1、课时提能演练(八)/ 课后巩固作业(八)（30 分钟 50 分）一、选择题（每小题 4 分，共 16 分）1.（2012偃师高一检测）1 337 与 382 的最大公约数是（ ）（A）3 （B）382 （C）191 （D）2012.利用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x 6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当 x=4 时的值时，需要做乘法与加法的次数分别为（ ）（A）6,6 （B）5,6 （C）5,5 （D）6,53.用更相减损术求 459 与 357 的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）74.用秦九韶算法计算多项式 f（x）=1+5x+10x
2、2+10x3+5x4+x5在 x=-2时，v 3的值为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空题（每小题 4 分，共 8 分）5.三个数 72,120,168 的最大公约数是_.6.（易错题）用秦九韶算法求多项式 f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当 x=-4 时的值时，其中 v1的值为_.三、解答题（每小题 8 分，共 16 分）7.利用秦九韶算法求多项式f（x）=3x 6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13当 x=6 时的值，写出详细步骤.8.（2012平川高一检测）用辗转相除法求 888 与 1 147 的最大公约数.【挑战能力
3、】（10 分）已知 n 次多项式 Pn（x）=a 0xn+a1xn-1+an-1x+an,如果在一种算法中，计算 x0k（k2，3，4，n）的值需要 k1 次乘法.（1）计算 P3（x 0）的值需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法） ，那么计算 Pn（x 0）的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：P 0（x）=a 0,Pk+1（x）=xP k（x）+ak+1（k0，1，2，n1） ，计算 P3（x 0）的值只需 6 次运算，那么计算 Pn（x 0）的值共需要多少次运算？（3）若采取秦九韶算法，设 ai=i+1，i=0，1，n，求 P5（2）.（写出采用秦九韶算法的计算过程）答案解析1
4、.【解析】选 C.利用辗转相除法1 337=3382+191，382=2191,故 1 337 与 382 的最大公约数为 191.2.【解析】选 A.多项式变形为:f（x）=（3x+4）x+5）x+6）x+7）x+8）x+1可以看出需要做 6 次乘法和 6 次加法.【变式训练】 （2012洛阳高一检测）利用秦九韶算法求多项式f（x）=7x 3+3x2-5x+11 当 x=23 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）（A）164 （B）3 767 （C）86 652 （D）85 169【解析】选 C.f（x）=（7x+3）x-5）x+11,v1=723+3=164,v2=16423-5=3 7
5、67,v3=3 76723+11=86 652,所以 f（23）=86 652.3.【解析】选 B.459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51，所以 459 与 357 的最大公约数为 51，共做减法 5 次，故选 B.4.【解题指南】所给的多项式写成关于 x 的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值.【解析】选 B.f（x）=1+5x+10x 2+10x3+5x4+x5=（x 4+5x3+10x2+10x+5）x+1=（x 3+5x2+10x+10）x+5）x+1=（x+5）x+10）x+1
6、0）x+5）x+1在 x=-2 时，v 3的值为（x+5）x+10）x+10=2，故选 B.5.【解析】120=721+48,72=481+24,48=242,168=247.答案：246.【解析】由题意知 01v3,457.（ ）答案：-7【误区警示】此题很容易把所求的 v1写成 v0的值而出现错误答案.7.【解题指南】先把多项式改写，再利用秦九韶算法求解.【解析】f（x）=（3x+12）x+8）x-3.5）x+7.2）x+5）x-13,v0=3,v1=v06+12=30,v2=v16+8=188,v3=v26-3.5=1 124.5,v4=v36+7.2=6 754.2,v5=v46+5=
7、40 530.2,v6=v56-13=243 168.2.f（6）=243 168.2.8.【解析】1 147=8881+259,888=2593+111,259=1112+37,111=373，888 与 1 147 的最大公约数是 37.【一题多解】此题也可以利用更相减损术来求：1 147-888=259,888-259=629,629-259=370,370-259=111,259-111=148,148-111=37,111-37=74,74-37=37.所以 888 与 1 147 的最大公约数为 37.【方法技巧】辗转相除法和更相减损术的选择辗转相除法和更相减损术都可以求两个正整数
8、的最大公约数，针对不同的两数，选择运算少的是关键，当满足下列条件之一，选择辗转相除法：（1）所给两数差值大；（2）所给两数的差与较小的数比，差值较大.【挑战能力】【解析】一般的多项式 f（x）=a nxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可达到 ，加法最多 n 次.秦九韶12（ ）算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次，加法最多 n 次.（1） .2n3（2）2n.（3）P 0（x）=a 0，P k+1（x）=xP k（x）+a k+1,P 0（2）=1，P 1（2）=2P 0（2）+2=4,P2（2）=2P 1（2）+3=11,P3（2）=2P 2（2）+4=26,P 4（2）=2P 3（2）+5=57,P5（2）=2P 4（2）+6=120.
