1、 / 101ED CAB 第 9 题【黄冈中考】备战 2012 年中考数学等腰三角形的押轴题解析汇编一等腰三角形5. （2011 浙江衢州，5,3 分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡 AF、AG 分别架在墙体的典 B、点 C 处，且 AB=AC，侧面四边形BDEC 为矩形，若测得FAG=110，则FBD=（ ）A.35 B.40 C.55 D.70 【解题思路】因为 AB=AC，ABC=ACB ，因为FAG=110，ABC=35，又因为四边形 BDEC 为矩形， BDC=90，FBD=180 -BDC-ABC=180 -90-35=55.【答案】C【点
2、评】本题考察了等腰三角形的性质等腰对等角，以及矩形的性质，四个角都是直角，利用了平角的概念.难度较小.（2011 山东 济宁 3、3 分）如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm，那么此三角形的周长是A.15cm B.16cm C.17cm D. 16cm 或 17cm【解题思路】三角形的三边分为腰底两类，题目中没有明确指出，故要分情况讨论。故三边为 5、5、6 或 5、6、6；另种情况都满足构成三角形的条件，故周长为 16 或 17，选 D;此题有些学生概念不清，考虑问题不全面，容易出现错选 B 或 C。【答案】D【点评】对于考察等腰三角形的边角关系的题目时，如果边角没有明确告诉
3、时，要注意分类讨论，好要注意符合构成三角形的条件。难度较小。（2011 山东 济宁 9、3 分）如图：ABC 的周长为 30cm，把ABC 的边 AC 对折，使顶点 C 和点 A 重合，折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边与点 E，连接 AD，若 AE=4cm，则ABD 的周长是A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm 【解题思路】由“对折”知：AD=DC,AE=EC;AE=4 可知 AC=8; ABC 的周长为 30cm 得：AB+BC+AC=30。ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=30-AC=30-8=22。【答案】A【点评】此题是个常规题
4、目，它对学生图形变换和等量代换进行考查，让学生将动手操作“对折”转化成数学语言ADE 和CDE 全等或 DE 为线段 AC 的垂直平分线，通过对ABD 和ABC 的周长的对比，利用等量代换来解决！难度中等。14. （2011 山东烟台，14,4 分）等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底边为 .【解题思路】当 4 为底边时，则腰长为（14-4）2=5 ，此时三角形的三边长分别为4,5,5，能够围成三角形；当 4 为腰时，则底边长为 14-42=6，此时三角形的三边长分别为 4,4 ,6，能够围成三角形。所以它的底边为 4 或 6【答案】4 或 6【点评】遇到等腰三角形的题目是，
5、不论是求角的度数，还是求三角形的边长，都要注意分类讨论。同时，经分类讨论出来的结果，一定还要验证其正确性。本题难度低等。28 （2011 四川广安，28，10 分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为 6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长【解题思路】先根据题意画出图形如图分两种情况讨论:1)补充后为ABA 计算求得其周长为 32m。2）补充后为 ABB 计算求得其周长为 36m【答案】32m、36m【点评】本题主要分类类讨论的思想6. （2011 浙江温州，6,4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角
6、线 AC、BD 交于点 O.已知AOB=60,AC=16，则图中长度为 8 的线段有（ ）A. 2 条 B. 4 条 C. 5 条 D. 6 条BOA DC60(第 6 题图)【解题思路】由矩形对角线相等且互相平分，得 OA=OB=OC=OD,由 知06,AOBAOB, COD 均为等边三角形，所以有 OA=OB=OC=OD=AB=CD.【答案】D【点评】矩形问题常常转化等腰三角形问题去解决。20. （2011 黑龙江绥化，20，3 分）如图，在 RtABC 中，AB=CB，BOAC，把ABC 折叠，使 AB 落在 AC 上，点 B 与 AC 上的点 E 重合，展开后，折痕 AD 交 BO 于
7、点 F，连结 DE、EF.下列结论：tanADB=2 图中有 4 对全等三角形 若将DEF 沿 EF 折叠，则点 D 不一/ 103定落在 AC 上 BD=BF S 四边形 DFOE=SAOF ，上述结论中正确的个数是（ ）A1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解题思路】设 AB=CB，则 AC= ，由折叠的性质知：ABDAED，所以2AE=AB=1，BD=DE=CE= -1，所以 tanADB= ，错；ABD12ABDAED，ABFAEF，FBDFED，ABOCBO，正确；0E=OC-CE= （ -1）2=1 CE, 将DEF 沿 EF 折叠，则点 D 一定落在 AC 上，错；EF=
8、DF=BD，EF/BD 所以2四边形 BDEF 是菱形，BD=BF，B 正确；S 四边形 DFOE=，S AOF = ，正确；综1212-1-212-上可知【答案】C【点评】综合考查全等三角形、等腰直角三角形、四边形等知识。难度较大。10（2011 浙江义乌，10,3 分）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BAC=DAE =90，四边形 ACDE 是平行四边形，连结 CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交 CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： CE=BD； ADC 是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有A1 个 B2 个 C3 个 D4 个
