1、【黄冈中考】备战 2012 年中考数学操作探究的押轴题解析汇编一操作探究一、选择题11.（2011 湖北孝感，11，3 分）如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75至 OABC的位置，若 OB=2 ，C=120，则点 B3的坐标为 A.（3， ） B.（3， ） C.（ ， ） D. （ ， ）66【解题思路】根据C=120得到AOB=30,再根据将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75至 OABC的位置可知 AO B=45,而 OB=2 ，所以,过点 B作 BM 与 x 轴3垂直，则可以求出点 B的坐标 .A,C 在第一象限,故不对
2、,而 B 是计算错误.【答案】D.【点评】主要考查旋转的性质,解直角三角形以及点的坐标的求法.是一道小知识点的综合题.但是解题思路简单,容易上手难度中等1. （2011 安徽芜湖，9，4 分）如图，从边长为（a4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 cm 的正方形 ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则1a(0)矩形的面积为（ ）.A B C D22(5)cm2(315)cma2(69)cma61a【解题思路】由动态的操作过程，不难得到：所求的面积=原正方形面积减去的正方形面积=( a+4) 2( a+1) 2=(6 a+15) cm2，故选 D.【答案】D.【点评】由图形的变化
3、其求图形的面积，是常用的解决数形结合问题的手段，本题的求解关键是在变化的过程中抓住不变的因素，而正确运用乘法公式也是非常重要的环节.难度中等.2. (2011 广东广州， 8，3 分 )如图所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，接/ 152着对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）C DB(A)ABABC D图 1A B C D图形(1) 图形 (2) 图形(3)【解题思路】先画出中的图形(1)(2)(3)关于直线 CD 的轴对称图形图形 (2)，再画出图形(2) 直线 AB 的轴对称图形图形(3),根据图形可知选择答案 D
4、。【答案】D【点评】本题考查的是轴对称图形。认真观察图形的特点，理清图形之间的关系是解题的关键，本题难度中等。3.1. （2011 台湾 15）图(三)的坐标平面上有一正五边形 ABCDE，其中 C、 D 两点坐标分别为(1,0)、(2,0) 。若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着 x 轴向右滚动，则滚动过程中，下列何者会经过点(75 , 0)？(A) A (B) B (C) C (D) D【分析】：由于是正五边形，所以在滚动过程中，这个五边形会重复以前的过程，五次一循环，75 是 5 的倍数，易知此种循环落在点 B.【答案】：B【点评】：可以认为是规律循环，动手操作将极易发现特点。难度较小
5、2. （2011 台湾 20）图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？421(A) 11 (B) 12(C) 13 (D) 14【分析】：通过割补法化不规则图形为规则图形.【答案】：B【点评】：本题关键是如何割补进行转化，见下图。难度较小.3. （2011 台湾 26）如图(七),将某四边形纸片 ABCD 的 向 方向折过去（其中ABCAB ），使得 A 点落在 上，展开后出现折线 ，如图(八)。将 B 点折向 D，使CCD得B、 D 两点重迭，如图(九),展开后出现折线 ，如图(十)。根据图(十)
6、，判断下列关系何E者正确？(A) / (B) / (C) ADB BDC (D) ADB BDCADBCD【分析】：有折叠可以知道 BD 是ABC 的角平分线，BC=CD，ABD=DBC DBC=BCD ABD=BDC , ABCD 【答案】：B【点评】：本题考察了角平分线定义、等边对等角、平行线的判定。难度中等二、填空题（2011 江苏泰州，18，3 分）如图，平面内 4 条直线 l1、l 2、 l3、 l4 是一组平行线，相邻2 条平行线的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上，其中点 A、C 分别在直线 l1、l 4 上，该正方形的面
