1、弧长与扇形面积一、选择题1. （2014浙江杭州，第 2 题，3 分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ）A12cm 2 B15cm 2 C24cm 2 D30cm 2考点： 圆锥的计算专题： 计算题分析： 俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长母线长2解答： 解：底面半径为 3，高为 4，圆锥母线长为 5，侧面积=2rR2=15cm 2故选 B点评： 由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形2. (2014年山东东营,
2、第 5 题 3 分)如图，已知扇形的圆心角为 60，半径为 ，则图中弓形的面积为（ ）A B C D考点： 扇形面积的计算菁优网分析： 过 A 作 ADCB，首先计算出 BC 上的高 AD 长，再计算出三角形 ABC 的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积解答： 解：过 A 作 ADCB，CAB=60，AC=AB，ABC 是等边三角形，AC= ，AD=ACsin60= =，ABC 面积： = ，扇形面积： = ，弓形的面积为： = ，故选：C点评： 此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S= 3 （2014四川泸州，第 7 题，3 分）一个圆锥的底面
3、半径是 6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（ ）A9cm B12cm C15cm D18cm解答： 解：圆锥的母线长=2 6 =12cm，故选 B点评： 本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点4 （2014四川南充，第 9 题，3 分）如图，矩形 ABCD 中， AB=5， AD=12，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）A B 13 C 25 D 25分析：连接 BD， B D，首先根据勾股定理计算出 BD 长，再根据弧长计算公式计算出 ，的长，然后再求和计算出点 B 在两次旋转
4、过程中经过的路径的长即可解：连接 BD， B D， AB=5， AD=12， BD= =13， = = ， = =6 ，点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是： +6 = ，故选： A点评： 此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式 l=5 （2014甘肃兰州,第 1 题 4 分）如图，在ABC 中，ACB=90，ABC=30，AB=2将ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60得ABC，则点 B 转过的路径长为（ ）A B C D 考点： 旋转的性质；弧长的计算分析： 利用锐角三角函数关系得出 BC 的长，进而利用旋转的性质得出BCB=60，再利用弧长公式求出即可解
5、答： 解：在ABC 中，ACB=90，ABC=30，AB=2，cos30= ，BC=ABcos30=2 = ，将ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60得ABC，BCB=60，点 B 转过的路径长为： = 故选：B点评： 此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点 B 转过的路径形状是解题关键2.3.4.5.6.7.8.二、填空题1. （2014四川巴中，第 15 题 3 分）若圆锥的轴截面是一个边长为 4 的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是 考点：圆锥的侧面展开图，等边三角形的性质分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
6、半径等于圆锥的母线长得到扇形的弧长为 4 ，扇形的半径为 4，再根据弧长公式求解解答：设这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数为 n，根据题意得 4 =，解得 n=180故答案为 180点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长2. （2014山东威海，第 18 题 3 分）如图， A 与 B 外切于 O 的圆心 O， O 的半径为1，则阴影部分的面积是 考点： 圆与圆的位置关系；扇形面积的计算分析： 阴影部分的面积等于 O 的面积减去 4 个弓形 ODF 的面积即可解答： 解：如图，连接 DF、 DB、 FB、
7、OB， O 的半径为 1， OB=BD=BF=1， DF= ， S 弓形 ODF=S 扇形 BDF S BDF= = ， S 阴影部分= S O4 S 弓形 ODF= 4（ ）= 故答案为：点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是明确不规则的阴影部分的面积如何转化为规则的几何图形的面积3. （2014山东枣庄，第 16 题 4 分）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为 1cm，则中间阴影部分的面积为 4 cm 2考点： 扇形面积的计算；相切两圆的性质分析： 根据题意可知图中阴影部分的面积=边长为 2 的正方形面积一个圆的面积解答： 解：半径为 1cm 的四个圆两两相切，四边
