1、第 3课时 直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类 .2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 .3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 .重点:利用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系;直线与圆相交时求解相交弦的问题 .难点:判断直线与圆的位置关系的方法选择 .一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西 70 千米处,受影响的范围是半径为30 千米的圆形区域 .已知港口位于台风中心正北 40 千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的
2、对象 .问题 1:直线与圆的位置关系有三种: 相交 、 相切 、 相离 . 判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去 x 或 y 整理成一元二次方程后 ,计算判别式 ,当判别式 0 时,直线和圆 相交 . (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:dr 相离 . 问题 2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程? (1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线 .(2)若点在圆上,则过该点的切线只有 一条 ,切线方程求法如下: 直接法,先求该点与圆心的连线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程
3、 . 设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论 ),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数 . 公式法,设 A(x0,y0)是圆( x-a)2+(y-b)2=r2 上的一点,则过点 A 的切线方程为:( x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即: A(x0,y0)是圆 x2+y2=r2 上一点,则过点 A 的切线方程为 : x0x+y0y=r2 . (3)若点在圆外,则过该点的切线有 两条 ,切线方程求法如下: 首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为 k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程
4、.问题 3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距( 即圆心到直线的距离) 、弦长的一半及半径构成直角三角形计算 .(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有 |AB|=|xA-xB|= . 问题 4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤(1)仔细审题,理解题意;(2)引入 数学符号 ,建立 数学模型 ; (3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;(4)用结果解释 实际问题 . 北京时间 2012 年 7 月 28 日凌晨,第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦开幕,开幕式艺术总监丹尼博伊尔以“奇迹之岛”为主题,向全世界奉献了一场视觉盛宴,其中让我们难忘的是第二章喧嚣提前铸造的
5、巨型的圆环慢慢飘向空中,发出彩色光芒的五环就像是工业革命时代的产物,溅射着火星,慢慢地聚集在一起 .1.直线 3x+4y=5 与圆 x2+y2=16 的位置关系是( ).A.相交 B.相切C.相离 D.相切或相交【解析】 d= 14,即点 P在圆( x-2)2+y2=4外 .设切线斜率为 k,则切线方程为 y-5=k(x-4),即 kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0), r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得 =2,解得 k=.将 k代入所设方程得此时切线方程为 21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是 x=4.因此切线方程为 x=4或 21x-20y+16=0
6、.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程 .【解析】将圆 C的方程 x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为 C(0,4),半径为 2.(法一)过圆心 C作 CD AB交 AB于点 D,则根据题意和圆的性质,得即: +2=4.解得 a=-7或 a=-1.即直线 l的方程为 7x-y+14=0或 x-y+2=0.(法二)联立方程组消去 y,得( a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.=- 16(4a+3)0,即 a-,
7、设此方程的两根分别为 x1,x2,由韦达定理知 x1+x2=-,x1x2=.由 AB=2=,可求出 a=-7或 a=-1,所以直线 l的方程是 7x-y+14=0或 x-y+2=0.已知点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上运动,则的最大值为 ;最小值为 . 【解析】因为 表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设 =k,即 kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率 k取最大值或最小值,此时 =1,解得 k=.所以的最大值为 ,最小值为 - .【答案】 -1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( ).A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心
8、 D.相离【解析】因为圆心(0,0)到直线 x-y+1=0的距离 d=1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心 .【答案】 B2.圆 C:x2+y2-4x=0 在点 P(1,)处的切线方程为( ).A.x+y-2=0 B.x+y-4=0C.x-y+4=0 D.x-y+2=0【解析】因为点 P在圆 C上, kPC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为 y-=(x-1),即 x-y+2=0.【答案】D3.直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m 等于 . 【解析】由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以 d=r=,解得 m=或 -3.【
9、答案】 -3或4.已知圆 x2+y2=8 内一点 P(-1,2),过点 P 的直线 l 的倾斜角为 135,直线 l 交圆于 A、 B 两点,求 AB 的长 .【解析】 k AB=-1, 直线 AB的方程为 y-2=-(x+1),即 x+y-1=0.故圆心(0,0)到 AB的距离 d=,从而弦长 |AB|=2 =.(2012 年北京卷) 直线 y=x 被圆 x2+(y-2)2=4 截得的弦长为 . 【解析】 本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识 .(法一)几何法:圆心到直线的距离为 d=,圆的半径 r=2,所以弦长为 l=2=2=2;(法二)代数法:联立直线和圆的方程 消去 y可得 x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为 =2.【答案】2