7、积是 平方单位。l 1l2l3l4【解题思路】如图所示，根据题意，构造的正方形应该有两种情况，左图的面积为 33=9/ 154个平方单位，右图的面积为 4 个小直角三角形的面积与中间正方形面积的和，即。2145【答案】9 或 5【点评】本题设计了利用一组平行线构造正方形的问题，主要考查学生的作图能力和思维的严密性，其中也涉及到全等、勾股定理、面积的计算等有关知识。题目构思巧妙，设计新颖，是一道不可多得的好题。难度中等。（2011 常州市第 17 题,2 分）把棱长为 4 的正方体分割成 29 个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为 1 的正方体的个数为 。【解题思路】由所分割正方体的棱
8、长是正整数，所以棱长可能为 1,2,3，不可能是 4.设棱长为 1 的正方体的个数为 x 个，分三种情况：（1）棱长为 3 的正方体 0 个时，根据题意得，x+8(29-x)=64,x=24;（2）棱长为 3 的正方体 1 个时，根据题意得，x+8(28-x)+27=64,x 无正整数解；（3）棱长为 3 的正方体 2 个时，根据题意得，x+8(27-x)+54=64,x 无正整数解。综上所述，棱长为 1 的正方体的个数为 24.【答案】填 24.【点评】解答本题的关键是分类讨论和建立方程的思想来解决问题.三、解答题4. （2011 湖北荆州，15，4 分）请将含 顶角的菱形分割成至少含一个等
9、腰梯形且面积06相等的六部分，用实线画出分割后的图形.【解题思路】从面积上看，菱形的面积为 ，所以必须保证每个图形的面积为318；从图形上看，菱形网格一共有六行，可先将整个菱形分成三等分，再根据图形的特3点从不同的角度将其分成两等分.【答案】l 1l2l3l4CDABl 1l2l3l4AB CD【点评】此类问题答案不唯一，画图时一定要满足题目给出的条件.5. （2011 江西南昌，25，10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC= （0 90）.现把小棒依次摆放在两射线 AB，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点 A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒
10、与小棒在两端点处互相垂直，A 1A2为第 1 根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设 AA1=A1A2=A2A3=1. = 度；若记小棒 A2n-1A2n的长度为 an（n 为正整数，如 A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时 a2，a 3的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示）.活动二：如图乙所示，从点 A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2为第 1 根小棒，且A1A2= AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了 3 根小棒， 则= ， = ，12 = 3；（用含 的式子表示）（4）若只能摆放 4 根小棒，求 的范围. 【解题
11、思路】活动一：（1）可以发现 A1A2A 3A4A 5A6 ，角度不变，所以小棒能无限摆下去；（2）AA 1=A1A2=A2A3=1，可知A 1A2A3是等腰直角形、AA 1A2是等腰三解形，所以A 2A1A3=45=2A，即 =22.5，A 3A4= AA3= AA1+ A1A2，同理照此规律可以求出的A2n-1A2n长度，当然也可以利用三角形相似去解活动二：（3）由等腰三角形和三角形外角的性质，很容易求出 、 、 ；（4）由（3）的规律（ 4）摆放 4 根小棒后 =5 ，12 4是等腰三角形A 5A4A6的一个底角，所以 5 90，由题意只能摆 4 根小棒，所以又4 得 6 90，解得 1
12、5 18【答案】解：（1）能（2）22.5方法一：/ 156AA 1=A1A2=A2A3=1， A 1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .2又A 2A3A 3A4，A 1A2A 3A4.同理：A 3A4A 5A6，A=AA 2A1=AA 4A3=AA 6A5，AA 3=A3A4，AA 5=A5A6，a 2= A3A4=AA3=1+ ,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.A 3A5= a2,a 3=A5A6=AA5=a2+ a2=( +1)2.方法二：AA 1=A1A2=A2A3=1， A 1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .2又A 2A3A 3A4，A 1A2
