【黄冈中考】备战中考数学——图形的相似与位似的押轴题解析汇编二.doc

1、 / 121【黄冈中考】备战 2012 年中考数学图形的相似与位似的押轴题解析汇编二图形的相似与位似5（2011 浙江台州 5，4 分）若两个相似三角形的面积之比为 ，则它们的周长之比为 1:4()A1：2 B1：4 C1：5 D1：16【解题思路】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方；两个相似三角形的面积之比为 所以相似比等于 1： 2，而相似三角形周长的比等于相似比，故选 A，在选择时有:可能没看清题意误选为 B 或 D【答案】A【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，要求比的平方根，难度中等（2011 海南省，12，3 分）12、如图 3，在ABC 中，

2、ACB= ，C DAB，于点 D，则09图中相似三角形共有（ ） CDBAA、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：BDCBCACDA【答案】C【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。1 （2011 四川内江，11，3 分）如图，在等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且ADE =60，BD =4，CE = ，则ABC 的面积是（ ）34A8 B15 C9 D12 3【思路分析】ADC= ADE +EDC =B +BAD，ADE=B=60，EDC = BAD又C=

3、 B =60，ABDDEC,EC:BD=DC:AB=1:3,AB=BC=3DC,BD =2DC，DC=2，BC=6，ABC 的面积是 9 3 ED CB A郑颖杰【答案】C【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解11（2011 四川绵阳 11，3）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，对角线 AC、 BD 相交于 O， ABD30，ACBC ，AB8cm ，则COD 的面积为（ ）OBCADA B C D243cm243cm23cm23c【解题思路】梯形 ABCD 是等腰梯形， ACBD，DAB CBA，AD BCABCBAD ABDBAC30 AC BC， ACB

4、90 ABC60 AB8cm，BCAD4cm在 RtBOC 中，BC 2+AC2AB 2，即42+AC28 2，AC S 2843ABC ACBC 4 ABDBAC 30，OBOAABC60，1ABD 30，OBC 30OBOA2OCS AOBSOBC31S AOB SABC23(cm2) DCAB，COD AOB S COD S163 CODAB2414AOB (cm2)43【答案】A【点评】由梯形的上底和下底平行，得出三角形相似，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，所以求其中一个三角形的面积，可以求出与之相似的三角形的面积及两个三角形的相似比即可3. （山东省威，3,3 分）在 ABCD

5、 中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE，交 AC 于点 F，则AF:CF=( ).A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5FED CBA/ 123【解题思路】利用AEF 与CBF 相似，将 AF:CF 转化成 AE:BC 的比值.【答案】A.【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.3（2011 广东省，3，3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 ，得到的图形是（ A 21）【解题思路】图形缩小，就是“大小变化而形状不变”，可判断选 A 符合要求.【答案】A【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大

6、小变化而形状不变”这一本质，即图形相似. 难度较小.3 （2011 山东潍坊，3，3 分）如图，ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC ；ADE 的面积与 ABC 的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）A 0 个 B1 个 C 2 个 D3 个【解题思路】因为 DE 是三角形的中位线，所以 DE= BC=1，DEBC，所以12ADE ABC，所以 SADE ： SABC= = = 2()DEAB4【答案】D【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半所构

7、成的三角形与原三角形相似相似三角形的面积比等于相似比的平方难度中等15（2011 山东泰安，15 ，3 分）如图，点 F 是 ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交AD 的延长线于点 E，则下列结论错误的是 （ ）ABDC题 3 图郑颖杰FEDBCAA. = B. = C. = D. =EDEADFAB DEBCEFFB BCDEBFBE BFBEBCAE【解题思路】因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD CB，DC AB. 证EDF /EAB 可得 = ；证EDF BCF 可得 = ， ；由EDFEDEADFAB DEBCEFFB EAB 可得 ，结合比例性质，有 ，从而 =

