1、台州市 2002-2013 年中考数学试题分类解析 专题 09：三角形1、选择题1. （2002 年浙江台州 4 分）如果两个相似三角形的周长之比为 1：2，那么这两个三角形的面积之比为【 】(A)1： (B) 1：2 (C)1：4 (D)1：82【答案】C。【考点】相似三角形的性质。【分析】两个相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，而周长之比为 1：2，这两个三角形的面积之比为 1：4。故选 C。2. （2003 年浙江台州 4 分）如图，在 RtABC 中，AC ，A ，那么 BC 等于【 m】A、 sin B、 cos C、 tan D、mmmmtan。3. （2004
2、年浙江温州、台州 4 分）如图，ABC 中，C=90，AB=5，BC=3，CA=4，那么sinA 等于【 】(A) (B) (C) (D)4335354【答案】C。【考点】锐角三角函数定义， 【分析】根据正弦函数定义，得 sinA= 。故选 C。B3A54. （2006 年浙江台州 4 分）如图，圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm，则此圆锥的高线长为【 】(A) 4cm (B) 5cm (C) 3cm (D) 8cm【答案】A。【考点】勾股定理。【分析】圆锥的底面半径、母线和高线构成直角三角形，且圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm，根据勾股定理，得此圆锥的高线长为 4cm。故选
3、 A。5. （2006 年浙江台州 4 分）数学活动课上，小敏、小颖分别画了ABC 和DEF，尺寸如图.如果把小敏画的三角形的面积记作 SABC ，小颖画的三角形的面积记作 SDEF ，那么你认为【 】（A）S ABC S DEF （B）S ABC S DEF （C）S ABC = SDEF （D）不能确定在 RtABG 中，AG=ABsinB=5sin 50=5sin 50，在 RtDHE 中，DEH=180130=50，DH=DEsinDEH=5sin 50，AG=DH。BC=4，EF=4，S ABC =SDEF 。故选 C。6. （2007 年浙江台州 4 分）一次数学活动中，小迪利用自
4、己制作的测角器测量小山的高度 CD已知她的眼睛与地面的距离为 1.6 米，小迪在 B 处测量时，测角器中的（量角器零度线 AC 和铅垂线 OP 的夹角，如图） ；然后她向小山走 50 米到6AOP0 OP达点 F 处（点 B，F，D 在同一直线上） ，这时测角器中的 ，那么小山的高度4E5PCD 约为【 】 （注：数据 ， 供计算时选用）31.721.468 米 70 米 121 米 123 米【答案】B。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由已知易得 AE=BF =50，ACD=60，ECD=45，CG=EG。 ， 0AEG50CtanCDta63 。C
5、D=68.3+1.6=69.970（米） 。故选 B。G25318.7. （2010 年浙江台州 4 分）如图，矩形 ABCD 中，ABAD，AB=a，AN 平分DAB，DMAN于点 M，CNAN 于点 N则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示） 【 】Aa B C D 4a52a3a2【答案】C。【考点】矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN 于点 N，ADM=MDC=NCD=45。 ，即 。DMCNcos45 2DMCNcos45CD在矩形 ABCD 中，AB=CD=a， 。故选 C。2a8. （2011 年浙江台州
6、 4 分）若两个相似三角形的面积之比为 14，则它们的周长之比为【 】A12 B14 C15 D116 9. （2012 年浙江台州 4 分）如图，点 D、E、F 分别为ABC 三边的中点，若DEF 的周长为 10，则ABC 的周长为【 】A5 B10 C20 D40【答案】C。【考点】三角形中位线定理。【分析】由已知，点 D、E、F 分别为ABC 三边的中点，根据三角形中位线定理，得AB、BC、AC 分别是 FE、DF、DE 的两倍。因此，由DEF 的周长为 10，得ABC 的周长为20。故选 C。10.（2013 年浙江台州 4 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上
7、，且，则 的值为【 】AED1B2ADEBCED:S周边A. B. C. D. 1:31:21:31:411.（2013 年浙江台州 4 分）已知A 1B1C1与A 2B2C2的周长相等，现有两个判断：若 A1B1=A2B2，A 1C1=A2C2，则A 1B1C1A 2B2C2；若A 1=A 2，B 1=B 2，则A 1B1C1A 2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是【 】A.正确，错误 B.错误，正确 C.，都错误 D .，都正确【答案】D。【考点】全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】A 1B1=A2B2，A 1C1=A2C2，且A 1B1C1与A 2B2C2的周长
8、相等，B 1C1=B2C2。A 1B1C1A 2B2C2（SSS） 。故正确。A 1=A 2，B 1=B 2，A 1B1C1A 2B2C2。 。B 1C1=B2C2。A 1B1C1A 2B2C2（ASA） 。故22A周长长正确。综上所述，都正确。故选 D。二、填空题1. （2002 年浙江台州 5 分）如图，要测量山脚下两点 A、B 的距离。可取点 C，分别定出线段 AC，BC 的中点 D，E。现测得 DE 的长为 50m，则可计算出 A，B 两点的距离为 m【答案】100。【考点】三角形中位线定理的应用。【分析】D，E 分别是线段 AC，BC 的中点，且 DE=50m，DE 是ABC 的中位
