1、3 . 3 . 3 函数的最大 ( 小 ) 值与导数 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 目标导航 预习导引 学习目标 1 .能记住函数最值的概念 ,能分析函数的最值与极值的区别和联系 ; 2 .会用导数求给定区间上的函数的最大( 小 ) 值 . 重点难点 重点 : 利用导数求函数的最大值和最小值 ; 难点 : 1 .理解最值与极值的区别和联系 ; 2 .最值综合问题 . 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 目标导航 预习导引 1.函数 f(x)在闭区间 a,b上的最值 如果在区间 a,b上函数 y=f(x)的图象是一条连
2、续不断的曲线 ,则该函数在 a,b上一定能够取得 最大值 和 最小值 ,并且函数的最值必在 极值 或 端点值 取得 . 2.函数最值的求法 求函数 f(x)在 a,b上的最值可分两种情况进行 : (1)当函数 f(x)单调时 :若函数 y=f(x)在 a,b上单调递增 ,则 f(a)为函数的 最小值 ,f(b)为函数的 最大值 ;若函数 y=f(x)在 a,b上单调递减 ,则 f(a)为函数的 最大值 ,f(b)为函数的 最小值 . (2)当函数 f(x)不单调时 : 求 y=f(x)在 (a,b)内的 极 值 ; 将 y=f(x)的各 极 值与 f(a),f(b)比较 ,其中最大的一个为最大
3、值 ,最小的一个为最小值 . 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 目标导航 预习导引 判一判 (正确的打 “”,错误的打 “ ”). (1)函数的最大值一定是函数的极大值 . ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值 . ( ) (3)函数 f(x)在区间 a,b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得 . ( ) 提示 :(1) (2) (3) 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 一、求函数的最值 (1)函数的最值是一个整体性的概念 .函数极值是在局部区间上对函数值的比较 ,具有
4、相对性 ;而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况 ,是对整个区间上的函数值的比较 . (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值 ,则最大值或最小值只能各有一个 ,具有唯一性 ,而极大值和极小值可能多于一个 ,也可能没有 ,例如 :常数函数就既没有极大值也没有极小值 . (3)极值只能在区间内取得 ,最值则可以在端点处取得 ;有极值的不一定有最值 ,有最值的也未必有极值 ;极值有可能成为最值 ,最值只要不在端点处取必定是极值 . 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 【例 1】 (1)函数 y=x-sin x,
5、则当 x 0,时 ,函数的最大值为 . 思路分析 :先对函数求导 ,判断函数的单调性 ,再求最值 . 答案 : 解析 :y=1-cos x. x 0, -1 cos x 1. y=1-cos x 0. y=x-sin x在 x 0,上单调递增 . x=时 ,y取最大值为 . 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 (2)求函数 f(x)=-x4+2x2+3,x -3,2的最值 . 思路分析 :方法一 :求 f(x) 令 f(x)=0得到相应的 x的值 列表 确定极值点 求极值与端点处的函数值 比较大小确定最值 方法二 :
6、求 f(x) 求极值点 比较极值与端点值的大小确定最值 解 :方法一 :f(x)=-4x3+4x, 令 f(x)=-4x(x+1)(x-1)=0, 得 x=-1,x=0,x=1. 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 当 x变化时 ,f(x)及 f(x)的变化情况如表 : 当 x=-3时 ,f(x)取最小值 -60; 当 x=-1或 x=1时 ,f(x)取最大值 4. x - 3 ( - 3, - 1) - 1 ( - 1, 0) 0 ( 0,1) 1 ( 1,2) 2 f ( x ) + 0 - 0 + 0 - f
7、( x ) - 60 单调递 增 极大 值 4 单调递 减 极小 值 3 单调递 增 极大 值 4 单调递 减 - 5 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用 方法二 : f(x)=-x4+2x2+3, f(x)=-4x3+4x. 令 f(x)=0,即 -4x3+4x=0. 解得 x=-1或 x=0或 x=1. 又 f(-3)=-60,f(-1)=4,f(0)=3,f(1)=4,f(2)=-5, 当 x=-3时 ,f(x)有最小值 -60. 当 x= 1时 ,f(x)有最大值 4. 3.3.3 函数的最大 (小 )值与导数 预习新知 导学探究 触类旁通 一 二 三 知识精要 典题例解 迁移应用