8、.EABFBEBCAE【答案】C 【点评】本题将相似三角形的判定与性质的考查置于平行四边形的背景之中，关注平行线与相似三角形的基本图形“A 型”、“X 型”在解题过程中带来的简捷，选项 D中比例式的变形要求比较高. 难度中等.11（2011 山东聊城 11，3 分）如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原OABC点， 边在 轴上， 在 轴上。如果矩形 与矩形 关于点 位似，且OxCy矩形 的面积等于矩形 面积的 ，那么点 的坐标是（ ）BAOAB41A B C 或 D 或)2,3()3,()3,2(),)2,3(),【解题思路】矩形 与矩形 关于点 位似，且矩形 的面积等于矩CBOAOCB

9、A形 面积的 ，所以它们的相似比为 。因点的坐标为 ，根据关于原点位似的4121)4,6(坐标规律可知， 的坐标是 或 ，即为 或 )4,6(21),(6),3()2,【答案】D【点评】本题主要考查面积比与相似比的关系，以及关于原点位似的坐标规律，注意两种情况，不要漏解。2 （ 2011 四川内江，加 2，6 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的/ 125中点，DF 过 EC 的中点 G，并与 BC 延长线交与点 F，BE 与 DF 交与点 O.若ADE 的面积是 S，则四边形 BOGC 的面积是 . O G FED CBA【思路分析】点 D、E 分别是 AB、AC 的中

10、点，DE 平行且等于 ，又ADEBC21的面积是 S，ABC 的面积是 4S，四边形 DECB 的面积是 3S.点 G 是 EC 的中点，EG= = ， DEG 的面积是ADE 的面积 的一半即 S，同理DEB 的21A面积是 S. 由 DECF，EG=GC，易知DEG GCF，DE =CF，又DEO BOF， EO ： BO=DE：BF=1:3，BDO 的面积是BDE 的面积的 即 S，四边形43BOGC 的面积=3 S- S- S= S. 21437【答案】 S.【点评】相似三角的面积比等于相似比的平方，等底（或等高）的两个三角的面积比等于高（或底）得比切勿认为BDO 和BDE、DEG 和

11、ADE 相似，根据面积比等于相似比来寻找他们的面积关系，应根据面积公式来寻求面积关系16（2011 山东日照，16，5 分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，且始终保持 AMMN当 BM= 时，四边形 ABCN 的面积最大 【解题思路】设 BM=x，则 CM=4-X,由ABMCMN 得：即： ,所以 CN= ，配方得：CN=CNBMAx4x241，所以当 x=2 时，CN 最大，四边形的面积也是最大。)2(1)(412x【答案】2【点评】本题考察了利用三角形的相似形建立函数关系式，继而求得二次函数解析式后，配方求函数最大值的方法。难度偏大。16 （201

12、1 山东潍坊，16， 3 分）已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM过 E 作EFCD，垂足为 F 点若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，则 AE 的长为_【解题思路】因为正方形 AENM 的面积为 AE2，矩形 EFDB 的面积为：BEBD=BEAB，又因为正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，所以AE2=BEAB，即点 E 是线段 AB 的黄金分割点，所以 AE= AB= 5-12a【答案】 51a【点拨】本题结合阴影部分的面积考查了黄金分割若线段上的一

13、个点把线段分为两部分，其中较长线段是较小线段和原线段的比例中项，我们称为这个点是线段的黄金分割点，黄金比为： 0618难度中等5-1221（2011 广东省，21，9 分）如图（1），ABC 与EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定ABC，将DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF(或它们的延长线)分别交 BC(或它的延长线) 于 G，H 点，如图(2)题 21 图(1)B HFA（D）G CEC（E）BFA（D）题 21 图(2)/ 127（1）问：始终与A

14、GC 相似的三角形有HAB 及HGA；（2）设 CG=x，BH=y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；（3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形.【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明 DEBC,还可以考虑用三角形的中位线来证明第（2）小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论第（3）小题当“四边形 MEND 与BDE 的面积相等”相等时可带来 DME,可以推证得到 DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是 BEM B，它的三边之比是 3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.CA【答案】（1）

