 是 B1C1的中点, B1C1 BC,B1C1=BC,B 1E=BD,B1E BD. 四边形 BDEB1为平行四边形,B 1B=ED,B1B ED.B 1B=A1A,B1B A1A,ED A1A,ED=A1A. 四边形 ADEA1为平行四边形, A 1E AD.A 1
13、E平面 ADC1,AD平面 ADC1,A 1E平面 ADC1.如图,四边形 ABCD 为矩形, AD平面 ABE,EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF平面 ACE.(1)求证: AE平面 BCE;(2)求证: AE平面 BFD.【解析】(1) AD 平面 ABE,AD BC,BC 平面 ABE,则 AE BC.又 BF 平面 ACE,则 AE BF,AE 平面 BCE.(2)设 AC BD=G,可知 G 是 AC 中点 .BF 平面 ACE,则 CE BF.而 BC=BE,F 是 EC 中点 .连接 GF,在 AEC 中, FG AE,又 AE 平面 BFD,FG平面 BFD,AE 平面
14、 BFD.如图,四边形 ABCD 是圆柱的一个轴截面, E 是下底面圆上除去 A,B 以外的一点, AF CE,垂足为 F.求证:( 1)AF平面 BCE;(2)若 BC DF,AB=4,求棱柱的体积 .【解析】 (1)因为 AB 是直径,所以 AE BE,又 AC底面 ABE,所以 AC BE 且 AF AE=A,所以 BE平面 ACE,AF平面 ACE,所以 AF BE,又 AF CE,CE BE=E,所以 AF平面 BCE.(2)由(1)知 AF平面 BCE,BC平面 BCE,所以 AF BC,若 BC DF,则显然有 BC平面 ADF,于是 BC AD 且轴截面 ABCD 是一个矩形,
15、所以四边形 ABCD 是正方形,即 AC=AB=4,所以 V 圆柱 = 224=16 .1.已知 m 是平面 的一条斜线,点 A ,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出现的是( ).A.l m,l B.l m,l C.l m,l D.l m,l 【解析】 对于 A,由 l m,l ,则 m ,与已知矛盾;对于 B,由 l m,l ,可知 m 或 m ,与已知矛盾;对于 D,由 l m,l 可知 m 或 m ,与已知矛盾 .由此排除 A,B,D,故选 C.【答案】C2.已知如图,六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形, PA平面 ABC.则下列结论不正确的是( ).A.CD平面
16、PAFB.DF平面 PAFC.CF平面 PABD.CF平面 PAD【解析】 A 中, CD AF,AF面 PAF,CD面 PAF,CD 平面 PAF 成立;B 中, ABCDEF 为正六边形,DF AF.又 PA 面 ABCDEF,DF 平面 PAF 成立;C 中, CF AB,AB平面 PAB,CF平面 PAB,CF 平面 PAB;而 D 中 CF 与 AD 不垂直,故选 D.【答案】D3.若 l 为一条直线, , , 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: , ; , ;l ,l . 其中正确的命题有 . 【解析】 对于 , 与 可能平行、相交或垂直,故 错; 正确 .【答案】 4.如图
17、,四边形 ABCD 为矩形, PA平面 ABCD,M、 N 分别为 AB、 PC 的中点 .(1)证明: AB MN;(2)若 PA=AD,连接 AC,取 AC 的中点 O,证明:平面 MNO平面 PDC.【解析】(1)因为 N 为 PC 的中点,所以 ON PA. 而 PA平面 ABCD,所以 ON平面 ABCD,所以 ON AB.又四边形 ABCD 为矩形, M 为 AB 的中点,所以 OM AB,所以 AB平面 OMN,所以 AB MN.(2)因为 PA平面 ABCD,AD DC,所以 PD DC.因为 PA=AD=BC,连接 MC,由 Rt BCMRt APM 知, MC=MP,所以
18、MN PC.因为 AB MN,所以 MN CD,又 PC CD=C,所以 MN平面 PCD,所以平面 MNO平面 PCD.(2013 年江苏卷)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB平面 SBC,AB BC,AS=AB,过 A 作 AF SB,垂足为 F,点E,G 分别是棱 SA,SC 的中点 .求证:( 1)平面 EFG平面 ABC;(2)BC SA.【解析】(1)因为 AS=AB,AF SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点 .又因为 E 是 SA 的中点,所以 EF AB.因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.同理 EG平面 ABC.又 EF EG=E,所以平面 EFG平面 ABC.(2)因为平面 SAB平面 SBC,且交线为 SB,又 AF平面 SAB,AF SB,所以 AF平面 SBC.因为 BC平面 SBC,所以 AF BC.又因为 AB BC,AF AB=A,AF,AB平面 SAB,所以 BC平面 SAB.因为 SA平面 SAB,所以 BC SA.
