1、高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 1 页 共 8 页 20172018 年 泰 安市点金教育普通高中高三教学质量检测（一） 数 学（理科）参考答案与评分标准 一 、选择题 ： 本题共 12 小题 每小题 5 分 ， 共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A B D C C C D C D B 二、填空题 ： 本 大题 共 4 小题 每小题 5 分 ， 满分 20 分 13 5 14 12 15 13 16 2三、解答题 ： 本大题共 6 小题 ， 共 70 分 解答须写出 必要的 文字说明、证明过程或演算步骤 17
2、【解析】 （ I） 由 22 nnS a n，得当 2n 时， 2112 ( 1)nnS a n ，则 22112 2 2n n n n na S S a a ， 221 2n n na a a 2 分 设等差数列 na 的公差为 d ，则 2 2 2 21 ( ) 2n n n na a d a a d d 4 分 22d ， 2d ； 1d ， 1 6 分 另解一： 设等差数列 na 的公差为 ( 0)dd ，则 21a a d， 312a a d ， 11Sa ， 212S a d， 3133S a d 2 分 由 22 nnS a n，可得211211222 ( 2 ) ( )2 (
3、3 3 ) ( 2 )aaa d a da d a d ，解得 1 111ad， 5 分 1 6 分 另解二： 设等差数列 na 的通项为 ( 0)na kn b k ，则 1() ( 2 )22nn n a a n k n k bS ， 由 22 nnS a n，可得 2( 2 ) ( )n kn k b kn b n ， 2 分 即 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )k n k b n k n k b n b ，则22220kkk b kbb ，解得 101kb 5 分 1 6 分 （ II） 由（I ） 得 22 nnS a n，当 1n 时， 21121aa，得 1 1a 8 分 1
4、 ( 1 ) 1 1na a n d n n 9 分 高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 2 页 共 8 页 2 1 2 11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nna a n n n n 11 分 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n 12 分 18 【解析】 （ I） 设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X ， Y ， 则 ( ) 6 0 0 0 0 . 4 7 0 0 0 0 . 3 8 0 0 0 0 . 2 9 0
5、0 0 0 . 1 7 0 0 0EX 1 分 ( ) 5 0 0 0 0 . 4 7 0 0 0 0 . 3 9 0 0 0 0 . 2 1 1 0 0 0 0 . 1 7 0 0 0EY 2 分 2 2 2 2 2( ) ( 6 0 0 0 7 0 0 0 ) 0 . 4 ( 7 0 0 0 7 0 0 0 ) 0 . 3 ( 8 0 0 0 7 0 0 0 ) 0 . 2 ( 9 0 0 0 7 0 0 0 ) 0 . 1 1 0 0 0DX ， 2 2 2 2 2( ) ( 5 0 0 0 7 0 0 0 ) 0 . 4 ( 7 0 0 0 7 0 0 0 ) 0 . 3 ( 9 0
6、0 0 7 0 0 0 ) 0 . 2 ( 1 1 0 0 0 7 0 0 0 ) 0 . 1 2 0 0 0DY 4 分 ( ) ( )E X E Y ， ( ) ( )D X D Y ， 即两家公司尽管月薪期望相同，甲公司不同职位月薪相对集中，乙公司不同职位月薪相对分散； 5 分 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司 （或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司 ） 6 分 （ II） 1 5.5513 5.024k ， 根据 表 中 对应 值，得出“ 选择意愿与年龄有关系 ” 的结论犯错的概率的上限是 0.025 7 分 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类 变量的 22 列
7、联表： 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 250 350 600 女 200 200 400 总计 450 550 1000 9 分 计算 22 1 0 0 0 (5 0 0 0 0 7 0 0 0 0 ) 2 0 0 0 6 . 7 3 46 0 0 4 0 0 4 5 0 5 5 0 2 9 7k 10 分 查表知得出结论 “ 选择意愿与性别有关 ” 的犯错概率上限为 0.01 11 分 由 0.01 0.025 ，所以与年龄变量相比，选择意愿与性别变量 关联 性更大 12 分 19 【解析】 （ I） 设点 O 为点 P 在底面 ABCD 的射影，连接 PO ， AO ，则 PO 底面