8、形是边长为 2cm 的正方形，圆的面积为 cm 2，阴影部分的面积=22=4（cm 2），故答案为：4点评： 此题主要考查了圆与圆的位置关系和扇形的面积公式本题的解题关键是能看出阴影部分的面积为边长为 2 的正方形面积减去 4 个扇形的面积（一个圆的面积）4. （2014山东潍坊，第 15 题 3 分）如图，两个半径均为 3的 O1与 O2相交于 A、 B两点,且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）考点：相交两圆的性质；菱形的性质分析：连接 O1O2，由题意知，四边形 AO1BO2B 是菱形，且 AO1O2， BO1O2都是等边三角形，四边形 O1AO2B 的面积
9、等于两个等边三角形的面积据此求阴影的面积解答：连接 O1O2，由题意知，四边形 AO1BO2B 是菱形，且 AO1O2， BO1O2都是等边三角形，四边形 O1AO2B 的面积等于两个等边三角形的面积， SO1AO2B=2 3)(43S 扇形 AO1B= 360)(2 S 阴影 =2（ S 扇形 AO1B SO1AO2B）= 故答案为： 点评：本题利用了等边三角形判定和性质，等边三角形的面积公式、扇形面积公式求解5. （2014山东烟台，第 17 题 3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，若 O 的半径为4，则阴影部分的面积等于 考点：圆内接正多边形，求阴影面积分析：先正确作辅助线
10、，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积解答：连接 OC、 OD、 OE， OC 交 BD 于 M， OE 交 DF 于 N，过 O 作 OZ CD 于 Z，六边形 ABCDEF 是正六边形， BC=CD=DE=EF， BOC= COD= DOE= EOF=60，由垂径定理得： OC BD， OE DF， BM=DM， FN=DN，在 Rt BMO 中， OB=4， BOM=60， BM=OBsin60=2 ， OM=OBcos60=2， BD=2BM=4 ， BDO 的面积是 BDOM=4 2=4 ，同理 FDO 的面积是 4 ； C
11、OD=60， OC=OD=4， COD 是等边三角形， OCD= ODC=60，在 Rt CZO 中， OC=4， OZ=OCsin60=2 ， S 扇形 OCD S COD= 42 = 4 ，阴影部分的面积是：4 +4 + 4 + 4 = ，故答案为： 点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中6. （2014山东聊城，第 15 题，3 分）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为 100，扇形的圆心角为 120，这个扇形的面积为 300 考点： 圆锥的计算；扇形面积的计算分析： 首先根据底面圆的面积
12、求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可解答： 解：底面圆的面积为 100，底面圆的半径为 10，扇形的弧长等于圆的周长为 20，设扇形的母线长为 r，则 =20，解得：母线长为 30，扇形的面积为 rl=1030=300，故答案为：300点评： 本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式7. （2014浙江杭州，第 16 题，4 分）点 A，B，C 都在半径为 r 的圆上，直线 AD直线BC，垂足为 D，直线 BE直线 AC，垂足为 E，直线 AD 与 BE 相交于点 H若 BH= AC，则ABC 所对的弧长等于 r 或 r
13、（长度单位） 考点： 弧长的计算；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值专题： 分类讨论分析： 作出图形，根据同角的余角相等求出H=C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出ACD 和BHD 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 ，再利用锐角三角函数求出ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2倍求出ABC 所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解解答： 解：如图 1，ADBC，BEAC，H+DBH=90，C+DBH=90，H=C，又BDH=ADC=90，ACDBHD， = ，BH= AC， = ，ABC=30，ABC 所对的弧长所对的圆
14、心角为 302=60，ABC 所对的弧长= =r如图 2，ABC 所对的弧长所对的圆心角为 300，ABC 所对的弧长= =r故答案为：r 或 r点评： 本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观8.（2014遵义 15 （4 分） ）有一圆锥，它的高为 8cm，底面半径为 6cm，则这个圆锥的侧面积是 60 cm 2 （结果保留 ）考点： 圆锥的计算分析： 先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得解答： 解：圆锥的母线= =10cm，圆锥的底面周长 2r=12cm，圆锥的侧
15、面积=lR=1210=60cm 2故答案为 60点评： 本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为 lR9.（2014十堰 16 （3 分） ）如图，扇形 OAB 中，AOB=60，扇形半径为 4，点 C 在 上，CDOA，垂足为点 D，当OCD 的面积最大时，图中阴影部分的面积为 24 考点： 扇形面积的计算；二次函数的最值；勾股定理分析： 由 OC=4，点 C 在 上，CDOA，求得 DC= = ，运用 SOCD=OD ，求得 OD=2 时OCD 的面积最大，运用阴影部分的面积 =扇形AOC 的面积OCD 的面积求解解答： 解：OC=4，点 C
