1、第二章章末小结1.平面的基本性质公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么 这条直线 在此平面内 . 公理 2:过 不在 同一条直线上的三点,有且只有一个平面 . 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 . 2.线线、线面、面面平行的判定方法线线平行的判定方法:(1)平面几何中的判定方法:如 中位线 、 相似三角形 、 平行四边形 . (2)线面平行的性质定理: a ,a , =b a b . (3)面面平行的性质定理: , =a , =b a b . (4)特殊几何体的性质,如棱柱、棱台等 .线面平行的判定方法:(1)定义法:证明直线与平面没
2、有 公共点 ,该方法适用于反证法; (2)线面平行的判定定理: a ,b ,a ba ; (3)面面平行的性质定理: a , a ; (4)平面外与平面的垂线垂直的直线平行于这个平面: a ,b ,a ba ; (5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等 .面面平行的判定方法:(1)定义法:证明两个平面没有 公共点 ; (2)面面平行的判定定理: a ,b ,a b=A,a ,b ; (3)垂直于同一直线的两个平面平行,即 a ,a ; (4)平行于同一平面的两个平面平行,即 , ; (5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等 .3.线线、线面、面面垂直的判定方法线线垂直的判定方法:(1)平面
3、几何中的判定方法,如 勾股定理 、 菱形的对角线 、 等腰三角形 . (2)线面垂直的性质定理: a ,b a b . (3)特殊几何体的性质,如棱柱,棱台等 .线面垂直的判定方法:(1)线面垂直的判定定理: a ,b ,a b=A,l a,l bl ; (2)面面垂直的性质定理: , =l ,a ,a la ; (3)与平面的垂线平行的直线也垂直这个平面: a ,a bb ; (4)平面的垂线也垂直于与这个平面平行的平面: a , a ; (5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等 .面面垂直的判定方法:(1)定义法:证明两个平面所交的二面角是直角;(2)面面垂直的判定定理: a ,a ;
4、(3)与一个平面的垂线平行的平面与这个平面垂直,即 a ,a ; (4)与一个平面垂直的平面也垂直这个平面的平行面,即 , ; (5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等 .4.空间中的角度概念(1)异面直线所成的角:直线 a,b 是异面直线,经过空间任一点 O,分别作直线 a a , b b ,相交直线a,b所成的 锐角(或直角) 叫作异面直线 a,b 所成的角 . (2)直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 叫作这条直线与平面所成的角;当直线与平面 垂直 时,直线与平面所成的角是 90;当直线与平面 平行或在平面内 时,直线与平面所成的角是 0. (3)二面
5、角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 .二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作 垂直 于棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角 . 二面角与二面角的平面角 大小相等 ,所以求二面角的关键点是找二面角的平面角 . 题型一:考查空间位置关系的判断及性质已知 m,n 是不同的直线, , 是不重合的平面,给出下列结论: 若 m ,则 m 平行于平面 内任意一条直线; 若 ,m ,n ,则 m n; 若 m ,n ,m n,则 ; 若 ,m ,则 m .其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 【方法指导】根据线线、线面、面面的位置关系判断
6、 .【解析】若 m ,则 m平行于过 m的平面与 相交的交线,并非所有的直线,故 错;若 ,m ,n ,则可能 m n,可能 m,n异面,故 错;m ,m n,n . 又 n , ,故 正确;m ,故 正确 .【答案】 【小结】解决该类问题要紧扣空间点、线、面的位置关系的概念,并结合线、面位置关系的判定定理和性质定理进行判断 .题型二:考查空间平行关系的判定及性质如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M、 N、 E、 F 分别是棱 A1B1、 A1D1、 B1C1、 C1D1 的中点, AB=1.(1)求证:平面 AMN平面 EFDB;(2)求平面 AMN 到平面 EFDB 的距离
7、.【方法指导】(1)依据题目中的中点关系及线线平行关系求证;(2)由(1)知两平面平行,转化为点 F到平面 AMN的距离,利用等体积法求解 .【解析】(1)连接 MF,M 、 F分别是 A1B1、 C1D1的中点,四边形 A1B1C1D1为正方形, MF A1D1.又 A1D1 AD,MF AD. 四边形 AMFD是平行四边形, AM DF.DF 平面 EFDB,AM平面 EFDB,AM 平面 EFDB.同理 AN平面 EFDB.又 AM、 AN平面 ANM,AM AN=A, 平面 AMN平面 EFDB.(2)连接 NF,AF,由(1)知,点 F到平面 AMN的距离 d即为两平行平面 AMN和