8、ABCD 分别作 OM AB ， ON AD ，垂足分别为 M ， N ，连接 PM ， PN 1 分 PO 底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ， PO AB ，又 OM AB ， OM OP O ， AB 平面 OPM ， PM 平面 OPM ， AB PM 2 分 同理 AD PN ，即 90AM P ANP 3 分 又 PAB PAD ， PA PA ， AMP ANP 4 分 AM AN ，又 AO AO ， Rt AMO Rt ANO 5 分 OAM OAN ，所以 AO 为 BAD 的平分线 6 分 高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 3 页 共
9、8 页 A BCDPxyzOMN（ II） 以 O 为原点，分别以 ,OM ON OP 所在直线为 ,xyz 轴，建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示： 4PA ， 60PAB， 2AM ； AB AD ， AO 为 BAD 的平分线， 45OAM， 2OM AM， 22AO ， 22 22P O P A A O 8 分 则 (2,1,0)B ， (0,0,2 2)P ， ( 2, 2,0)D ， ( 2,4,0)C ， (4,3,0)DB ， (2, 2, 2 2)DP ， (0,6,0)DC 9 分 设平面 BPD 的一个法向量为 1 1 1 1( , , )x y zn ，则由 1
10、 1 11 1 1 14 3 02 2 2 2 0D B x yD P x y z nn， 可取 1 (3 2 , 4 2 ,1)n 10 分 设平面 PDC 的一个法向量为 2 2 2 2( , , )x y zn ，则由 222 2 2 2602 2 2 2 0D C yD P x y z nn， 可取 2 ( 2,0, 1)n 11 分 所以 1212 12 6 1 5 5 1 7c o s , | | | 5 11 8 3 2 1 2 1 3 1 7 nnnn nn， 所以二面角 B PD C的余弦值为 51751 12 分 20 20 【解析】 （ I）设椭圆 1C 的半焦距为 c
11、，依题意，可得 ab ，且 (2 2,0)F ， 1 分 22c ， 3 2 2ac ， 2 分 3a ， 1b ，所以椭圆 1C 的方程为： 2 2 19x y 3 分 （ II）依题意，可知直线 PA 、 PB 的斜率存在且不为 0 ，不妨设直线 : ( 3 )( 0 )PA y k x k ，则直线 1: ( 3)PB y xk 4 分 联立 22( 3)19y k xx y ， 消元 y 整理得 2 2 2 2(1 9 ) 5 4 ( 8 1 9 ) 0k x k x k ， 则 2 2 2 2( 5 4 ) 4 ( 1 9 ) ( 8 1 9 ) 3 6 0k k k ， 226|
12、| 1 19PA k k ； 6 分 高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 4 页 共 8 页 同理可得 22221 6 6| | 1 11919kP B kkkk ， 8 分 所以 PAB 的面积 2221 1 8 (1 )| | | |2 (1 9 ) ( 9 )kkS P A P B kk 9 分 222 2 2 2 2 21 8 ( 1 ) 1 8 ( 1 ) 39 ( 1 ) 6 4 82 9 ( 1 ) 6 4k k k kkk kk 11 分 当且仅当 23( 1) 8kk ，即 473k 时， S 的值为 38 ，即 PAB 面积的最大值为 38 12
13、分 另解 1依题 意，可知直线 AB 的斜率不为 0 ，不妨设直线 : ( 3 3 )A B x m y t t ， 4 分 联立 22 19x my tx y ，消元 x 整理得 2 2 2( 9 ) 2 ( 9 ) 0m y m ty t ，设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y则 2 2 2 2 2( 2 ) 4 ( 9 ) ( 9 ) 3 6 ( 9 ) 0m t m t m t ，12 22 9mtyy m ， 212 2 99tyy m 6 分 PA PB ， 1 1 2 2 1 2 1 2( 3 , ) ( 3 , ) ( 3 ) ( 3 )P A P B x y
