1、1.2 应用举例(一)课时目标1了解数学建模的思想；2利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题1基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线越长，测量的精确度越高2方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角如图中的A 点的方位角为 .3计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一一、选择题1若点 P 在点 Q 的北偏西 4510方向上，则点 Q 在点 P 的( )A南偏西 4510 B南偏西 4450C南偏东 4510 D南偏东 4450答案 C2已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km，灯塔
2、A 在观测站 C 的北偏东 20方向上，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )Aa km B. a km3C. a km D2a km2答案 B解析 ACB120，ACBCa，由余弦定理得 AB a.33海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B、C 间的距离是( )A10 n mile B. n mile31063C5 n mile D5 n mile2 6答案 D解析 在ABC 中，C18060 7545.由正弦定理得： BCsin A A
3、Bsin B BCsin 60 10sin 45解得 BC5 .64如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB 105 后，就可以计算 A、B 两点的距离为( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m22522答案 A解析 由题意知ABC30，由正弦定理 ，ACsinABC ABsinACBAB 50 (m)ACsinACBsinABC502212 25如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15，与灯塔 S 相距 20 海里，随后货轮按北偏西 30的方向航行 3
4、0 分钟后到达 N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A20( ) 海里/小时6 2B20( ) 海里/小时6 2C20( ) 海里/小时6 3D20( ) 海里/小时6 3答案 B解析 由题意，SMN45， SNM105，NSM30.由正弦定理得 .MNsin 30 MSsin 105MN 10( )MSsin 30sin 105 106 24 6 2则 v 货 20( ) 海里/小时6 26甲船在岛 B 的正南 A 处，AB10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们
5、所航行的时间是( )A. 分钟 B. 小时1507 157C21.5 分钟 D2.15 分钟答案 A解析 设行驶 x 小时后甲到点 C，乙到点 D，两船相距 y km，则DBC18060 120.y 2(10 4x) 2(6 x)22(104x)6xcos 12028x 220x10028(x 2 x) 10028 2 10057 (x 514) 257当 x (小时) (分钟)时，514 1507y2 有最小值y 最小二、填空题7如图，A、B 两点间的距离为_答案 3 2 28如图，A、N 两点之间的距离为 _答案 40 39如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A、B，望对岸标记物
6、 C，测得CAB30 ，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_答案 60 m解析 在ABC 中，CAB30 ，CBA 75，ACB75.ACBABC.AC AB120 m.作 CDAB ，垂足为 D，则 CD 即为河的宽度由正弦定理得 ，ACsinADC CDsinCAD ，120sin 90 CDsin 30CD60(m)河的宽度为 60 m.10太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 15的方向上，汽车行驶 1 km 后，又测得小岛在南偏西 75的方向上，则小岛到公路的距离是_ km.答案 36解析 如图，CAB15，CBA18075105 ，ACB
7、18010515 60，AB1 km.由正弦定理得BCsinCAB ABsinACBBC sin 15 (km)1sin 60 6 223设 C 到直线 AB 的距离为 d，则 dBCsin 75 (km)6 223 6 24 36三、解答题11如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75，距离为 12 n mile，在 A 处6看灯塔 C 在货轮的北偏西 30，距离为 8 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再3看灯塔 B 在北偏东 120方向上，求：(1)A 处与 D 处的距离；(2)灯塔 C 与 D 处的距离解 (1)在ABD 中，ADB60 ，B45，由正弦定
8、理得 AD ABsin Bsin ADB24(n mile) 1262232(2)在ADC 中，由余弦定理得CD2AD 2AC 22ADACcos 30 ，解得 CD8 14(n mile) 3即 A 处与 D 处的距离为 24 n mile，灯塔 C 与 D 处的距离约为 14 n mile.12如图，为测量河对岸 A、B 两点的距离，在河的这边测出 CD 的长为km， ADB CDB30 ，ACD60 ，ACB 45，求 A、B 两点间的距离32解 在BDC 中，CBD18030 10545，由正弦定理得 ，BCsin 30 CDsin 45则 BC (km)CDsin 30sin 45
9、64在ACD 中，CAD18060 6060，ACD 为正三角形AC CD (km)32在ABC 中，由余弦定理得AB2AC 2BC 22AC BCcos 45 2 ，34 616 32 64 22 38AB (km)64答 河对岸 A、B 两点间距离为 km.64能力提升13台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A0.5 小时 B1 小时C1.5 小时 D2 小时答案 B解析 设 t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t)240 22
10、20t40cos 4530 2.化简得：4t 28 t70，2t 1t 22 ，t 1t2 .274从而|t 1 t2| 1.t1 t22 4t1t214如图所示，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速2直线航行当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1 处，此时两船相距20 海里当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2 处，此时两船相距 10 海里问乙船每小时航行多少海里？2解 如图所示，连结 A1B2，由已知 A2B210 ，2A1A230 10 ，A 1A2A 2B2，22060 2又A 1A2B2
11、18012060，A 1A2B2 是等边三角形 ，A 1B2A 1A210 .2由已知，A 1B120，B 1A1B2105 6045，在A 1B2B1 中，由余弦定理，B1B A 1B A 1B 2A 1B1A1B2cos 452 21 220 2(10 )222010 2 222200.B 1B210 .2因此，乙船速度的大小为6030 (海里/小时)10220 2答 乙船每小时航行 30 海里21解三角形应用问题的基本思路是：实际问题 数学问题 数学问题的解 实际问题的解 画 图 解 三 角 形 检 验 2测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度