15、HAB 及HGA（2）由AGCHAB，得 AC/HB=GC/AB，即 9/y=x/9，故 y=81/x (0x )29（3）由角平分线性质易得 DMSENMD21E BEMENDS四 边 形 即21BEM 是 BD 的垂直平分线EDB=DBEEDB=CDE DBE=CDE又DCE=BCDCDECBD BDEC 即可M2BE4又 5cosE5C由式得 82BC 8391039854cos 10392MAD【点评】本题是一个两点同时运动的动态图形变化问题，求三角形的面积，关键是求决定这个三角形面积的几个量。本题难点在第三问上，有利于培养学生的分类讨论思想，但难度较大，具有明显的区分度19、（201

16、1 年四川省南充市 19 题 8 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，BCE 沿 BE 折叠为BFE,点 F 落在 AD 上。(1)求证：ABFDFE;(2)若 sinDFE= ,求 tanEBC 的值.31FEDCBA【解题思路】本题中由折叠易得角的关系，利用三角形的外角或内角和均可得出角相等的结论。由两对等角则可证明两三角形相似。由两三角形相似可进一步得出边的关系。再利用三角函数与直角三角形的边的关系求解。【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形 90ADCBCE 沿 BE 折叠为BFE BFE EF AABF DFE (2)解在 RtDEF 中， 1sin3DFE

17、设 2, 2aFEDaBCE 沿 BE 折叠为BFE ,3,4CECBEF又由（1）ABFDFE 24FDaBA tan E2t t BCF【点评】结合图形变换三角函数等知识考查相似图形的判定与性质。由图形折叠可得全等形，进而得到边角的相等关系。三角形相似的判定思路：条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两边的比相等；条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或找第三边的比等于前两组边的比。/ 129（山东临沂 第 25 题 11 分）如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB

18、 的延长线于点G.（1）求证：EF=EG;（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边始终经过点 B，其他条件不变，若 AB=a,BC=b,求 的值.GF解题思路：（1）要证明 EF=EG 可以证它们所在ABG 与ADF 全等；（2）由（1）小题的启发，过点 E 分别作 BC 边和 CD 边的垂线段，构造全等三角形来证明 EF=EG;也可以过点 A分别作 EF 和 EG 的平行线，把（2）

19、小题转化为（1）小题，由平行线得到成比例线段容易证得结论；（3）分别过点 E 分别作 EMBC 于 M,ENCD 于 N，构造相似三角形，根据对应边成比例，把 转化为 ,再由平行线得到成比例线段，用 a、b 表示 从而求解.GFMNEM解答：（1）正方形 ABCD，AB=AD,BAD=BAF+FAD=90 0,BAF+GAB=90 0, FAD=GAB,D=ABG=90 0, ADFABG, EF=EG.（2）过点 E 分别作 EMBC 于 M,ENCD 于 N，正方形 ABCD，四边形 EMCN 是正方形，EM=EN.GEM+MEF=90 0, FEN+MEF=90 0, GEM=FEN,E

20、NF=EMG=90 0, ENFEMG, EF=EG.(3) 过点 E 分别作 EMBC 于 M,ENCD 于 N，易证GEM=FEN, GEMFEN, ,EMGFD=90 0, ENAD, ,CAD同理： , , ，ACBMBab .abEGF点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形、平行线分线段成比例等知识，运用了数学的转化思想进行数学探究活动，难点是如何通过添作高线构造全等三角形和相E(A)G B CFD图 1AGB CFDE图 2AEDFCG(B) 图 3AGB CFDE图 2NMAEDFCG(B) 图 3NM似三角形.本题的难度较大.25（2011 四川绵阳 25，14）

21、(本题满分 14 分）已知ABC 是等腰直角三角形，A90，D 是腰 AC 上的一个动点，过 C 作 CE 垂直于 BD 或 BD 的延长线，垂足为 E，如图 1(1)若 BD 是 AC 的中线，如图 2，求 的值；BDC(2)若 BD 是ABC 的角平分线，如图 3，求 的值；E(3)结合（1) 、（ 2)，请你推断 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，请说明理由BDCE43【解题思路】(1)设 ADx，得出 AB2x，由勾股定理得出 BD 的长；然后根据ABDECD，得出比例式 ，求出 CE，然后计算出 的值(2)由