14、 x y m y t m y t y y 221 2 1 2( 1 ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) 0m y y m t y y t ，利用韦达定理代入整理得 25 27 36 0tt ， 解得 125t 或 3t （舍去），即直线 AB 过定点 12( ,0)5Q 8 分 则 28136( )25 m ， 12 3| | 3 55PQ ， 212 26 8 1 2 5| 59myy m 9 分 所以 PAB 的面积 2212 221 1 3 6 8 1 2 5 9 8 1 2 5| | | |2 2 5 5 9 2 5 2 2 5mmS P Q y y mm 令 281 25mu，则 2
15、225 81mu，29 9 9 31441 4 4 2 1 2 8uS uu u ， 11 分 当且仅当 144u u ，即 228 1 2 5 1 4 4mu ， 375m 时， PAB 的面积取得最大值为 38 12 分 另解 2当直线 AB 的斜率不存在时，可设 : ( 3 3)AB x t t ，则 PAB 是等腰直角三角形， 可设 ( ,3 )At t ，代入椭圆方程得 2 2(3 ) 19t t ，解得 125t ， 21 1 2 92 ( 3 )2 5 2 5PABS 4 分 当直线 AB 的斜率存在时，可设 :AB y kx m，设 11( , )Ax y ， 22( , )B
16、x y高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 5 页 共 8 页 联立 22 19y kx mx y ，消元 y 整理得 2 2 2(1 9 ) 1 8 ( 9 9 ) 0k x k m x m ， 则 2 2 2 2 2( 1 8 ) 4 ( 1 9 ) ( 9 9 ) 3 6 ( 9 1 ) 0k m k m k m ，12 21819kmxx k， 212 29919mxx k 7 分 PA PB ， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 3 , ) ( 3 , ) 3 ( ) 9 ( ) ( )P A P B x y x y x x x x k x m k x
17、 m 221 2 1 2( 1 ) ( 3 ) ( ) ( 9 ) 0k x x k m x x m ，利用韦达定理代入整理得 225 2 7 3 6 0m km k ， 解得 125mk 或 3mk 当 3mk 时， : ( 3)AB y k x过点 (3,0)P ，不合题意，舍去 当 125mk 时， 12: ( )5AB y k x过定点 12( ,0)5Q 9 分 则 2813 6 ( 1) 025 k ， 12 3| | 3 55PQ ， 21 2 1 2 26 8 1 2 5| | | | 5 1 9kky y k x x k 10 分 所以 PAB 的面积 2212 221 1
18、3 6 8 1 2 5 9 8 1 2 5| | | |2 2 5 5 1 9 2 5 2 2 5k k kS P Q y y kk 22 222228 1 2 5 1 4 49 ( )9 ( 8 1 2 5 ) 1 4 4 9 3 921 2 2 5 ( 1 9 ) 1 2 2 5 ( 1 9 ) 2 1 2 8 2 5kkkkkk 11 分 当且仅当 2281 25 144kk ，即 5721k 时， PAB 的面积取得最大值为 38 12 分 另解 3以点 P 为极点， x 轴正方向为极轴建立极坐标系， 则椭圆 1C 对应的极坐标方程为：26cos1 8sin （事实上，先把椭圆 1C
19、向左平移 3 个单位长度，得到 2 21 ( 3):19xCy ，整理为： 226 9 0x x y ，代入 c o s , sinxy ，得 2 2 2 2c o s 6 c o s 9 s i n 0 ，整理得26cos1 8sin ） 6 分 依题意，可设 1( , )A ，2 ( , )2B ，且1 26 cos1 8sin ，2 226 c o s( )6 sin2 1 8 c o s1 8 sin ( )2 ， 所以 PAB 的面积12 2 2 21 1 | 3 6 s i n c o s | 9 | s i n 2 |2 2 ( 1 8 s i n ) ( 1 8 c o s )
20、 9 1 6 s i n 2S 9 分 令 |sin2 | t ，则 (0,1t ，29 9 9 399 1 6 2 1 2 816tS ttt ， 11 分 高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 6 页 共 8 页 当且仅当 9 16tt ，即 2 9sin 2 16 ， 3sin2 4 时， PAB 的面积取得最大值为 38 12 分 21 【解析】 （ I） ()fx的定义域为 (0, ) ， 3( ) ln 2af x x x 1 分 由题意知：000 0 0 000121( ) ln231ln22yxy x a x xaxx ， 2 分 则 0000( ) l
21、n 0ln 1 0x a xaxx ，解得： 0 11xa 或 01xaa ， 1a 4 分 （ II）令 3( ) ( ) ln 2ag x f x x x ，则21() agx xx 1 2e2e a ， 2( ) 0xagx x ， 即 ()gx是 (0, ) 上的增函数 5 分 以下证明 ()gx在区间 ( ,2)2a a 上有唯一零点 0x 事实上， 31( ) l n l n2 2 2 2 22a a a ag a ， 3( 2 ) l n ( 2 ) l n ( 2 ) 122ag a a aa ， 1 2e2e a ， 2 e 1( ) ln 02 2 2ag ， 1( 2 )