9、线。根据三角形的中位线等于第三边的一半的性质，得：AB=2 DE=100m。2. （2002 年浙江台州 5 分）如图，在ABC 和DEF 中，已知 AB=DE，AC=DF，要使ABCDEF，根据三角形全等的判定公理还需添加条件（填上你认为正确的一种情况） 【答案】BC=EF（答案不唯一） 。【考点】开放型，全等三角形的判定。【分析】要使ABCDEF，已知 AB=DE，AC=DF，根据三角形全等的判定公理还需添加条件 BC=EF，构成 SSS，或添加条件A=C 构成 SAS。3. （2006 年浙江台州 5 分）正三角形的每一个内角都是 度【答案】60。【考点】等边三角形的性质。【分析】正三角
10、形的每一个内角都是 600。4. （2006 年浙江台州 5 分）有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人小敏想知道校园内一棵大树的高（如图） ，他测得 CB=10 米，ACB=50，请你帮他算出树高 AB 约为 米（注：树垂直于地面；供选用数据：sin50 0.77 ，cos50 0.64 ， 50tan1.2 ）【答案】12。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】在 RtABC 中，B=90，ACB=50，CB=10，AB=BCtanACB=101.2=12（米） 。5. （2007 年浙江台州 5 分）如图，点 D，E，F 分别是ABC 三边上的中点若ABC
11、 的面积为 12，则DEF 的面积为 EFDABC。 。2EFDABCS14 ABC 的面积为 12，DEF 的面积为 3。三、解答题1. （2002 年浙江台州 8 分）如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高线，BAC 的平分线分别交 BC，CD 于点 E，F求证：（1）ACFABE；（2）ACAEAFAB 【答案】证明：（1）CD 是 RtABC 斜边上的高线，ACF=90BAC=B。AE 平分BAC，CAF=BAE。ACFABE。（2）ACFABE， 。ACFBEACAE=AFAB。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由于 EA 平分CAB，则CAE=BAE，在 R
12、tABC 中，CDAB，根据同角的余角相等可证得ACF=B，由此可判定所求的两个三角形相似。（2）根据（1）的相似三角形所得比例线段即可得证。2. （2002 年浙江台州 12 分）由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日,A 城气象局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240km 的 B 处，以每时 12 km 的速度向北偏东 60方向移动，距沙尘暴中心 150km 的范围为受影响区域。（1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若 A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？【答案】解：（1）A 城将受这次沙尘暴的影响，理由如下：过点 A 作 ACB
13、M，垂足为 C，在 RtABC 中，由题意可知B=30，AC= AB= 240=120。12AC=120150，A 城将受这次沙尘暴的影响。（2）设点 E，F 是以 A 为圆心，150km 为半径的圆与 MB 的交点，由题意得 ，22C1509EF=2CE=290=180。18012=15（时） ，答：A 城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为 15 时。3. （2004 年浙江温州、台州 8 分）如图，已知 ABCD，AD，BC 相交于 E，F 为 EC 上一点，且EAF=C。求证：(1) EAF=B； (2)AF 2=FEFB【答案】证明：（1）ABCD，B=C。又EAF=C，EAF=B。
14、（2）在AFB 与EFA 中，EAF=B，AFB=EFA，AFBEFA。 。AF 2=FEFB。AFEB【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由 ABCD，根据平行线内错角相等的性质得B=C，由等量代换即可得EAF=B。（2）由AFBEFA 即可得 ，从而 AF2=FEFB。AFEB4. （2005 年浙江台州 10 分）如图，我市某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成40夹角，且 DB=5m，则 BC 的长度是多少？现再在 C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆 ED 的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据： 】sin40.628
15、,cos40.76,tan40.8391【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】在 RtCDB 的中，已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出 BC 的长，再由勾股定理求得 ED 的长。5. （2008 年浙江台州 10 分）如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知 BC=6 米，AB=9 米，中间平台宽度 DE 为 2 米，DM，EN 为平台的两根支柱，DM，EN 垂直于 AB，垂足分别为 M，N，EAB=30，CDF=45求 DM 和 BC 的水平距离 BM （精确到 0.1 米，参考数据： ， ）21.43.7【答案】解：设 DF=x 米，CDF=45，
16、CFD=90，CF=DF=x 米。BF=BCCF=（6x）米。EN=DM=BF=（6x）米。AB=9 米，DE=2 米，BM=DF=x 米，AN=ABMNBM=（7x）米。在AEN 中，ANE=90，EAN=30，EN=ANtan30即 。36x7解这个方程得： 。184.答：支柱 DM 距 BC 的水平距离约为 4.6 米。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】设 DF=x 米由等腰直角三角形的性质知，CF=DF=x，得EN=FB=BCCF=6x，AN=ABDFED=7x，则在直角三角形 ANE 中，有 EN=ANtan30，建立方程求得 x 的值。6.