13、A 3A4.同理：A 3A4A 5A6，A=AA 2A1=AA 4A3=AA 6A5，a 2=A3A4=AA3=1+ ,又A 2A3A4=A 4A5A6=90，A 2A4A3=A 4A6A5，A 2A3A4A4A5A6， ，a 3= =( +1)2.21a12an=( +1)n-1.(3) 4321(4)由题意得 ，15 18.9056【点评】本题是一道以摆小棒活动的课题学习，通过学生的动手操作，探究，掌握数学的思维过程、以及数学中的有关内在规律，本题在活动中考查了等腰三角形、勾股定理、外角、相似等知识，阅读量相对较大，字母较多，书写有一定的困难，要求学生有较强的知识迁移能力，分析问题、转化问
14、题的能力，难度较大（2011 江苏盐城，27，12 分）情境观察将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到ABC 和ACD，如图 1 所示.将ACD的顶点 A与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、A( A)、B 在同一条直线上，如图 2 所示图 1 图 2CABAD CA BCDBCD A(A)C观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 ，CAC = 问题探究如 图 3， ABC 中 ， AG BC 于 点 G， 以 A 为 直 角 顶 点 ， 分 别 以 AB、 AC 为 直 角 边 ， 向ABC 外作等腰 RtABE 和等腰 RtACF ，过点 E、F 作射线 GA
15、 的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论 .图 3AB CE FGPQ拓展延伸如图 4，ABC 中，AGBC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向ABC 外作矩形ABME 和矩形 ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC= k AF，试探究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由.图 4M NGFECBAH【解题思路】第（1）题易知ABCACD ，所以 BC=AD，CAC=180-DAC-BAC=90；第（2 ）题可以利用（1）题思路证 RtABGRt EAP 和 RtACGRtFAQ ，可得 EP、 AQ 都等于
16、 AG；第（3）题将全等迁移到相似，根据第（2）题图形暗示构造辅助线，过点 E 作 EPGA，FQGA ，垂足分别为 P、Q证 RtABGRtEAP 和 RtACGRt FAQ，得到 EP=FQ，再证 RtEPHRtFQH 即可. 【答案】解：情境观察 AD（或 AD），90 问题探究结论：EP=FQ. 证明：ABE 是等腰三角形，AB=AE，BAE =90.BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG =90，ABG=EAP.EPAG ，AGB=EPA=90，Rt ABG Rt EAP. AG=EP.同理 AG=FQ. EP =FQ. 拓展延伸结论： HE=HF. 理由：过点 E 作 EP
17、GA，FQGA ，垂足分别为 P、Q.四边形 ABME 是矩形，QPHAB CE FG NM/ 158BAE =90，BAG+EAP=90.AG BC，BAG+ABG=90，ABG =EAP.AGB=EPA=90，ABGEAP， = . AGEP ABEA同理ACGFAQ， = . AGFP ACFAAB= k AE ，AC= k AF， = = k，ABEA ACFA = . EP=FQ . AGEP AGFPEHP=FHQ ，Rt EPH Rt FQH. HE= HF.【点评】此题属于探究型问题，考查了三角形全等、相似方面的知识。解决探究型问题时要认真审题，充分利用转化、类比等方法找到小题
18、之间的内在联系，找到解题思路难度中等26（2011 辽宁大连，26，12 分）如图 15，抛物线 yax 2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB求该抛物线的解析式；抛物线上是否存在一点 Q，使 QMB 与PMB 的面积相等，若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM 与RMB 的面积相等，若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由【解题思路】（1）把 A、B、C 三点的坐标代入yax 2+bx+c， 得到三元一次方程组，解出 a、b、
19、cj即可；因为 A、B 是抛物线与 x 轴的交点，也可以把抛物线设成 y=a（x+1）（x-3 ），然后代入 C 得坐标。（2）若使QMB 与PMB 的面积相等，须等底等高，因此考虑和 BC 平行的直线 PQ 和 l，求出它们的解析式，在求它们与二次函数的交点，就是点 Q 的坐标；（3）（图 b）要使RPM 与RMB 的面积相等，须等底等高，MR 要是底的话，点 P、B到 MR 的距离 PN 抽查（图中没有画出来）=BD ，易证三角形 PNE 与三角形 BDE 全等，因此 PE=BE，点 M 为 PF 的中点，E 为 PB 的中点，因此 ME 与 x 轴平行，点 M 与 N 重合，把 y=2
