1、3.1. 3 导数的几何意义自学目标:1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题重点: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.难点: 导数的几何意义教材助读:1.曲线的切线及切线的斜率如图 3.1-2,当 沿着曲线 趋近于点 时,割(,)(1,234)nnPxf()fx0(,)Pxf线 的变化趋势是什么？n我们发现,当点 沿着曲线无限接近点 即 时,割线 趋近于确定的nPP0xnP位置,这个确定位置的直线 称为曲线在点 处的切线.T问题: (1)割线 的斜率 与切线 的斜率 有什么关系？nnkk
2、(2)切线 的斜率 为多少？容易知道,割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点nP0()nfxfnP时,P无限趋近于切线 的斜率 ,即nkTk000()(lim()xfxffx说明: (1)设切线的倾斜角为 ,那么当 时,割线 的斜率,称为曲线在点 处的切线的斜率.0xPQP这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 处的导数.0x图 3.1-2(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可
3、以无穷多.2.导数的几何意义函数 在 处的导数等于在该点 处的切线的斜率,)(xfy0 0(,)xf即 0)(limfxf k 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 点的坐标;P求出函数在点 处的变化率 得到曲线在点0x000()()limxfxff k 的切线的斜率;0(,)xf利用点斜式求切线方程.3.导函数由函数 在 处求导数的过程可以看到,当 时, 是一个)(xfy0 0x0()f确定的数,那么,当 变化时,便是 的一个函数,我们叫它为 的导函数.x记作: 或 ,即 .()f 0()()limfffy注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4.函数 在点 处的导数 、导函
4、数 、导数之间的区别与联系()fx00()fx()fx(1)函数在一点处的导数 ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点 而言的,就是函数 的导函数.x)(xf(3)函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值,这()fx00()f()f0也是求函数在点 处的导数的方法之一.预习自测1、求双曲线 在点 处的切线的斜率,并写出切线方程.1yx(2)请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。来源:高考试题库 GkStK来源:GkStK.Com合作探究 展示点评 探究一：导数的应用例
5、1 (1)求曲线 在点 处的切线方程.1)(2xfy)2,(P(2)求函数 在点 处的导数.3,)来源:GkStK.Com探究二：导数的实际应用例 2 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,2()4.96.510hxx根据图像,请描述、比较曲线 在 、 、 附近的变化情况.()ht01t2当堂检测 1.求曲线 在点 处的切线.3)(xfy(1,)2.求曲线 在点 处的切线yx(4,2)来源:高考试题库拓展提升 1. 已知曲线 上一点,则点 处的切线斜率为（ ）2yx(2,8)AA. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）21(,3)PA Byx47yxC D 来源:学优高考网43. 已知函数 在 处的导数为 11，则()f0x= 00(limxfx高:考试题库
