1、第 8 课时 空间几何中的角度计算与距离计算1.利用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理进行一些空间几何中的线面角和二面角的计算 .2.空间几何中有关的点面距离、空间几何体的高和体积的计算 .重点:( 1)简单的线面角和二面角的计算;(2) 会求一些空间几何体的高及空间几何体的体积 .难点:二面角的计算 .前面我们了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,那么在实际应用中我们如何计算它们的角度呢?又有哪些方法技巧呢? 我们在了解距离概念后,能否求出几何体的高,进一步求出空间几何体的体积呢?今天我们将初步揭开它们的面纱,探寻解这类问题的方法规律呢?问题 1:空间几何体的角度和距离(1)空间几
2、何中有关角度的类型有: 线线角:主要指两条异面直线所成角 . 线面角 :直线与平面所成角 . 二面角 :从一条直线出发的两个半平面所成的图形 . (2)空间几何中有关距离的类型有:点到直线的距离 、 点到平面的距离 、 两平行线间的距离 、两异面直线间的距离(不要求掌握)、直线与平面平行时的线面距离、 两平行平面之间的距离 .这些距离问题往往都会转化成点面、点线之间的距离来作解 . 问题 2:求直线与平面所成角的基本思想和方法求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过 解直角三角形 求解,可以简述为“作(作出线面角)证( 证所作为所求) 求(解直角三角形)” .通常,通
3、过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键 . 问题 3:求二面角的基本思想和方法求二面角时,关键是作出二面角的平面角,其常用作法有三种:(1)定义法:在二面角的棱上找一点(为了便于解决问题,可结合图形找某特殊的点), 在两个半平面内过该点分别作与棱 垂直 的射线 . (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂面,该平面与二面角的两个半平面形成交线 (实质是射线), 这 两条交线 所成的角是二面角的平面角 . (3)垂线法:如图,由一个半平面内不在棱上的点 A 向另一个半平面作垂线 AB,垂足为 B,由点 B 向二面角的棱作垂线 BO,垂足为 O,连接 AO,易证 AOB 即
4、为二面角的平面角 . 问题 4:求空间中的点面距离的基本思想和方法空间中的距离问题都可以转化为点面距离,故解决点面距离问题是一切距离问题的基础,通常有以下几种方法求空间中的点面距离:(1)找出该点到平面的 垂线段 ,再找到垂线段所在的 三角形 ,然后 解直角三角形 求出垂线段的长度,运用这种方法求解关键在于垂足是否容易找到及三角形是否易解 . (2)该点的垂线段不容易寻找时,可以将该点等价转化为其他点到相应平面的距离 .如:直线与平面 平行 时,该直线上任意一点到平面的距离相等;两平面 平行 时,其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离相等;线段被平面 平分 时,线段两端的点到平面的距离相等
5、. (3)体积法:根据体积公式,若求出该几何体的 体积 和 底面积 ,也就可以求出高,即点到平面的距离 .在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直,这就是著名的三垂线定理,图解如下:该定理是证明线面垂直的一种重要定理,值得注意的是,它的逆定理也是正确的,即如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影 .1.已知 A ,P ,PA 与平面 所成的角为 60,PA=4,则 PA 在平面 上的射影的长度为( ).A.2 B.2 C.3 D.4【解析】 作 PB ,垂足为 B,则 PA 在平面 上的射影为
6、 AB,且 PAB=60,所以 AB=PAcos 60=2.【答案】A2.已知平面 ABC平面 ABD=AB,直线 m,n 满足: m平面 ABC,n平面 ABD,直线 m,n 所成的角为 60,则二面角 C-AB-D 的大小为( ).A.30 B.60C.120 D.60或 120【解析】 两个半平面的垂线所成的角,与二面角相等或互补,故选 D.【答案】D3.在三棱锥 A-BCD 中, AD底面 BCD,BD DC,AD=BD=DC=1,则点 D 到平面 ABC 的距离 h= . 【解析】等体积法: VA-BCD=VD-ABC,所以 ADS BCD=hS ABC.显然 ABC 为等边三角形,