17、（2008 年浙江台州 12 分）CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CBE，F 分别是直线CD 上两点，且BEC=CFA=（1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90，=90，则 BE CF；EF |BEAF|（填“” ， “”或“=” ） ；如图 2，若 0BCA180，请添加一个关于 与BCA 关系的条件 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明） 【答案】解：（1）=；=。所填的条
18、件是：BCA=180。证明如下：在BCE 中，CBEBCE=180BEC=180。BCA=180，CBEBCE=BCA。又ACFBCE=BCA，CBE=ACF。又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS） 。BE=CF，CE=AF。又EF=CFCE，EF=|BEAF|。（2）EF=BE+AF。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。【分析】 （1）BCA=90，=90，BCECBE=90，BCEACF=90。CBE=ACF。CA=CB，BEC=CFA，BCECAF（AAS） 。BE=CF；EF=|BEAF|。由BCA=180结合已知条件，可得CBE=ACF，从而根据 AAS
19、可证得BCE 和CAF 全等，从而得出结论。（2）由题意推出CBE=ACF，再由 AAS 定理证BCECAF，继而得答案。7. （2009 年浙江 台州 8 分） 如图，有一段斜坡 BC 长为 10 米，坡角CBD=12，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 5 度（1）求坡高 CD；（2）求斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离（精确到 0.1 米） 【答案】解：（1）在 RtBCD 中， CD=BCsin12100.21=2.1（米） 。答：坡高 2.1 米。（2）在 RtBCD 中， BD=BCcos12100.98=9.8（米） ，在 RtACD 中， （米） ，CD2.1A3.t
20、an509AB=ADBD23.339.8=13.5313.5（米） 。答：斜坡新起点与原起点的距离为 13.5 米。8. （2010 年浙江台州 8 分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来62x01【答案】解： ，62x01解得， 3，解得， 1，x不等式组的解集是 1 3。x在数轴上表示为：【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解） 。不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左
21、画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示。9. （2011 年浙江台州 10 分）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀请你根据图中的数据帮丁丁计算出 BE、CD 的长度(精确到个位，31.7)【答案】解：由ABC120 可得EBC60。 在 RtBCE 中，CE51，EBC60，tan60 ， BE 30 。CEBE CEtan60 51tan60在矩形 AECF 中，由BAD45，得ADF
22、DAF45 。DFAF51。FCAE343064。CDFCFD645113。因此 BE 的长度约为 30cm，CD 的长度约为 13cm 。【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数。【分析】在 RtBCE 中，CE=51，EBC=60，求得 BE，在矩形 AECF 中，由BAD-45，从而求得 DF=AF=51，从而求得 BE，CD 的长度。10. （2011 年浙江台州 12 分）如图 1，AD 和 AE 分别是ABC 的 BC 边上的高和中线，点 D是垂足，点E 是 BC 的中点，规定： A 特别地，当点 D、E 重合时，规定： A0另外，对DEBE B、 C作类似的规定(1)
23、如图 2，在ABC 中，C90，A30，求 A、 C；(2)在每个小正方形边长均为 1 的 44 的方格纸上，画一个ABC，使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上，且 A2，面积也为 2；(3)判断下列三个命题的真假(真命题打“” ，假命题打“”)：若ABC 中 A1，则ABC 为锐角三角形；【 】若ABC 中 A1，则ABC 为锐角三角形；【 】若ABC 中 A1，则ABC 为锐角三角形 【 】【答案】解：（1）如图，作 BC 边上的中线 AD，又 ACBC。 A 1 。 CDBD过点 C 分别作 AB 边上的高 CE 和中线 CF，ACB90， AFCF。ACFCAF30。 CFE6
24、0。 C cos60 。 EFAF EFCF 12（2）画图如下：（3）； 。【考点】解直角三角形，三角形的角平分线、中线和高，作图（应用与设计作图） ，真假命题的定义。【分析】 （1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案。（2）根据题目要求即可画出图象。（3）根据真假命题的定义即可得出答案。11. （2012 年浙江台州 8 分）如图，为测量江两岸码头 B、D 之间的距离，从山坡上高度为 50 米的 A 处测得码头 B 的俯角EAB 为 15，码头 D 的俯角EAD 为 45，点 C 在线段BD 的延长线上，ACBC，垂足为 C，求码头 B、D 的距离（结果保留整数） 【答案
25、】解：AEBC，ADC=EAD=45。又ACCD，CD=AC=50。AEBC，ABC=EAB=15。又 ， 。ACtanB0AC5=185.2tanB.7taBD185.250135（米） 。答：码头 B、D 的距离约为 135 米。12. （2012 年浙江台州 12 分）已知，如图 1，ABC 中，BA=BC，D 是平面内不与 A、B、C重合的任意一点，ABC=DBE，BD=BE（1）求证：ABDCBE；（2）如图 2，当点 D 是ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形 BDCE 的形状，并证明你的结论【答案】 （1）证明：ABC=DBE，ABC+CBD=DBE+CBD。ABD=CBE。在ABD 与CBE 中，BA=BC，ABD=CBE，BD=BE，ABDCBE（SAS） 。（2）解：四边形 BDEF 是菱形。证明如下：由（1）ABDCBE，CE=AD。点 D 是ABC 外接圆圆心，DA=DB=DC。又BD=BE，BD=BE=CE=CD。四边形 BDCE 是菱形。