22、角平分线性BDACEBDCE质定理，得出 DC 与 AD 的关系，再由勾股定理表示出 BD 的长；然后根据ABDECD，得出比例式 ，求出 CE，然后计算出 的值(3)当点 D 与点 A 重合时，1，而点 D 从 A 向点 C 移动时， 的值逐渐增大，则 1；再设 CDxAD，BCE分别表示 AB，BD，CE，由 得出关于 x 的一元二次方程，解方程求出 x，从而BDE求出 D 的位置 【答案】(1)ABC 是等腰直角三角形，BD 是 AC 的中线， ACAB2AD设ADCD x，则 AB2x根据勾股定理，可得 BD x CEBE，E A90，5又ADB CDE ，ABD ECD ，即 可得B

23、DACE2CCE x， 25BDCE52（2）方法一：BD 是角平分线， ，即 DC AD设 ADx，2A=DB2则 DC x， AB x+x由勾股定理可知 BD 同理ABDECD，4+x/ 1211，即 ， EC 2BDCAE4+2(1)xCE24xBDCE4+x方法二：延长 BA 交 CE 的延长线于 F，BD 是角平分线， BDCE，BFEBCE EF CE，CF 2CEBADCED90 ，ADB CDE，ABDACF 又ABAC，Rt ABDRtACF BDCFBD2CE，即 2BDCE(3)由前面两步的结论可以看出， ，所以这样的点是存在的1BDCE设 CDxAD，则 AB(x+1)

24、AD，由勾股定理，得 BD AD当21+()x时，CE BD AD ，即43BDCE342+()xCABE整理，得 x22x 60，解得 x11+ ，x 21221+()(1)xADxA7(舍去) 即当 CD(1+ )AD 时， 所以当 1+ 时， 7743CEDA43BCE【点评】 有两个角对应相等的三角形相似； 找出未知线段与同一条线段的关系，并用字母进行表示，求出未知线段的比值(2011 河北省，20，8 分)如图 10，在 68 的网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和ABC 的顶点均为小正方形的顶点.（1）以 O 为位似中心，在网格图中作 ABC，使ABC和ABC 位似，且位

25、似比为 12；（2）连接（1）中的 AA，求四边形 AACC 的周长.（结果保留根号）【分析与解】（1）作位似图形关键是利用图形位似的特征，关键要抓住位似中心及位似比，注意对应点不要弄错；（2）求值要借助正方形网格的特征，利用勾股定理即可确定.（1）如图 1. B CAO图 10B CAOACB（2）AAC C2，在 RtOAC 中，OAOC2，得 AC2 ；于是 AC4 ， 2 2四边形 AACC 的周长46 2【点评】本题属于简单中等题，网格具有可操作性和直观性等特点，以网格为背景考查网格作图及计算，将网格的性质体现的淋漓尽致，简而不俗22、(2011 杭州，22，10 分)在直角梯形 A

26、BCD 中，AB CD， ABC =900，AB=2BC=2CD ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，线段 OA、 OB 的中点分别为点 E、 F. (1)求证： FOE DOC；(2)求 sinOEF 的值；(3)若直线 EF 与线段 AD、 BC 分别相交于点 G、 H，求的 值。CDAB【解题思路】（1）求证两三角形全等考虑两三角形全等的判定；（2）求一个锐角的三角函数值应考虑将这个角放入一个直角三角形中或将此角转化到直角三角形中；（3）利用三角形的相似得出对应边的比【答案】解：（1） 是 的中位线，EFOAB1/,2EFAB而 1,/2CD,CDOC（2） 2245ABB1sinsiOEFA（3） ,/C，GD:,3EGCD即同理 13FH2953ABC【点评】本题主要考查了两三角形全等的判定、一个锐角的三角函数值、两三角形相似的性质、比例的计算。是代数与几何的综合性考查，有一定的思维含量，在考查基本知识的/ 1213同时也考查了学生的逻辑思维能力。难度中等