1、11.2 余弦定理(二)课时目标1熟练掌握正弦定理、余弦定理；2会用正、余弦定理解三角形的有关问题1正弦定理及其变形(1) 2R.asin A bsin B csin C(2)a2Rsin _A， b2Rsin_B，c2Rsin _C.(3)sin A ，sin B ，sin C .a2R b2R c2R(4)sin Asin Bsin Cabc.2余弦定理及其推论(1)a2b 2c 22bccos _A.(2)cos A .b2 c2 a22bc(3)在ABC 中 ，c 2a 2b 2 C 为直角；c 2a2b 2C 为 钝角；c 2 b Ba0，a 2b2，a b.6如果将直角三角形的三边
2、增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形三边长为 a，b，c，且 a2b 2c 2，则(ax )2(bx )2(cx) 2a 2b 22x 22( ab)x c 22cxx 22(abc)xx 20，cx 所对的最大角变为锐角二、填空题7在ABC 中，边 a，b 的长是方程 x25x20 的两个根，C60，则边c_.答案 19解析 由题意：ab5，ab2.由余弦定理得：c 2a 2b 22abcos Ca 2b 2ab(ab) 23ab5 23219，c .198设 2a1，a,2a1 为钝角三角形的三边，那么
3、 a 的取值范围是_答案 20，a ，最大边为 2a1.12三角形为钝角三角形，a 2(2a1) 22 a1，a2，2a8.9已知ABC 的面积为 2 ，BC5，A60，则ABC 的周长是_3答案 12解析 S ABC ABACsin A12 ABACsin 602 ，12 3AB AC8， BC2AB 2AC 22AB ACcos AAB 2AC 2 ABAC(AB AC) 23ABAC ，(ABAC) 2BC 23ABAC 49，ABAC7， ABC 的周长为 12.10在ABC 中，A60，b1，S ABC ，则ABC 外接圆的面积是_3答案 133解析 S ABC bcsin A c
4、，12 34 3c4，由余弦定理：a 2b 2c 22bccos A1 24 2214cos 6013，a .132R ，asin A 1332 2393R .S 外接圆 R 2 .393 133三、解答题11在ABC 中，求证： .a2 b2c2 sinA Bsin C证明 右边 cos B cos Asin Acos B cos Asin Bsin C sin Asin C sin Bsin C 左边aca2 c2 b22ac bcb2 c2 a22bc a2 c2 b22c2 b2 c2 a22c2 a2 b2c2所以 .a2 b2c2 sinA Bsin C12.在ABC 中，a，b，
5、c 分别是角 A，B，C 的对边的长，cosB = ，53且 21.(1)求ABC 的面积；(2)若 a7，求角 C.解 （1） 21， =21.AB = | | |cosB = accosB = 21.ac=35，cosB = ， sinB = .5354SABC = acsinB = 35 = 14.21(2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b 2a 2c 22accos B32，b4 .由正弦定理： .2csin C bsin Bsin C sin B .cb 542 45 22cb 且 B 为锐角，C 一定是锐角C45.能力提升13已知ABC 中，AB 1，BC 2，则角 C 的取
6、值范围是 ( )A0 C B0C6 2C. C D. C6 2 6 3答案 A解析 方法一 (应用正弦定理 ) ， ABsin C BCsin A 1sin C 2sin Asin C sin A，0sin A1，120sin C .12ABBC，C A，C 为锐角，0C .6方法二 (应用数形结合)如图所示，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC 上的点外，都可作为 A 点从点 C 向圆 B 作切线，设切点为 A1和 A2，当 A 与 A1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时：BC2，AB1 ，ACAB ， C ，60C .614ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分
7、别为 a、b、c，已知 b2ac 且 cos B .34(1)求 的值；1tan A 1tan C（2）设 = ，求 a+c 的值.23解 (1)由 cos B ，得 sin B .34 1 (34)2 74由 b2ac 及正弦定理得 sin2 Bsin Asin C.于是 1tan A 1tan C cos Asin A cos Csin C sin Ccos A cos Csin Asin Asin C sinA Csin2 B .sin Bsin2 B 1sin B 477(2)由 = 得 cacosB = 33由 cos B ，可得 ca2，即 b22.34由余弦定理：b 2a 2c
8、22accos B，得 a2c 2b 22ac cos B5，(ac )2a 2c 22ac549，ac3.1解斜三角形的常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(至少有一边) 才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角(如 a， B，C ) 正弦定理由 A BC 180，求角A；由正弦定理求出 b 与 c.在有解时只有一解两边和夹角(如 a， b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出小边所对的角；再由 ABC180 求出另一角在有解时只有一解三边(a，b ，c ) 余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用 ABC180 ，求出角 C.在有一解时只有一解.两边和其中一边的对角如(a，b ，A)余弦定理正弦定理由正弦定理求出角 B；由ABC180 ，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实施边、角转换