16、 在 上，CDOA，DC= =S OCD =OD =OD2（16OD 2）=OD 44OD 2=（OD 28） 2+16当 OD2=8，即 OD=2 时OCD 的面积最大，DC= = =2 ，COA=45，阴影部分的面积=扇形 AOC 的面积OCD 的面积= 2 2 =24，故答案为：24点评： 本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出 OD=2 时OCD 的面积最大10. （2014江苏徐州,第 13 题 3 分）半径为 4cm，圆心角为 60的扇形的面积为 cm2考点： 扇形面积的计算菁优网分析： 直接利用扇形面积公式求出即可解答： 解：半径为 4cm，圆心角为 60的扇形的面
17、积为： =（cm 2） 故答案为：点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键11. （2014江苏盐城,第 17 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB= ，AD=1，把该矩形绕点 A 顺时针旋转 度得矩形 ABCD，点 C落在 AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 考点： 旋转的性质；矩形的性质；扇形面积的计算分析： 首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出 SABC ，S 扇形BAB ，即可得出阴影部分面积解答： 解：在矩形 ABCD 中，AB= ，AD=1，tanCAB= = ，AB=CD= ，AD=BC= ，CAB=30，BAB
18、=30，S ABC =1 = ，S 扇形 BAB = = ，S 阴影 =SABC S 扇形 BAB = 故答案为： 点评： 此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键12 （2014四川遂宁，第 13 题，4 分）已知圆锥的底面半径是 4，母线长是 5，则该圆锥的侧面积是 20 （结果保留 ） 考点： 圆锥的计算分析： 圆锥的侧面积=底面周长母线长2解答： 解：底面圆的半径为 4，则底面周长=8 ，侧面面积=8 5=20 故答案为：20 点评： 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解13 （2014四川内江，第 25 题，6 分
19、）通过对课本中硬币滚动中的数学的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图） 在图中，有 2014 个半径为 r 的圆紧密排列成一条直线，半径为 r 的动圆 C 从图示位置绕这 2014 个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆 C 自身转动的周数为 2014 考点： 弧长的计算；相切两圆的性质；轨迹分析： 它从 A 位置开始，滚过与它相同的其他 2014 个圆的上部，到达最后位置则该圆共滚过了 2014 段弧长，其中有 2 段是半径为 2r，圆心角为 120 度，2012 段是半径为2r，圆心角为 60 度的弧长，所以可求得解答： 解：弧长= =1314r，又因为
20、是来回所以总路程为：13142=2628所以动圆 C 自身转动的周数为：2628r2r=1314故答案为：1314点评： 本题考查了弧长的计算关键是理解该点所经过的路线三个扇形的弧长14（2014广州,第 14 题 3 分）一个几何体的三视图如图 4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_（结果保留 ）【考点】三视图的考察、圆锥体全面积的计算方法【分析】从三视图得到该几何体为圆锥体，全面积=侧面积+底面积，底面积为圆的面积为：，侧面积为扇形的面积 ，首先应该先求出扇形的半径 R，由勾股定理得， ，则侧面积 ，全面积 【答案】7.8.三、解答题1 （2014湖南怀化，第 22 题，10 分）如图
21、，E 是长方形 ABCD 的边 AB 上的点，EFDE 交BC 于点 F（1）求证：ADEBEF；（2）设 H 是 ED 上一点，以 EH 为直径作O，DF 与O 相切于点 G，若 DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位， 1.73，3.14） 考点： 切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；特殊角的三角函数值专题： 综合题分析： （1）由条件可证AED=EFB，从而可证ADEBEF（2）由 DF 与O 相切，DH=OH=OG=3 可得ODG=30，从而有GOE=120，并可求出 DG、EF 长，从而可以求出DGO、DEF、扇形 OEG 的面积，进而
22、可以求出图中阴影部分的面积解答： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，A=B=90EFDE，DEF=90AED=90BEF=EFBA=B，AED=EFB，ADEBEF（2）解：DF 与O 相切于点 G，OGDGDGO=90DH=OH=OG，sinODG= =ODG=30GOE=120S 扇形 OEG= =3在 RtDGO 中，cosODG= = = DG=3 在 RtDEF 中，tanEDF= = = EF=3 S DEF =DEEF=93 = ，SDGO =DGGO=3 3= S 阴影 =SDEF S DGO S 扇形 OEG= 3=.9 391.7333.14=6.156.2图中阴影部分的面积约为 6.2点评： 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积
