1、第 6课时 直线与平面、平面与平面垂直的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明 .2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题 .3.了解二面角及其平面角的概念 .重点:( 1)“线面垂直的判定 ”,注意与“线面平行的判定”进行比较;( 2)“面面垂直的判定”,注意与“面面平行”及“线面垂直”的判定进行比较 .难点:直线与平面垂直的判定定理的应用 .天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象 .你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直? 如果一条直线与平面内的无数条直线都
2、垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题 1:如果直线 l 与平面 内的 任意 一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 互相垂直,记作 l ,直线 l 叫作平面 的 垂线 ,平面 叫作直线 l 的 垂面 ,唯一的公共点叫作 垂足 . 问题 2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来 .一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直 .符号语言表示:若 l a,l b,a ,b , a b=A ,则 l . 平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 .符号语言表示:若 l , l ,则 . 问题 3:直线与
3、平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是 0,90 . 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 .以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是 0,180 . 问题 4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“ 线面垂直 ,则面面垂直” .使用定理时两个条件缺一不可 .该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为 线线垂直 的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面
4、与平面垂直”相互转化的数学思想 . 直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条 相交直线 垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的 .定理使用时五个条件缺一不可 .即 l a,l b,a b=O,a ,b l . 工人师傅检验工件相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠工件的一个面上,另一边在工件的另一面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,你知道其中的原因吗?1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( ).A.相等 B.互补C.
5、相等或互补 D.不确定【解析】可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系 .【答案】C2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,以下结论不正确的是( ).A.AB平面 BCC1B1B.AC平面 CDD1C1C.AC平面 BDD1B1D.A1C平面 AB1D1【解析】A 正确,因为 AB BC且 AB BB1.所以 AB平面 BCC1B1.C正确,因为 BB1平面 ABCD,所以 BB1 AC,又 AC BD,所以 AC平面 BDD1B1.D正确,因为 B1D1平面 A1ACC1,所以 B1D1 A1C.同理, AB1 A1C.所以 A1C平面 AB1D1.【答案】B3.过一个平面
6、的垂线和这个平面垂直的平面有 个 . 【解析】可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直 .【答案】无数4.已知在空间四边形 ABCD 中, AB=AC,DB=DC,点 E 为 BC 的中点,求证: BC平面 AED.【解析】 AB=AC ,DB=DC,AE BC,DE BC,AE DE=E,BC 平面 AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt ABC 所在的平面外有一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点 .(1)求证: SD平面 ABC;(2)若 AB=BC,求证: BD平面 SAC.【方法指导】(1)要证 SD平面 ABC,需在平面 ABC中找到两
7、条相交直线与之垂直,结合图形,可优先考虑直线 AC和 BD,由等腰三角形的性质易证 SD AC,然后再结合三角形全等证明 SD BD.(2)由 AB=BC易知 BD AC,从而可证 BD平面 SAC.【解析】(1) SA=SC ,D为 AC的中点,SD AC.在 Rt ABC中, AD=DC=BD, ADS BDS,SD BD.又 AC BD=D,SD 平面 ABC.(2)AB=BC ,D为 AC的中点, BD AC,由(1)可知, SD平面 ABC ,SD BD.SD AC=D,BD 平面 SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方 .同时,线面垂
8、直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用 .不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便 .面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA平面 ABCD,PD MA,E、 G、 F 分别为 MB、 PB、 PC 的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面 EFG平面 PDC.【方法指导】由线面垂直得到 BC平面 PDC,再由 GF BC,GF平面 EFG,可得所证结论 .【解析】 MA 平面 ABCD,PD MA.PD 平面 ABCD.又 BC 平面 ABCD,PD BC. 四边形 ABCD为正方形, BC