22、 ln ( 2 ) 1 02ega 由零点的存在性定理， ()gx在区间 ( ,2)2a a 上有唯一零点 0x 7 分 在区间 0(0, )x 上， ( ) ( ) 0g x f x， ()fx是减函数；在区间 0( , )x 上， ( ) ( ) 0g x f x， ()fx是增函数；故当 0xx 时， ()fx取得极小值0 0 0 01( ) ( ) ln 2f x x a x x ， 9 分 00 0 3( ) ln 02ag x x x ， 0 0 3ln 2ax x， 20 0 0 0003 1 5( ) ( ) ( )2 2 2aaf x x a x a xxx ，即0 0 00
23、1( ) ( ) ( 2 )2af x x a xx ， 11 分 0 ( ,2 )2axa， 0( ) 0fx ， 故当 1 2e2e a 时， ( ) 0fx 12 分 另证 ( ) 0 ( ) 0f x x f x ，令 ( ) ( )h x x f x 5 分 则 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) l n 2 ( 2 ) ( 1 l n )h x f x x f x x a x x a x a x 高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 7 页 共 8 页 令 ( ) 0hx ，即 (2 )(1 ln ) 0x a x ，得1 2ax，2 1ex6 分 当 12
24、xx ，即 12ea ， 2ea 时， ( ) 0hx ， ()hx是 0, 上的增函数； 7 分 当 12xx ，即 12ea ， 122e ea 时， 当 (0, )2ax 时， ( ) 0hx ， ()hx单调递增；当 1( , )2eax 时 ，( ) 0hx ， ()hx单调递减；当 1( , )ex 时， ( ) 0hx ， ()hx单调递增；故当 2xx 时， ()hx取得极小值2 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) l ne e e e 2 eh x h a 11) 0e 2ea 9 分 当 21xx ， 即 1e2a ， 2 2ee a 时， 当 1(0, )ex 时
25、， ( ) 0hx ， ()hx单调递增；当 1( , )e2ax 时 ，( ) 0hx ， ()hx单调递减；当 ( , )2ax 时， ( ) 0hx ， ()hx单调递增；故当 1xx 时， ()hx取 得 极小值 221 1( ) ( ) ( ) l n ( l n )2 2 2 2 8 4 2 2a a a a a a ah x h a 2 2ee a ， 1 ee2a ， 1ln22a ， 1 ln 022a， 即 21 1( ) ( ln ) 04 2 2aahx 11 分 对任意的正数 a ，当 0 min ,1xa 时， ( )ln 0x a x， 21( ) ( ) ln
26、02h x x x a x x 综上所述，当 1 2e2e a 时， ( ) 0fx 12 分 22 【解析】 （ I） 曲线 C 的普通方程为 22( 2) 4xy 2 分 化简得 224x y y，则 2 4 sin ，所以曲线 C 的极坐标方程为 4sin 4 分 （ II） 由直线 l 的参数方程可知，直线 l 必过点 (0,2) ，也就是圆 C 的圆心，则 2MON6 分 不妨 设 1( , )M ，2 ( , )2N ，其中 (0, )2 7 分 则12 | | | | 4 s i n 4 s i n ( ) 4 ( s i n c o s ) 4 2 s i n ( )24O M
27、 O N 9 分 所以当 4 时， | | | |OM ON 取得最大值为 42 1 0 分 23 【解析】 （ I） (1 ) ( 1 ) | 1 | | 1 | 1f f a a ， 若 1a ，则 1 1 1aa ，得 21 ，即 1a 时恒成立； 1 分 若 11a ，则 1 (1 ) 1aa ， 得 12a ，即 11 2a ； 2 分 若 1a ，则 (1 ) (1 ) 1aa ，得 21，即不等式 无解 3 分 综上所述， a 的取值范围是 1( , )2 4 分 高三教学质量检测（一 ） 理 科数学 参考答案与评分标准 第 8 页 共 8 页 （ II） 由题意知，要使得不等式恒成立，只需m a x m i n5 ( ) 4f x y y a 5 分 当 ( , xa 时， 2()f x x ax ， 2m a x ( ) ( )24aaf x f6 分 5544y y a a ， 当 5 , 4ya 时，m i n5 5 54 4 4y y a a a 8 分 则 2 544a a ，解得 15a ，结合 0a ，所以 a 的取值范围是 (0,5 10 分