7、边长为,则 S ABC=()2=,又 S BCD=,代入解得 h=.【答案】4.四面体 ABCD 中,已知棱 AC=BC=,其余各棱长都为 1,求二面角 A-CD-B 的大小 .【解析】 因为 AD=CD=1,AC=,所以 AD2+CD2=AC2,所以 AD CD,同理可得 BD CD,所以 ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角 .又因为 AB=BD=AD=1,所以 ADB=60,所以二面角 A-CD-B 的大小为 60.求直线与平面所成的角如图,二面角 -l- 的大小为 45,AB ,BC ,AB l,BC l,AB=,BC=1+.求直线 AC 与平面 所成角的大小 .【方法指导】求直线
8、与平面所成角的大小,关键是找到它们的平面角 .【解析】 作 AD BC 交 BC 于点 D,因为 AB l,BC l,AB BC=B,所以 l平面 ABC,又 AD平面 ABC,所以 l AD,且 AD BC,l BC=B,所以 AD ,所以 ACD 为直线 AC 与平面 所成的平面角,所以 ABC 为二面角 -l- 的平面角,所以 ABC=45,所以 AD=BD=ABsin 45=,所以 CD=BC-BD=1,tan ACD=,所以 ACD=60.故直线 AC 与平面 所成角的大小为 60.【小结】通过斜线上的点作平面的垂线,找到直线与平面所成角的平面角,运用解三角形求解 .求二面角如图,在
9、 ABC 中, AB BC,SA平面 ABC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、 SC 于点 D、 E,又 SA=AB,SB=BC,求二面角 E-BD-C 的大小 .【方法指导】本题的关键是找出(或作出)二面角的平面角,可结合图中的垂直关系,根据定义作出二面角的平面角 .【解析】 SA 平面 ABC,SA AC,SA BC,SA AB,SA BD.ED 垂直平分 SC,SE=EC.SB=BC ,SC BE,SC 平面 BDE,SC BD.又 SA BD,BD 平面 SAC,BD AC,BD DE, EDC 是二面角 E-BD-C 的平面角 .设 SA=1,则 SA=AB=1,而 SA AC
10、,SA BC,SA AB,SB=BC= ,SC=2, 在 Rt SAC 中, ECA=30, EDC=60,即二面角 E-BD-C 的大小为 60.【小结】作为本题载体的三棱锥是一个非常重要的三棱锥,一般称为“双直三棱锥”,其特点是, SA平面 ABC, ABC=90,对二面角的平面角的证明涉及了垂直关系的相互转化,因此它是我们需要熟练掌握的一个几何图形 .求点到直线的距离如图,底面是正方形 ABCD,PC平面 ABCD,E,F 是 AB,AD 的中点, AB=4,PC=3.(1)求证: EF平面 PCH;(2)求点 B 到平面 PEF 的距离 .【方法指导】(1)根据 EF 垂直于平面 PC
11、H 内两条相交直线易证;(2)本题中点 B 到平面 PEF 的距离不宜直接求,可以转化为直线 BD 上其他的点到平面 PEF 的距离或用等体积法 .【解析】 (1) E ,F 是 AB,AD 的中点,EF BD,且在正方形 ABCD 中, AC BD,EF HC.又 PC 平面 ABCD,EF平面 ABCD,EF PC,HC PC=C,EF 平面 PCH.(2)由(1)知 EF BD,BD平面 PEF,BD 平面 PEF,设 AC,BD 交于点 O,则点 B 到平面 PEF 的距离等于点 O 到平面 PEF 的距离,作 OG PH 交 PH 于点 G,EF 平面 PCH,OG平面 PCH,OG
12、 EF,且 PH EF=H,OG 平面 PEF, 点 O 到平面 PEF 的距离就是 OG 的长,由 AB=4,PC=3 易求得 HC=3,OH=,PH=3.由 OGH PCH 得: OG=. 点 B 到平面 PEF 的距离等于 .【小结】对于不易寻找到点到面的垂线段时的点面距离问题,通常会等价地转化成其他的点到平面的距离,即平移法,或者采用等体积法,根据题设合理选择 .在三棱锥 P-ABC 中,侧面 PAC 与面 ABC 垂直, PA=PB=PC=3.(1)求证: AB BC;(2)若 AC=4,求 PB 与平面 ABC 所成角的余弦值 .【解析】 (1)如图所示,取 AC 中点 D,连接