8、平面 EFDB的距离 .由 VA-MNF=VF-ANM,S AMN=,VA-MNF=,知 dS AMN=,得 d=,故平面 AMN到平面 EFDB的距离为 .【小结】(1)所给条件若含有中点,则往往要利用中点构造线线平行关系(常用的方法有:构造平行四边形,构造三角形或梯形的中位线) .(2)求两平行平面的距离的关键就是转化为点到平面的距离 .在其中一个面上确定一点,求其到另一个面的距离,而等体积法是求距离的一种重要方法 .题型三:考查空间垂直关系的判定及性质已知 ABCD 是矩形, AD=4,AB=2,E、 F 分别是线段 AB、 BC 的中点, PA平面 ABCD,证明: PF FD.【方法
9、指导】要证线线垂直,可转化为证明线面垂直,本题关键是用勾股定理逆定理判断 DF AF.【解析】连接 AF,则 AF=2,DF=2.又 AD=4,DF 2+AF2=AD2,DF AF.又 PA平面 ABCD,DF PA,又 PA AF=A,DF 平面 PAF,又 PF平面 PAF,DF PF.【小结】本题考查线线垂直、线面垂直的相互转化 .证明线线垂直时,可以利用空间有关知识解决,也可以利用平面知识解决(如本题证明 DF AF时,利用了勾股定理的逆定理),这一点要引起我们的注意 .题型四:异面直线与线面角的计算如图, PD平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形, PD=DC=2,BC=2.(1
10、)求 PB 与平面 ADC 所成角的大小;(2)求异面直线 PC,BD 所成角的正弦值 .【方法指导】(1)找出 PB在平面 ADC上的射影,并求出两者的夹角,即为线面角;(2)根据等角定理找到分别与异面直线平行的两条直线相交的情形 .【解析】 (1)因为 PD平面 ABCD,所以 PBD为 PB与平面 ADC所成角,因为四边形 ABCD是矩形,所以BC DC,所以 BD=2,tan PBD=,所以 PBD=30,即 PB与平面 ADC所成角的大小为 30.(2)连接 AC交 BD于点 O,取 PA的中点 G,连接 OG,DG,则 OG PC,所以 DOG为异面直线 PC,BD所成角,因为 O
11、G=PC=,OD=BD=,DG=PA=,所以 OGD是等腰三角形,做出底边的高,易求出 sin DOG=.所以异面直线 PC,BD所成角的正弦值为 .【小结】求异面直线所成的角和线面角的方法:首先通过作图找到它们的平面角,其次分析平面角所在的三角形,根据三角形知识求出角的三角函数,最后确定角的值 .题型五:平行与垂直的综合应用如图,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1面 ABCD, DAB=60,AD=AA1,F 为棱 AA1 的中点, M 为线段 BD1 的中点,(1)求证: MF/平面 ABCD;(2)求证: MF平面 BDD1B1.【方法指导】注意线面平行的转化
12、,即可以用线线平行推导线面平行,也可以用面面平行得到线面平行,线面垂直也一样,可以先证 AC平面 BB1D1D.【解析】(1)连结 AC交 BD于点 O,再连结 MO.OM DD1,又 DD 1 A1A,OM A1A,又 AF=A 1A,OM AF, 四边形 MOAF是平行四边形,MF CA.又 CA 面 ABCD,MF平面 ABCD,MF 平面 ABCD.(2) 底面是菱形, AC BD.又 B 1B平面 ABCD,AC平面 ABCD,AC B1B,AC 面 BDD1B1.又 MF AC,MF 平面 BDD1B1.【小结】利用线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理将所需要证的问题
13、转化为线线的平行和垂直问题,再利用平面几何知识解决线线问题是平行问题和垂直问题中做重要的一种方法 .题型六:综合性问题如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将 AED、 DCF 分别沿 DE、 DF 折起,使 A、 C 两点重合于点 A,连接 EF,AB.(1)求证: AD EF;(2)求二面角 A-EF-D 的余弦值 .【方法指导】本题综合了折叠问题、垂直问题和二面角的计算,在审题时要结合折叠前后的图形进行分析,找出在折叠过程中没有改变的元素 .【解析】 (1)在正方形 ABCD中,有 AD AE,CD CF,则 AD AE,AD AF
14、,又 AE AF=A,AD 平面 AEF,而 EF平面 AEF,AD EF.(2)连接 BD交 EF于点 G,连接 AG. 在正方形 ABCD中,点 E是 AB的中点,点 F是 BC的中点, BE=BF ,DE=DF, 点 G为 EF的中点, 且 BD EF. 正方形 ABCD的边长为 2,AE=AF= 1,AG EF, AGD为二面角 A-EF-D的平面角,由(1)可得 AD AG, ADG为直角三角形, 正方形 ABCD的边长为 2, BD= 2,EF=, BG= ,DG=2-=, 又 AD=2,AG= , cos AGD=, 二面角 A-EF-D的余弦值为 .【小结】在高考中,平行问题、
