1、2.4 平面向量的数量积24.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律1平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_ 叫做 a 与 b 的数量积( 或内积)，记作 ab，即 ab| a|b|cos ，其中 是 a 与 b 的夹角(2)规定：零向量与任一向量的数量积为_(3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 ，则向量 a 在 b 方向的投影是_，向量 b 在 a 方向上的投影是_2数量积的几何意义ab 的几何意义是数量积 ab
2、等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影_的乘积3向量数量积的运算律(1)ab_( 交换律)；(2)(a)b_(结合律)；(3)(ab )c_(分配律)一、选择题1|a| 2，|b| 4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( )A3 B2 C2 D12已知 a b，|a| 2，|b|3 ，且 3a2b 与 ab 垂直，则 等于( )A. B C D132 32 323已知向量 a，b 满足 ab 0，|a|1，| b|2，则|2ab |等于( )A0 B2 C4 D824在边长为 1 的等边ABC 中，设 a， b， c，则 abbc
3、 ca 等于( )BC CA AB A B0 C. D332 325若非零向量 a，b 满足|a| |b|，(2ab)b0，则 a 与 b 的夹角为( )A30 B60 C120 D1506若向量 a 与 b 的夹角为 60，| b|4，(a2b)(a3b)72，则向量 a 的模为( )A2 B4 C6 D12题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且| a|b| 4，那么 b(2ab) 的值为_8给出下列结论：若 a0，ab0，则 b0；若 abbc，则 ac；( ab)ca(bc) ；ab(ac)c(ab) 0.其中正确结论的序号是_9设非零
4、向量 a、b、c 满足| a|b| |c|，abc ，则 a，b_.10已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b(ab)0，则| b|的取值范围是_三、解答题11已知|a| 4 ，|b|3，当(1)a b；(2)a b；(3)a 与 b 的夹角为 60时，分别求 a 与 b 的数量积12已知|a| |b|5，向量 a 与 b 的夹角为 ，求|ab| ，| ab|.3能力提升13已知|a| 1 ，|b|1，a， b 的夹角为 120，计算向量 2ab 在向量 ab 方向上的投影14设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60，求向量 a2mn 与 b2n3m 的夹角1两向量 a 与
5、b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 a0，b0,090时)，也可以为负(当 a0，b0,90180时)，还可以为 0(当 a0 或 b0 或90时 )2数量积对结合律一般不成立，因为(a b)c| a|b|cosa，bc 是一个与 c 共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb 是一个与 b 共线的向量，两者一般不同3向量 b 在 a 上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于 角，注意 a 在 b 方向上的射影与 b 在 a 方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分2.4 平面向量的数量积24.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1(1)| a|b|cos
6、 (2)0 (3)| a|cos |b|cos 2|b|cos 3.(1) ba (2)(ab) a( b) (3)acbc作业设计1D a 在 b 方向上的投影是|a|cos 2cos 1201.2A (3 a 2b)(ab)3a 2(23)ab2b 23a 22b 212180. .323B |2 ab |2(2 ab) 24|a| 24a b|b| 2414048，|2ab| 2 .24A ab | | |cos 60 .同理 bc ，ca ，BC CA CB CA CB CA 12 12 12abbcca .325C 由(2ab) b0，得 2abb 20，设 a 与 b 的夹角为 ，
7、2| a|b|cos |b| 20.cos ，120.|b|22|a|b| |b|22|b|2 126C ab|a|b|cos 60 2|a|，(a2b)(a3b)|a| 26|b| 2ab|a| 22|a|9672.|a |6.70解析 b(2ab)2ab| b|2244cos 1204 20.8解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时，ab0，故不正确；当 a0，b c 时，abbc 0，但不能得出 ac ，故 不正确；向量( ab)c 与 c 共线，a(bc)与 a 共线，故不正确；正确，ab(ac)c (ab)(ab)( ac)(ac)(ab)0.9120解析 abc，|c| 2|ab|
8、 2a 22a bb 2.又|a |b| c|，2a bb 2，即 2|a|b|cosa，b| b|2.cosa，b ，12a，b120.100,1解析 b(ab)ab|b| 2| a|b|cos | b|20，|b |a|cos cos ( 为 a 与 b 的夹角)，0，0|b |1.11解 (1)当 a b 时，若 a 与 b 同向，则 a 与 b 的夹角 0 ，ab|a|b|cos 43cos 0 12.若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角为 180 ，ab|a|b|cos 18043( 1)12.(2)当 a b 时，向量 a 与 b 的夹角为 90，ab|a|b|cos 90
9、4300.(3)当 a 与 b 的夹角为 60时，ab|a|b|cos 6043 6.1212解 ab|a|b|cos 5 5 .12 252|a b| 5 .a b2 |a|2 2ab |b|225 2252 25 3|a b| 5.a b2 |a|2 2ab |b|225 2252 2513解 (2ab)(ab)2a 22a babb 22a 2a bb 221 211cos 1201 2 .12|a b| 1.a b2 a2 2ab b2 1 211cos 120 1|2 a b|cos 2ab，ab |2 ab| .2a ba b|2a b|a b| 2a ba b|a b| 12向量 2ab 在向量 ab 方向上的投影为 .1214解 |n| | m|1 且 m 与 n 夹角是 60，mn|m|n|cos 6011 .12 12|a|2mn| ，2m n2 41 1 4mn41 1 412 7|b|2n3m| 2n 3m2 41 91 12mn ，41 91 1212 7ab(2mn)(2n3m)mn6m 22n 2 6121 .12 72设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .ab|a|b| 7277 12又 0， ，故 a 与 b 的夹角为 .23 23