20、代入二次函数即可求点 R 的横坐标（舍掉不符合题意的那个）。yxMPOCBA图 15【答案】（1）依题可知 解得 所以抛物线的解析式为 y= -cba390321cbax2+2x+3（2）（图 a）y= -x 2+2x+3 可变形为 ，所以顶点坐标 P（1,4）412xy设 BC 的解析式为 B（3，0）、C（0，3） bkxybk3031k3xy点 M 的纵坐标 y=-1+3=2，即 M（1,2）设对称轴与 x 轴的交点为 F，PM=MF ，S PMB=S FMBQMB 与PMB 的面积相等，点 Q 在过点 P 且平行于 BC 的直线 a 上或过点 F 且平行于 BC 的直线 b 上， 设
21、a 的解析式为 ，则 ，即 ，1xy14b55xy设 b 的解析式为 ，则 ，即 ，2201设 a 与抛物线相交于 Q（m ，-m+5），b 与抛物线的交点 Q（n，-n+1），则352m解得 解得3,2,12的 坐 标 为点，舍 去 ,321n731n，点 Q的坐标为2 217,3)217,3(或F图 a 图 bF/ 1510综上，满足条件的 Q 的坐标有三个，分别是（ 2，3）、 、)217,(217,3（3）存在，点 R 的坐标为（ ，2）1【点评】第一问灵活地考查二次函数解析式的求法待定系数法，两种方法难度较小；第二问难度较大，不容易想到第二个和第三个 Q，利用到等底等高的两个三角形面
22、积相等，很自然地想到平行线间的距离相等求 BC 的两条平行线的解析式时，要用到 “在坐标系中，平行线的 k 值相等”求交点的方法就是连方程组，解方程组难度较大第三问是拔高题（2011 常州市第 25 题,本小题 6 分）已知：如图 1，图形 满足 AD=AB，MD=MB，A=72，M=144。图形与图形恰好拼成一个菱形（如图 2）。记 AB 的长度为 ，BM 的长度为ab图形中B= ，图形中E= ；小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形相同，这种纸片称为“飞镖一号”。小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为 的正十边形，
23、需要这种纸片 张；小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图 3），其中P=72，Q=144，且 PI=PJ= ，IQ=JQ。请你在图 3 中画出拼接线并保留画ba图痕迹不。（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）A BC图 1P1 P2R2R1A BC图 2P1 P2R2R1D Q1 Q2【解题思路】（1）连接 AM，易证ADMABM,得D=B,由D+B=360 0-720-1440=1440,所以D=B=72 0，由平行线的性质可求E=36 0;(2)用 5 个“风筝一号”纸片拼成一个边长为 的正十边形；这是一道操作题，可根据图形的特点找到拼接方法。b【解答】（1）B
24、=72 0，E=36 0;（2）5；如图【点评】本题的操作性较强，对于初中学生来说，难度较大。（2011 江苏连云港，28，12 分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（S 表示面积）问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板 ABC，P 1，P 2 三等分边 AB，R 1，R 2 三等分边AC经探究知，请证明123ABCPRSS四 边 形问题 2：若有另一块三角形纸板，可将其与问
25、题 1 中的拼合成四边形 ABCD，如图2，Q 1，Q 2 三等分边 DC请探究 与 S 四边形 ABCD 之间的数量关2PQS四 边 形系问题 3：如图 3，P 1，P 2，P 3，P 4 五等分边 AB，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4 五等分边 DC若 S 四边形 ABCD1，求 QS四 边 形/ 1512A BC图 2P1 P2R2R1D Q1 Q2问题 4：如图 4，P 1，P 2，P 3 四等分边 AB，Q 1，Q 2，Q 3 四等分边DC，P 1Q1，P 2Q2，P 3Q3 将四边形 ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S 2，S 3，S 4请直接写出含有 S1，S 2，S 3