9、第 10 题ABCDEFG【解题思路】由于ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，所以 AB=AC，AD=AE，又BAC=DAE =90，所以BAD=CAE，所以ABC ADE（SAS），于是 CE=BD，；由于四边形 ACDE 是平行四边形，所以 AE=CD，AEF=FCD，又AE=AD，DAE=90，所以 CD=AD，FCD+CFD=90，所以ADC=90，于是ADC 是等腰直角三角形；可证得BAD=135，又DAE=90，所以BAE=90，又DA=AE，所以BADBAE，得ADB=AEB；欲证 CDAE=EFCG，由于AE=CD，FE=CF，所以只要证明 CD2=CFCG，只需证明 CDG
10、CFD 即可，由于ADB=AEC（已证），AEC=ECD，所以ADB=ECD，相似证得.【答案】D【点评】本题将三角形全等、相似、平行四边形的性质巧妙结合，解题的关键是善于将复杂的问题进行分解成基本图形，然后将已知和未知进行结合.难度较大.24（2011 浙江衢州，24,12 分）已知两直线 l1,l2 分别经过点 A(1,0),点 B(-3,0)，并且当两条直线同时相交于 y 轴正半轴的点C 时，恰好有 l1l 2，经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线 l1 交于点 K，如图所示.（1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的解析式 .（2）抛物线的对称轴被直线 l1,抛物线，直线 l2 和
11、x 轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系，请说明理由.（3）当直线 l2 绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，请找出使MCK 为等腰三角形的点 M，简述理由，并写出点 M 的坐标.【解题思路】（1）要求 C 点的坐标可以通过 BOCCOA，求出 CO 的长即可，求抛物线的解析式，依题意可知抛物线上 A（1,0）,B(-3,0)还有刚求出的 C 点的坐标，能轻而易举的求出抛物线的解析式.(2)要比较 KD、DE、EF 的大小关系，可以求出 K、D、E、F 的坐标，在求出这三条线段的长进行说明.（3）要判断MCK 为等腰三角形，可分为三种情况（）MC=MK;()CM=CK;()M
12、K=CK，针对这三种情况进行画图说明.【答案】（1）解法 1:由题意易知，BOCCOA COABOC13,即CO=C 点的坐标是（0， ）由题意，可设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+ .3把 A（1,0），B（-3,0）的坐标分别代入 y=ax2+bx+ ，得/ 105，039ba解这个方程组得32b抛物线的解析式为 .323xy解法 2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+(OC2+OA2)=BC2+AC2=AB2又OB=3，OA=1，AB=4，OC= ，C 点的坐标为（0， ）.3由题意可设抛物线的解析式为 y=a(x-1)(x+3),把 C（0， ）代入函数解析式得 a= .33抛
13、物线的解析式为 y= (x-1)(x+3)3(2)解法 1：截得三条线段的数量关系为 KD=DE=EF.理由如下：可求得直线 l1解析式为 ，直线 l2的解析式为 ，抛物线的3xy 3xy对称轴为直线 x=-1.由此可求的 K 点的坐标为（-1， ），点 D 的坐标为（-1， ），点 E 的坐标为（-2341， ），点 F 的坐标为（ -1,0）.32KD= ，DE= ,EF= .32解法 2：截得三条线段的数量关系为 KD=DE=EF.理由如下：由题意可知 RtABC 中，ABC=30，CAB=60，则可得EF=BFtan30= ，KF=AFtan60= ，由定点 D 坐标（-1， ），得
14、DF=33234，34KD=DE=EF= .32（3）解法 1：（）以点 K 为圆心，线段 KC 长为半径画圆弧，交抛物线于点 M1,由抛物线对称性可知点 M1 为点 C 关于直线 x=-1 的对称点.点 M1 的坐标为（-2， ），此时M 1CK 为等腰三角形。3()当点 C 为圆心，线段 CK 长为半径画圆弧时，与抛物线交点为 M1 和点 A，而三点A、C、K 在同一条直线上不能构成三角形.（）作线段 KC 的中垂线 l，由点 D 是 KE 的中点，且 l1l 2，可知 l 经过点D，KD=DC。此时，有点 M2 即点 D 坐标为（-1， ），使M2CK 为等腰三角形.34l 与抛物线的另
15、一交点即为 M1.综上所述，当点 M 的坐标为（-2， ），（-1， ），MCK 为等腰三角形.34解法 2：当点 M 的坐标为（-2， ），（-1， ），MCK 为等腰三角形.3理由如下：（）连接 BK 交抛物线于典 G，易知点 G 的坐标为（-2， ），3又点 C 的坐标为（0， ），则 CGAB.3可求得 AB=BK=4，且ABK=60，即ABK 为正三角形.所以CGK 为正三角形.当 l2与抛物线交于点 G，即 l2AB 时，符合题意，此时点 M1的坐标为（-2， ）.3（）连接 CD，由 KD= ，CK=CG=2，CKD=30，易知KDC 为等腰三角形.3所以当 l2过抛物线顶点 D