13、BD,PD.PA=PC ,PD AC.又平面 PAC平面 ABC,PD 平面 ABC.PA=PB=PC ,DA=DB=DC ,AC 为 ABC 的外接圆直径,AB BC.(2)PD 平面 ABC, PBD 即为 PB 与平面 ABC 所成角的平面角,在 Rt ABC 中, D 是斜边 AC 的中线,BD=AC= 2, cos PBD=,即 PB 与平面 ABC 所成角的余弦值为 .如图,在四面体 ABCD 中, ABD、 ACD、 BCD、 ABC 都全等,且 AB=AC=,BC=2,求以 BC 为棱,以平面 BCD 和平面 ABC 为面的二面角的大小 .【解析】取 BC 的中点 E,连接 A
14、E、 DE.AB=AC ,AE BC.又 ABD BCD,DB=DC ,DE BC, DEA 为二面角 A-BC-D 的平面角 .由 ABC DBC 可知, AB=AC=DB=DC=.又 ABD BDC,AD=BC= 2,在 Rt DEB 中, DB=,BE=1,DE= ,同理 AE=.在 AED 中, AE=DE= ,AD=2,AD 2=AE2+DE2, AED=90, 以 BC 为棱,以平面 BCD 和平面 ABC 为面的二面角的大小为 90.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1底面 ABC,AC=BC=2,AB=AA1=2,E 是 AA1 的中点,连接 C1E,求点 B 到平
15、面B1C1E 的距离 .【解析】 设点 B 到平面 B1C1E 的距离为 h,A1B1的中点为 F,连接 C1F,因为 AC=BC=2,所以 A1C1=B1C1=2,所以 C1F A1B1,C1F=,又 AA1底面 ABC,所以 AA1 C1F,且 AA1 A1B1=A1,所以 C1F平面 AA1B1B,连接 BE,则 =,即 h=C1F,因为 AB=AA1=2,AC=BC=2,所以 B1E=BE=,BB1=2,所以 =22=4,又因为 B1E=,C1E=,B1C1=2,所以 B1 E2 = C1 E2 + B1 ,所以 C1E B1C1,=C1EB1C1=2=,所以 h=4,解得 h=.所以
16、点 B 到平面 B1C1E 的距离为 h=.1.线段 AB 的长等于它在平面 内射影长的 2 倍,则 AB 所在直线与平面 所成的角为( ). A.30 B.45 C.60 D.120【解析】 由直角三角形的边角关系,可知直线与平面 所成的角为 60.【答案】C2.已知矩形 ABCD 的边长 AB=6,BC=4,在 CD 上截取 CE=4,将 BCE 沿 BE 旋转 90后如图所示,记旋转后的 C 的位置为 C,则 C到 AB 的距离为( ).A.2 B.2 C.2 D.4【解析】 取 BE 中点为 F,CE=CB=4,所以 CF BE,所以 CF平面 ABED,作 CG AB,连接 FG,易
17、证FG AB,所以 FG=2,CF=2,所以 CG=2.【答案】B3.三棱锥 P-ABC,PA=PB=PC=,AB=10,BC=8,CA=6,则二面角 P-AC-B 的大小为 . 【解析】 易发现底面 ABC 是直角三角形, PA=PB=PC,所以 P 在底面 ABC 的射影是 ABC 的外心,即斜边 AB的中点 D,作 DE AC,交 AC 于点 E,则 PED 是所求二面角的平面角,求得 DE=4,PE=8,cos PED=,所以 PED=60,即二面角 P-AC-B 的大小为 60.【答案】604.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA底面 ABCD,PA=AB,Q
18、 是 PC 中点, AC,BD 交于 O 点 .求二面角Q-BD-C 的大小 .【解析】连接 QO,则 QO PA 且 QO=PA=AB.PA 平面 ABCD,QO 平面 ABCD.QO 平面 QBD, 平面 QBD平面 ABCD.故二面角 Q-BD-C 的大小等于 90.(2013 年全国大纲卷)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( ).A. B. C. D.【解析】连接 AC 交 BD 于 O,连接 C1O,则 BD平面 CC1O.过 C 作 CE C1O,垂足为 E,则 CE平面 BDC1,连接 DE,则 CDE 为所求线面角,设 CD=1,则 CC1=2, CO=,C 1O=,则 CE=, sin CDE=.【答案】A