26、，S 4 的一个等式【解题思路】对于问题 1，由结论（2），可以分别求出 ， ，两式SS ABC 19 SS ABC 49相减可得结论；对于问题 2，连接 Q1R1，Q 2R2，由问题 1 结论，可得 21RP四 边 形 S 四边形 ABCD，又可证 ，即得， S 四边形21QRS四 边 形13 1PS2Q21Q四 边 形 13ABCD；对于问题 3，利用问题 2 的结论，可探求其结果。对于问题 4，由问题 2 的结论，知3 S2= S1S 2S 3，3 S3 = S2S 3S 4，两式相加，得 S1S 4S 2S 3【答案】解：问题 1：方法 1：由结论（2），可得 ， ， SS ABC 1
27、9 SS ABC 49 SABC SABC21RPS四 边 形4 19 13方法 2：P 1，P 2 三等分边 AB，R 1，R 2 三等分边 AC，P 1R1P 2R2BCAP 1 R1AP 2R2ABC，且面积比为1:4:9 SABC SABC21RPS四 边 形4 19 13问题 2：连接 Q1R1，Q 2R2，如图，由问题 1 的结论，可知 SABC ， SACD21P四 边 形13 21QR四 边 形 13 S 四边形 ABCD21RS四 边 形 21RQ四 边 形13由P 1，P 2 三等分边 AB，R 1，R 2 三等分边 AC，Q 1，Q 2 三等分边 DC，可得 P1R1:P
28、2R2Q 2R2:Q1R11:2，且 P1R1P 2R2，Q 2R2Q 1R1P 1R1A P2R2A，Q 1R1AQ 2R2AP 1R1Q1 P 2R2 Q2由结论（2），可知 SP S 四边形 ABCD21PQS四 边 形 21R四 边 形 21QRS四 边 形13问题 3：设 A， B，设 C ，21四 边 形 43PQ四 边 形 32P四 边 形由问题 2 的结论，可知 A ，B 13 3ADS四 边 形 13 BQS2四 边 形AB (S 四边形 ABCDC) (1C)13 13又C (ABC) ，即 C (1C)C13 1313整理得 C ，即 15 32PQS四 边 形 15问题
29、 4：S 1S 4S 2S 3【点评】本题是阅读探究型问题，考查学生用已知结论，研究问题、解决问题及发散思维等能力，问题中，渗透了等式的变化、三角形相似的判定及其性质、方程思想等知识，是一道难度较大的探究题。（2011 江苏南京，11 分）问题情境已知矩形的面积为 a（a 为常数，a0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 2()0ayx探索研究我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质1()yx 填写下表，画出函数的图象：x 14321 2 3 4 y 1xyO 134522 3 54（第 28
30、 题）11/ 1514观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数 y=ax2bx c（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数 (x 0)的最小值1yx解决问题用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案【解题思路】：利用数学模型解决问题的关键在于能数学模型的理解，会运用到具体问题之中，进行问题探究，从而解决问题，动手画图时要注意画图越准确就越能得到较为正确的判断。【答案】 ， ， ，2， ， ， 17403510374函数 的图象如图yx()本题答案不唯一，下列解法供参考当 时， 随 增大而减小；当 时, 随 增大而增大；当 时函数01xy
31、x1xyx1x的最小值为 2y() x= 221()= 221()2xxx= 21()当 =0，即 时，函数 的最小值为 2 xx1yx(0)当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为 a4a【点评】数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值，难道比较大。20.（2011 湖北孝感，20, 8 分）如图所示，网格中每个小正方形的边长为 1，请你认真观察图(1)中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题: (1)这三个图案都具有以下共同特征;都是_对称图形，都不是_对称图形.(4 分) (2)请在图(2)中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图(1) 中给出的图案相同.(4 分) 【解题思路】对于(1),结合两种对称,容易得到结论;(2)就是要设计一个有四个正方形的中心对称,又不是轴对称图形的图形来,方法很多.【答案】（1）中心,轴;（2）答案不唯一，如下图.【点评】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念,区别以及设计应用易错在设计的图形有可能又是轴对称图形.难度中等/ 1516