15、垂直问题、折叠问题、体积计算、距离计算、角度计算往往会综合其中若干种情形分析,在遇到这类问题时,首先对图象有深度的观察能力,其次对已知的条件要进行逻辑的推导,对结论的成立进行逆推,采用两头凑的思想,将问题逐层解决 .1.(2013 年广东卷)如图甲,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点, AD=AE ,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将 ABF 沿 AF 折起,得到如图乙所示的三棱锥 ABCF,其中 BC=.(1) 证明: DE平面 BCF;(2) 证明: CF平面 ABF;(3) 当 AD=时,求三棱锥 FDEG 的体积 VF-DEG
16、.【解析】(1)依题意 AD=AE,三角形 ABC为等边三角形, = ,DE BC.又 DE平面 BCF,BC平面 BCF,DE 平面 BCF.(2) 图甲中 F为 BC中点, BF=FC= ,又 BC=,BF 2+FC2=BC2, BFC=90,CF BF.又 AF FC,AF BF=F且 AF,BF均在平面 ABF内,CF 平面 ABF.(3)易知 GE FC,由(2)知 FC平面 ABF,GE 平面 GFD.又 =,GE=CF= ,GD= ,GF=AF=.又 FDG为直角三角形, S DGF=. 三棱锥 FDEG的体积为 VF-DEG=S DGFGE=.2.(2013 年山东卷)如图,四
17、棱锥 PABCD 中, AB AC,AB PA,AB CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点 .(1)求证: CE平面 PAD;(2)求证:平面 EFG平面 EMN.【解析】(1)(法一)取 PA的中点 H,连接 EH,DH.因为 E为 PB的中点,所以 EH AB,EH=AB.又 AB CD,CD=AB,所以 EH CD,EH=CD.因此四边形 DCEH是平行四边形,所以 CE DH,又 DH平面 PAD,CE平面 PAD,因此 CE平面 PAD.(法二)连接 CF.因为 F为 AB的中点,所以 AF=AB.又 CD=AB,所以 AF=CD.又
18、AF CD,所以四边形 AFCD为平行四边形 .因此 CF AD.又 CF平面 PAD,所以 CF平面 PAD.因为 E,F分别为 PB,AB的中点,所以 EF PA.又 EF平面 PAD,所以 EF平面 PAD.因为 CF EF=F,故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF,所以 CE平面 PAD.(2)因为 E,F分别为 PB,AB的中点,所以 EF PA,又 AB PA.所以 AB EF.同理可证 AB FG.又 EF FG=F,EF平面 EFG,FG平面 EFG,因此 AB平面 EFG.又 M,N分别为 PD,PC的中点,所以 MN CD.又 AB CD,所以 MN AB.因此
19、 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN,所以平面 EFG平面 EMN.3.(2013 年北京卷)如图,在四棱锥 PABCD 中, AB CD,AB AD,CD=2AB,平面 PAD底面 ABCD,PA AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 .求证:(1)PA底面 ABCD;(2)BE平面 PAD;(3)平面 BEF平面 PCD.【解析】(1)因为平面 PAD底面 ABCD,且 PA垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA底面 ABCD.(2)因为 AB CD,CD=2AB,E为 CD的中点,所以 AB DE,且 AB=DE,所以四边形 ABED为平行四边形,所以 BE AD.又因
20、为 BE平面 PAD,AD平面 PAD,所以 BE平面 PAD.(3)因为 AB AD,而且四边形 ABED为平行四边形,所以 BE CD,AD CD.由(1)知 PA底面 ABCD,所以 PA CD,所以 CD平面 PAD,所以 CD PD.因为 E和 F分别是 CD和 PC的中点,所以 PD EF,所以 CD EF,所以 CD平面 BEF,所以平面 BEF平面 PCD.4.(2013 年江西卷)如图,直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, AB CD,AD AB,AB=2,AD=,AA1=3,E 为 CD 上一点, DE=1,EC=3.(1)证明: BE平面 BB1C1C;(2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离 .【解析】(1)过 B作 CD的垂线交 CD于 F,则 BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在 Rt BFE中, BE=.在 Rt CFB中, BC=.在 BEC中,因为 BE2+BC2=9=EC2,故 BE BC.由 BB1平面 ABCD得 BE BB1,所以 BE平面 BB1C1C.(2)三棱锥 EA1B1C1的体积 V=AA1=.在 Rt A1D1C1中, A1C1=3.同理, EC1=3,A1E=2.故 =3,设点 B1到平面 EA1C1的距离为 d,则三棱锥 B1-A1C1E的体积 V=d=d,从而 d=,d=.