16、 时，符合题意，此时点 M2的坐标为（-1， ）.34（）当点 M 在抛物线对称轴右边时，只有点 M 与点 A 重合时，满足 CM=CK，但此时，三点 A、C、K 在同一条直线上，不能构成三角形.综上所述，当点 M 的坐标为（-2， ），（-1， ），MCK 为等腰三角形.334/ 107【点评】此题属于有一定难度的代数与几何的综合型问题，具有一定的挑战性它综合考查了抛物线、直线解析式得求法，以及等腰三角形的判定，对于等腰三角形的判定，因为并没有说明那一边为底边或者要，所以要分三种情况进行讨论.而许多同学往往在碰到这种压轴题是有一种害怕的感觉，不知道由哪开始着手去解决.还有很多同学，虽然讨论了
17、，但是不全面.难度较大.23. （浙江省绍兴市，23，12 分）数学课上,李老师出示了如下的题目:在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 ED=EC,如图,试确定线段 AE 与 DB 的大小关系,并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1) 特殊情况,探索结论当点 E 为 AB 的中点时,如图 1,确定线段 AE 与 DB 的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填 “”,“”或“=”).(2) 特例启发,解答题目解:题目中,AE 与 DB 的大小关系是: AE DB(“”,“”或“= ”),理由如下:如图 2,过点 E 作 EF/BC,
18、交 AC 于点 P.(请你完成以下解答过程 )(3) 拓展结论,设计新题在等边三角形 ABC 中,点 E 在直线 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC,若ABC的边长为 1,AE=2,求 CD 的长(请你直接写出结果).【解题思路】（1）根据线段中点的定义；（2）参见下面解法（3）略.【答案】(1)=. (2)=.方法一:如图,在等边三角形 ABC 中,ABC = ACB =BAC =60, AB = BC = AC,EF/BC, AEF = AFE =60 =BAC,AEF 是等边三角形,AE=AF=EF,ABAE = ACAF,即 BE = CF,又ABC =EDB + BE
19、D =60, ACB = ECB +FCE =60,ED=EC, EDB =ECB, BED=FCE,DBEEFC, DB =EF, AE=BD. 方法二:在等边三角形 ABC 中,ABC =ACB=60, ADB=120,ABC =EDB +BED, ACB =ECB+ ACE,ED = ECEDB=ECB, BED=ACE,EF/BC, AEF =AFE =60 =BAC,AEF 是正三角形,EFC =180-ACB=120=ABD,EFCDBE, DB =EF而由AEF 是正三角形可得 EF=AE, AE=DB.(3)1 或 3【点评】本题以题组的形式出现，问题设置由浅入深、由特殊到一般
20、。考查了同学们合情推理与演绎推理能力，同时也较好地考查了学生对图形的观察与分析、猜想能力、对等边三角形特征的理解及基本的逻辑推理与表达能力，难度中等.24. （2011 浙江温州，24,14 分）（本题 14 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标是（-4,0），点 B 的坐标为（0，b）(b0).P 是直线 AB 上的一个动点，作 PC 垂直 x 轴，垂足为 C，记点 P 关于 y 轴的对称点为 (点 不在 y 轴上)，连结 PP, A, C.设点 P 的横坐标为 a.P 时，3b求直线 AB 的解析式；若点 的坐标是（-1，m），求 m 的值；若点 P 在第一象限，记
21、直线 AB 与 C 的交点为 D.当 DDC=13 时，求 a 的值； 是否同时存在 a，b，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出所以满足要求的PAa，b 的值；若不存在，请说明理由./ 109【解题思路】（1）利用点与一次函数解析式对应关系确定系数，确定坐标值；（2）由平行线，利用相似三角形对应边成比例确定字母取值；（3）由于 P 的位置不确定，所以应该讨论可能那个出现情形，等腰直角三角形腰和底不确定性，也需要有针对性分类说明。【答案】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+3, 把 x=-4,y=0 代人上式，得-4k+3=0, ,4ky= x+3.3由已知得点 P 的坐标是（1，m
22、 ）， 331,.44m（2） AC, DACD, 即:PDCA21,5a（3）以下分三种情况讨论。当点 P 在第一象限时，）若 (如图 1)，09,ACP过点 作 轴于点 H， ,x12CAHPC12(4),.3a1,2PHCA邹兴平邹兴平,12ACPOB:即 ,.4b）若 (如图 2)，09,PACA则 ,24.a,1ACPOB:即 ,4.b) 若 则点 都在都在第一象限，这与条件矛盾。09,PCA,P 不可能是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形。:当点 P 在第二象限时， 为钝角（如图 3）A此时 不可能是等腰直角三角形。当点 P 在第三象限时， 为钝角（如图 4）此时 不可能是等腰直角
23、三角形。A所有满足条件的 a,b 的值为 或32ayb【点评】本题主要考查了用待定系数法求解析式、等腰三角形、相似等代数、几何知识，是一道综合性极强的一道题目，用到了分类讨论思想、数形结合思想、方程思想、函数思想等数学思想方法，培养了综合分析问题和解决问题的能力本题也是一道存在性探索性问题，在解决这一类存在性探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来；然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.另在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如本题中点P 的位置和它们的对应关系。这道题有明显的递度，体现了不同的人在数学上有不同的收获，特别是第（2）、（3）问，对数学语言的转译、作图要求很高，/ 1011