9、DC,又 PD DC=D,BC 平面 PDC.在 PBC中, G、 F分别为 PB、 PC的中点,GF BC,GF 平面 PDC.又 GF平面 EFG, 平面 EFG平面 PDC.【小结】要证平面 EFG平面 PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得 BC平面 PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论 .平面图形折叠后的垂直问题如图 ,已知直角三角形 ABC 中, B=90,E,F 分别为 AB,AC 上的点,且 EF BC,AE=2BE.现将 AEF 沿 EF 边折叠到点 A,并且点 A 在平面 EBCF 内的射影恰好是点 B,如图 所示 .(1)求证:平面 AEF平面 ABE;(2)的值为
10、何值时, EC平面 ABF.【方法指导】平面图形折叠后的图形要注意到哪些元素没有发生变化,哪些元素发生了变化 .【解析】 (1)由图 知: B=90,EF BC ,所以 EF AB,EF AE,又因为 EF BE,且 AE BE=E,所以 EF平面 ABE,又因为 EF平面 AEF,所以平面 AEF平面 ABE.(2)因为 AB平面 BEFC,EC平面 BEFC,所以 AB EC,若 EC平面 ABF,则只需 EC BF即可,当 ECB= EBF时, EC BF,因为从图 可知 =,所以 ECB= EBF时,tan ECB=tan EBF,即 =得: =,所以 =时, EC平面 ABF.【小结
11、】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系 .在四面体 ABCD 中, AC=BD,E,F 分别为 AD,BC 的中点,且 EF=AC, BDC=90,求证: BD平面 ACD.【解析】取 CD的中点 G,连接 EG,FG,E ,F分别为 AD,BC的中点,EG AC,FG BD.又 AC=BD,FG=AC , 在 EFG中, EG2+FG2=AC2=EF2,EG FG,BD AC.又 BDC=90,即 BD CD,AC CD=C,BD 平面 ACD.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 分别是 AB,BC 的中点
12、.求证:平面 B1MN平面 BB1D1D.【解析】连接 AC且 AC BD=O,则 AC BD,又 M,N分别是 AB,BC的中点,MN AC,MN BD.ABCD-A 1B1C1D1是正方体,BB 1平面 ABCD.MN 平面 ABCD,BB 1 MN.BD BB1=B,MN 平面 BB1D1D.MN 平面 B1MN, 平面 B1MN平面 BB1D1D.如图,矩形 ABCD 满足 AB=3,AD=2,E,F 分别是 AB,DC 上的点,且 EF AD,AE=1.将四边形 AEFD 沿 EF 折起,形成了三棱柱 ABE-DCF,若折起后的 CD=.求证:( 1)CF平面 AEFD;(2)平面
13、AEC平面 DFB.【解析】 (1)矩形 ABCD中,因为 EF AD,所以 EF CD,又因为 DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱 ABE-DCF中, EF FC,DC2=DF2+CF2,所以 DF FC,且 EF DF=F,所以 CF平面 AEFD.(2)由(1)知四边形 BCFE是正方形,所以 EC FB,又因为 DF FC,DF EF, EF FC=F,所以 DF平面 BCFE, EC平面 BCFE,所以 DF EC,且 DF FB=F,所以 EC平面 DFB,且 EC平面 AEC,所以平面 AEC平面 DFB.1.二面角是指( ).A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的
14、一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角【解析】注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度 .【答案】C2.如图,正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB,M、 N 在对角线 AC、 FB 上,且 MN平面 BCE,则下列结论一定成立的是( ).A.MN CE B.AM=FNC.AM=CM D.BN=FN 【解析】 过 M作 MG BC交 AB于 G,连接 NG,又 MN平面 BCE,所以平面 MNG平面 BCE,所以 NG BE AF,所以 =,正方形
15、ABCD和正方形 ABEF边长相等,所以 AC=FB,所以 AM=FN.【答案】B3.已知 PA矩形 ABCD 所在平面(如图 ),则图中互相垂直的平面有 对 . 【解析】面 PAD面 ABCD,面 PAB面 ABCD,面 PAB面 PBC,面 PDC面 PAD,面 PAD面 PAB.【答案】54.如图,在 ABC 中, AD BC,将 ABD 折起构成了三棱锥 B-ADC.求证: AD平面 BDC.【解析】因为 AD BC,所以在三棱锥 B-ADC中,AD BD,AD DC, BD DC=D,所以 AD平面 BDC.(2013 年辽宁卷)如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所
16、在的平面, C 是圆 O 上的点 .(1)求证: BC平面 PAC;(2)设 Q 为 PA 的中点, G 为 AOC 的重心,求证: QG平面 PBC.【解析】(1)由 AB是圆 O的直径,得 AC BC.由 PA平面 ABC,BC平面 ABC,得 PA BC.又 PA AC=A,PA平面 PAC,AC平面 PAC,所以 BC平面 PAC.(2)连 OG并延长交 AC于 M,连接 QM,QO,由 G为 AOC的重心,得 M为 AC中点 .由 Q为 PA中点,得 QM PC,又 O为 AB中点,得 OM BC.因为 QM MO=M,QM平面 QMO,MO平面 QMO,BC PC=C,BC平面 PBC,PC平面 PBC,所以平面 QMO平面 PBC.因为 QG平面 QMO,所以 QG平面 PBC.
